1、 汪汪 晓晓 勤勤 石家庄石家庄 2011-10-12数学文化与数学教学数学文化与数学教学1数学文化与数学教学数学文化与数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角2u希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”Thales（前6世纪）3 泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕 A 转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到
2、指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。4 上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。5案例 1 有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。6案例 1 在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用泰勒斯的方法测量敌营的距离。7案例 1 学生在课上演示泰勒斯的方法学生在课上演示泰勒斯
3、的方法 8案例 1 学生在课上给出的测量全等三角形方案学生在课上给出的测量全等三角形方案 9案例 1 S1:所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年之后故事会永远留在头脑中。S2:不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解，当然一定要以正课为主。10案例 1 T1:这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。T2:最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地体会数学与生活紧密相关，让
4、学生发现生活中的数学问题，并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上，那么学生一定都会喜欢数学课!11案例 2 昔非今比 七兄弟分财产，最小的兄弟得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？数学泥版数学泥版MS 1844（约公元前（约公元前2050年）年）12案例 2 昔非今比 649539 大麦 72171 麦穗 8019 蚂蚁 891 鸟 99 人 数学泥版数学泥版 M 7857（古巴比伦时期）（古巴比伦时期）13案例 2 昔非今比 佛陀年轻时代的故事 7原子=1极微尘 7极微尘=1微尘 7微尘=1尘，1里长度中共有717个原子14案例 2 昔非今比佛本行集经卷12：悉达
5、多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？15案例 2 昔非今比 七极微为一微量，积微至七为一金尘，积七金尘为水尘量，水尘积至七为一兔毛尘，积七兔毛尘为羊毛尘量，积羊毛尘七为一牛毛尘，积七牛毛尘为隙游尘量，隙尘七为虮，七虮为一虱，七虱为穬麦，七麦为指节俱舍论卷12
6、（玄奘译）16案例 2 昔非今比 斐波纳契计算之书斐波纳契计算之书（1202）“7翁去罗马，每个人牵着7匹骡子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋子装7块面包，每块面包配有7把小刀，每把刀配有7个刀鞘，问老翁、骡子、面包、刀、鞘的总数是多少。”17案例 2 昔非今比 Josse Verniers（1584）士兵问题士兵问题：一座房子里有14个房间，每个房间有里14张床，每张床上躺着14个士兵，每个士兵有14支枪，每支枪里有14颗子弹。问：共有床、士兵、枪、子弹各多少。18案例 2 昔非今比 Kamp（1877）妇女问题妇女问题：有12个妇女，每人带有12根棍子，每根棍子上绑有12根绳子，每根绳子上系有
7、12个袋子，每个袋子里装有12个盒子，每个盒子里含有12先令。问：共有多少先令？19案例 2 昔非今比 Adams 学者算术（1801）妻子问题：妻子问题：我赴圣地伊夫斯，路遇一男携七妻；一妻各把七袋负，一袋各装七猫咪。猫咪生仔数又七，几多同去伊夫斯？20 案例 2 昔非今比u莱因得纸草书（约公元前1650年）124房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607莱因得纸草上的等比数列问题 21案例 2 昔非今比212211 11nnnnnnnnSaaqaqaqaq aaqaqaqaqSaq SaqaaqSqq5749343230
