1、1数理方程第讲2第二章 分离变量法2.1 有界弦的自由振动345讨论两端固定的弦自由振动的定解问题:22222000,0,0,(2.1)|0,|0,0,(2.2)|(),(),0.(2.3)xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt设u(x,t)=X(x)T(t)则2222()(),()(),uuXx T tX x T txt6代入方程(2.1)得X(x)T(t)=a2X(x)T(t)或2()()()()XxT tX xa T t此式左端仅是x的函数,右端仅是t的函数,一般情况不可能相等,除非它们均为常数,令此常数为-l,则有2()()()()XxT tX xa T tl-这样可以得到
2、两个常微分方程:2()()0,(2.4)()()0.(2.5)T ta T tXxX xll7再利用边界条件(2.2),由于u(x,t)=X(x)T(t),X(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0.但T(t)0,如果T(t)=0,这种解称为平凡解,所以X(0)=X(l)=0(2.6)因此,要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离形式的解,就先要求解下列常微分方程的边值问题()()0(2.5)(0)()0(2.6)XxX xXX ll8要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)的非零解,又要求出这个非零解X(x).这样的问题称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值问题,使
3、问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问题的特征值,相应的非零解X(x)称为它的特征函数.下面分l0三种情况来讨论,将得出结论l0和l=0不能成立.()()0(2.5)(0)()0(2.6)XxX xXX ll910而方程X(x)+lX(x)=0的特征方程为r2+l=0当l0时,特征根为方程的通解为il()xxX xAeBell-()cossinX xAxBxll111 设l0,并令l=b2,b为非零常数.此时方程(2.5)的通解为 X(x)=A cos bx+B sin bx,由条件(2.6)得A=0B sin bl=0由于B不能为零,所以sin bl=0,即(1,2,3,)nnlb从
4、而222(2.7)nll14(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数为:222(1,2,3,)(2.7)()sin(1,2,3,)(2.8)nnnnnlnXxBx nll将上式中的特征值代入到(2.4)得2222()()0nna nT tT tl15其通解为:()cossin(1,2,3,)(2.9)nnnn atn atT tCDnll因此可分离变量的方程的特解为(,)sincossin(1,2,3,),(2.10)nnnn xn atn atux tCDllln其中 是任意常数.,nnnnnnCB C DB D16为满足初始条件(2.3),求出原问题的解,将(2.10)中所有函
5、数un(x,t)叠加起来:11(,)(,)sincossin(2.11)nnnnnu x tux tnn an axCtDtlll17将初始条件(2.3)代入上式得:11(,)(,)sincossin(2.11)nnnnnu x tux tnn an axCtDtlll0110(,)|(,0)sin()sin()tnnnntnu x tu xCxxln anuDxxllt18复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数:如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数,则有1()sinnnn xf xbl其中系数bn为:02()sind(1,2,3,).lnn xbf xx nll192021 解：令u(x,
6、t)=X(x)T(t)是齐次方程和齐次边界条件的非零解,则有()()0(2.5)(0)()0(2.6)XxX xXX ll222(1,2,3,)(2.7)()sin(1,2,3,)(2.8)nnnnnlnXxBx nll2222()()0nna nT tT tl22()cossin(1,2,3,)(2.9)nnnn atn atT tCDnll方程的特解为(,)sincossin(1,2,3,),(2.10)nnnn xn atn atux tCDllln23这时l=10,并给定a2=10000.这个问题的傅里叶级数形式解可由(2.11)给出.其系数按(2.12)式为Dn=0,-.,54,0)
7、cos1(52d10sin)10(500013333100为奇数当为偶数当nnnnnxxnxxCn24因此,所求的解为330(,)41(21)sincos10(21)5(21)10nu x tnxntn25解题中常用到的积分表的内容:222232222311sindsincos122sindcossincos11cosdcossin122cosdsincossinxax xaxxaxCaaxax xxaxxaxaxCaaaxax xaxxaxCaaxax xxaxxaxaxCaaa-26分析一下级数形式解(2.11)的物理意义.先固定t,看看任意指定时刻波是什么形状;再固定x,看该点的振动规律
8、.(2.11)中的一项:(,)sincossincos()sinnnnnnnn xn atn atux tCDlllnAtxl-其中22,arctannnnnnnnDn aACDlC27282930某一时刻n=1,2,3的驻波形状xOulxOulxOuln=1n=2n=331综合上述,可知u1(x,t),u2(x,t),un(x,t),是一系列驻波,它们的频率,位相与振幅都随n不同而不同.因此一维波动方程用分离变量法解出的结果u(x,t)是由一系列驻波叠加而成的,而每一个驻波的波形由特征函数确定,它的频率由特征值确定.这完全符合实际情况.因为人们在考察弦的振动时,就发现许多驻波,它们的叠加又可
9、以构成各种各样的波形,因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景,所以分离变量法也称为驻波法驻波法.322.2 有限长杆上的热传导33设有一均匀细杆,长为l,两端点的坐标为x=0与x=l,杆的侧面是绝热的,且在端点x=0处温度是零摄氏度,而在另一端x=l处杆的热量自由发散到周围温度地零度的介质中去,已知初始温度分布为(x).求杆上的温度变化规律,也就是要考虑下列定解问题:222,0,0,(2.13)(,)(0,)0,(,)0,0,(2.14)(,0)(),0.(2.15)uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl34用分离变量法来解此问题,设
10、u(x