8、1 16807 7 1 7493432301 7 2801 19607S 172144288561284埃及乘法12722案例 2 昔非今比u几何原本第 9 卷命题 3531212321211211211211 1111nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaqaaaaa qSqq23u托勒密托勒密 托勒密分别就空气和水、水和玻璃、玻璃和空气，对光的入射角和折射角进行测量，得出入射角与折射角成正比的错误结论。C.Ptolemy(85-165)24u阿尔阿尔海森海森 制作仪器，测量入射角和折射角，发现托勒密的结论是错误的，但他自己未能发现折射定律。Al-Haitham(965-1
9、038)25u维特罗（维特罗（ca.1270）波兰物理学家、自然哲学家和数学家维特罗在阿尔海森的基础上进一步研究折射现象，但他仍然同样未能发现折射定律。Witelo(ca.1230-ca.1300)26u开普勒（开普勒（16111611）开普勒在折光（1611）中给出：对于两种固定的媒质，当入射角（i）较小时，入射角和折射角（r）之间的关系是i=nr，（n为常数）。当光线从空气进入玻璃时，n=3/2。J.Kepler(1571-1630)27u哈里奥特（哈里奥特（16011601）英国数学家哈里奥特发现了折射定律，但没有发表。T.Harriot（1560-1621）28u斯内尔（斯内尔（162
10、1）荷兰数学家斯内尔约于1621年独立发现折射定律，但没有发表。哈里奥特和斯内尔都是通过实验得出该定律的，而没有给出理论的推导。W.Snell(1591-1626)29u笛卡儿（笛卡儿（1637）笛卡儿在折光（方法论之附录）中发表了折射定律，但遗憾的是，他的证明却是错误的！笛卡儿是否抄袭了斯内尔，学术界尚有争议。R.Descartes(1596-1650)30u费马费马 费马对笛卡儿的折射定律进行了攻击。错误的推导怎么会得出正确的结论呢？直到24年后的1661年，费马才利用他的最小时间原理才导出了折射定律。P.Fermat(1601-1665)31u莱布尼茨莱布尼茨（1684）莱布尼茨在他的第
11、一篇微积分论文中，小试牛刀，给出了微分的一个应用：在两种媒质中分别有点P和Q，光从P出发到达Q，界面上入射点O 位于何处，光用时最短？G.W.Leibniz(1646-1716)32 22221212222212sinsin110bdxaxf xvvvirvxdxfxvvaxbdx莱布尼茨莱布尼茨：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地熟悉微积分的人能够如此魔术般地处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不得其解！得其解！”33axbaxbcxf2)(2222洛必达：无穷小分析中的问题34数学文化与数学教学数学文化与数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进
12、路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角352 一条进路u在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。J为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理）J为什么 是无理数？（不可公度量的发现）J为什么？（均值不等式）J为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）J为什么函数 是奇函数？2ln1f xxx20,02baabba362 一条进路L为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为什么？L为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫“象限”？L为什么将幂指数称为“对数”？L为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？L为什么称未知数为“元”？1
13、372 一条进路 1年360天；60 进制；迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成30等分；Hypsicles(c.180 B.C.)将黄道圆分成360等分；托勒密（Ptolemy,125 A.D.）在天文大成中使用60进小数，将圆周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分为60个小部分（秒），等等。L 为什么要将圆周分成为什么要将圆周分成360度？度？以色列马赛克：黄道十二宫图以色列马赛克：黄道十二宫图（6世纪）世纪）382 一条进路2 1 first small parts partes minutae primae minute601 second small parts
14、 partes minutae secundae second60阿拉伯译文 拉丁译文 今天392 一条进路L为什么将幂指数称为为什么将幂指数称为“对数对数”？u许凯（N.Chuquet,1445-1488）算学三部 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1048576 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 4对应的数16自乘，等于8对应的256；7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。402 一条进路u 施雷伯（H.Schreyber,14951525）艺术新作（1521）0 1 2 3 4 5 16 1 2 4 8 16 32 65536第二
15、个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。412 一条进路u 斯蒂菲尔（M.Stifel,14871567）整数算术（1544）0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 4 8 16 32 64 128 256 等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法；等差数列中的减法对应于等比数列中的除法；等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方；等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。422 一条进路u克拉维斯(C.Clavius,1538-16
16、12)实用算术概论(1583)1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍；8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。432 一条进路u纳皮尔（J.Napier,15501617）nn3210101101011010110101101077377277777Mirifici logarithmorum canonis descriptio(1614):Logarithmi sunt numeri qui proporti
17、onalibus adjuncti aequales servant diferentias.(Logarithms are numbers which correspond to proportional numbers and have equal differences.)442 一条进路u薛凤祚（?1680）比例对数表(1653)比例算124816326412825651210242048同余算(a)123456789101112同余算(b)579111315171921232527数理精蕴：“对数比例，乃西士若往讷白尔所作。以借以借数与真数对列成表，故名对数表。数与真数对列成表，故名
18、对数表。其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。”452 一条进路L为什么等差数列被称为算术数列为什么等差数列被称为算术数列（Arithmetic Progression），等），等比数列被称为几何数列比数列被称为几何数列（Geometric Progression）？462 一条进路L数学归纳法（数学归纳法（Mathematical Induction）之名是如何来的）之名是如何来的？47数学文化与数学教学数学文化与数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香
19、一缕书香&一种视角一种视角483 一缕书香u 萨顿 Isis(1913)科学史引论(1927-1947)科学史与新人文主义（1931）数学史研究(1936)科学史研究（1936）G.Sarton（1884-1956）493 一缕书香Charles du Cange(1610-1688)法国历史学家、语言学家法国历史学家、语言学家James George Frazer(1854-1941)苏格兰考古学家苏格兰考古学家503 一缕书香u萨顿 在科学和人文之间只有一座桥梁，那就是科学史。建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。513 一缕书香同样，在数学和人文之间也只有一座桥梁，那就是数学史。52
20、3 一缕书香 “人生之意义在于研究日、月、天。”放弃财产、追求真理、身陷囹圄、铁窗下仍在研究化圆为方问题的古希腊数学家阿那克萨哥拉Anaxagoras(499B.C.-428B.C.)533 一缕书香暅之字景烁，少传家业，究极精微，亦有巧思。入深之妙，般、倕无以过也。当其诣微之时，雷霆不能入。当其诣微之时，雷霆不能入。尝行遇仆射徐勉，以头触之，勉呼尝行遇仆射徐勉，以头触之，勉呼乃悟乃悟。父所改何承天历时尚未行，梁天监初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿。南史文学传5416世纪法国数学家拉缪斯，少时家贫，祖父是烧炭的，父亲是个卑微的农夫。12岁时，拉缪斯作为一位富家子弟的仆人进入巴黎的Nava
21、rre学院，白天伺候主人，黑夜挑灯苦学，9年后竟获硕士学位！他的硕士论文是亚里士多德所说的一切都是错的！3 一缕书香Peter Ramus（1515-1572）553 一缕书香 每天只花4小时睡觉、2小时吃饭休息、18小时学习学习、做研究的16世纪英国数学家约翰第John Dee（1527 1609）563 一缕书香 为了研究数学，常常三天三夜不出房门的韦达 F.Vite(1540-1603)573 一缕书香 吾先正有言：“一物不知，儒者之耻。”今此一家已失传，为其学者，皆暗中摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不吝，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之！呜呼，吾避难，难呜呼，吾避难，难自长大；吾迎难
22、，难自消微。自长大；吾迎难，难自消微。必成之。必成之。Matteo Ricci(1552-1610)Seu Kuang-ke(1562-1633)583 一缕书香 在墨水结冰的冬夜，依然勤学不怠的索菲 热尔曼Sophie Germain（1776-1831）593 一缕书香u华里司 人活着既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快乐给人生的酒杯加点糖。W.Wallace(1768-1843)603 一缕书香 J.H.Fabre(1823-1915)法布尔法布尔：牛顿二项式定理613 一缕书香 “自任国会议员以来，他学习并几乎精通了几何原本前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特
23、别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱几何原本，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。”(1860年总统候选人简介)A.Lincohn(1809-1865)623 一缕书香u托马斯托马斯霍布斯霍布斯 40岁时开始学习几何。Thomas Hobbes(1588-1679)633 一缕书香 如果你要成为一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必须对一切事情至少都怀疑一次。笛卡儿方法论643 一缕书香树荫下放着一卷诗章一瓶葡萄美酒，一点干粮有你在这荒原中傍我欢歌荒原呀，啊，便是天堂 鲁拜集Omar K
24、hayyam(1048-1122)653 一缕书香 壬叔云：昔年同艾约瑟至杭，乘舆往游天竺，为将军所见。时西人无至杭者，闾阎皆为惊诧。将军特谕仁和县往询，县令希上意，立逐艾君回沪，而将壬叔发回本州。壬叔因献诗州守，曰：游山不合约波臣，游山不合约波臣，奉遣还乡判牍新。奉遣还乡判牍新。刺史风流公案雅，刺史风流公案雅，递回湖上一诗人。递回湖上一诗人。州守见之大喜，立赠 以金遣之。王韬日记 李善兰(1811-1882)J.Edkins(1823-1905)663 一缕书香 王蒙：生命的王蒙：生命的“意义原则意义原则”与无限长远的永恒与无限辽阔的宇宙相比较，人类特别是人类个体就渺小得可以不计了。史密斯：
25、数学上的史密斯：数学上的“无穷之灯无穷之灯”数学是人类探索宇宙的工具，它揭示了我们在浩瀚宇宙中的位置，它让我们看到，我们自身不过是宇宙中的一粒微尘。我们的怀疑、信念、希望和恐惧都是微不足道的，都是无穷小量，就如太阳系里失去的一个电子一般。67数学文化与数学教学数学文化与数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角68数学文化与数学教学数学文化与数学教学 假如我们把自然看做我们假如我们把自然看做我们的向导，她是决不会把我们的向导，她是决不会把我们领入歧途的。领入歧途的。西塞罗西塞罗M.T.Cicero(106 BC-43 BC)69数学文化与数学教学数学文化与
26、数学教学 自然从容易的进到较难的。教材应如此排列，使学生知道最靠近他们心教材应如此排列，使学生知道最靠近他们心眼的事物，然后去知道不大靠近的，随后去眼的事物，然后去知道不大靠近的，随后去知道相隔较远的，最后才去知道隔得最远的。知道相隔较远的，最后才去知道隔得最远的。自然不性急，它只慢慢前进。假如一切事情都按学生的能量去安排，这种假如一切事情都按学生的能量去安排，这种能量自然就会同学习与年龄一同增长。能量自然就会同学习与年龄一同增长。自然不强迫任何事物去进行非它自己的成熟了的力量所驱使的事。无论什么事情，除非不仅是青年人的年龄与无论什么事情，除非不仅是青年人的年龄与心理的力量所许可，而且真是它们
27、所要求的，心理的力量所许可，而且真是它们所要求的，都不应该教他们。都不应该教他们。夸美纽斯J.A.Comenius(1592-1670)70数学文化与数学教学数学文化与数学教学符合自然发展自然发展规律的教学；由近及远、由简到繁、由易到难、由已知到未知由已知到未知的教学原则第斯多惠第斯多惠A.Diesterweg（1790-1866）71数学文化与数学教学数学文化与数学教学 儿童所受教育必须在方式和安排上同历史上人类的教育一致。一般教起来使人觉得枯燥甚至讨厌的知识部门，依照自然自然的方法就成为极其有趣和非常有益的。斯宾塞H.Spencer(1820-1903)72数学文化与数学教学数学文化与数学
28、教学王勇平经典语录王勇平经典语录“至于你信不信，我反正信了至于你信不信，我反正信了”问：现场指挥部多次证实现场已经没有生命体征，为什么最后还会发现那个幸存的小女孩。答：这是一个生命的奇迹这是一个生命的奇迹。问：为何车体被就地掩埋，是不是为了掩盖证据？答：当时现场抢险环境非常复杂所以他们把车头埋在下面，盖上土，主要是便于抢险。他们给出的解释是这样，至于你们信不至于你们信不信，我反正是信的信，我反正是信的。73案例案例5 追求自然追求自然74 H G F E N M D C Q B A S P 梅内克缪斯(Menaechmus,380 B.C.-320 B.C.)首次发现三种圆锥曲线及其基本性质。
29、22PQCQ QDAQ QFQDAQ AGAEQBAQ AGABAHAQ QBAB案例案例5 追求自然追求自然椭圆的历史及其重构椭圆的历史及其重构75 B P S A Q C D M N E F 阿波罗尼斯(Apollonius,ca.262 B.C.-ca.190 B.C.)将椭圆定义为圆锥被平面斜截所得的截线，并得出它的基本性质。22 PQDQ QEMFNFAQQBSFSFMF NFAQ QBSF 案例案例5 追求自然追求自然76 阿波罗尼斯利用多个命题推导出椭圆的焦半径性质焦半径性质。121122122 90 AC BDOECFDCF DACFDCFHCPFDPFPFPFAPCDAKBK
30、OGOBA 案例案例5 追求自然追求自然ELABOPCDF1F2G77 帕普斯（Pappus,4世纪）发现了椭圆的焦点准线性质（很可能已经为欧几里得所知）。案例案例5 追求自然追求自然78 笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）在几何学中建立了古希腊的三线和四线轨迹（圆锥曲线）的方程，激发了人们对圆锥曲线作图法的探求。案例案例5 追求自然追求自然79 荷兰数学家舒腾(F.van Schooten,1615-1660)设计了椭圆的三种作图工具。案例案例5 追求自然追求自然80案例案例5 追求自然追求自然中国科技馆中国科技馆数学之魅数学之魅椭圆作图工具椭圆作图工具81 法国数学家洛必
31、达（M.de LHospital,1661-1704）在圆锥曲线分析(1720)中将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于定长的动点轨迹。案例案例5 追求自然追求自然82 1822年,比利时数学家旦德林（G.P.Dandelin,1794-1847）利用圆锥的两个内切球导出了椭圆的焦半径性质，在椭圆的古希腊截线定义和17世纪轨迹定义之间架起一座桥梁！案例案例5 追求自然追求自然83案例案例5 追求自然追求自然S2S1F2F1PV84 H P M 视 角 下 的 教 学 设 计 顺 序 重构 旦 德 林 球 历 史 顺 序 教 材 方 法 椭圆的发现 焦半径性质 机械作图法 椭圆的方程 轨迹定义
32、轨迹定义 椭圆的方程 机械作图法 焦半径性质 基本性质 截线定义 椭圆的发现案例案例5 追求自然追求自然85案例案例5 追求自然追求自然问题1：球在斜射阳光下影子的边界是什么曲线？引入86问题2：观察美国旧金山现代美术馆建筑，圆柱被平面斜截所 得的截口是什么曲线？引入案例案例5 追求自然追求自然87问题3：观察美国俄亥俄州克里夫兰自然史博物馆建筑，圆锥被平面斜截所得的截口是什么曲线？引入案例案例5 追求自然追求自然88问题4：观察圆柱形玻璃棒倾斜时的水面，什么形状？案例案例5 追求自然追求自然89 椭圆的定义(1)回顾过圆外一点有且只有两条切线，其切线长相等；(2)扩展到过球外一点有多少条切线
33、？这些切线长有什么关系？案例案例5 追求自然追求自然90(3)把乒乓球放在水平桌面上，问：球和桌子有几个公共点？他们的位置关系是？(4)把乒乓球放在透明圆柱里（球的半径和圆柱底面半径相同），问：球与圆柱之间的位置关系？椭圆的定义案例案例5 追求自然追求自然91DCBAF2F1P(5)利用几何画板和教具推导椭圆的焦半径性质；(6)将上述性质作为椭圆的定义；椭圆的定义案例案例5 追求自然追求自然9212122222122222222222222222222 2,44221PFPFaPFaz PFazPFazxcyPFazxcyazcxczxacaxxcyac xacxxcxcyaxyaac(7)推导椭圆的标准方程。课后思考：若焦点在y轴上，椭 圆的方程是什么？椭圆的方程案例案例5 追求自然追求自然93案例6 创造动机 f xesesf x /ef xf xsf xef xf xef xe94案例6 创造动机我敢说，这（切线问题）是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的问题。95案例6 创造动机 笛卡儿向费马提出难题：求方程x3+y3-3axy=0 所表示的曲线的切线。96THE END97
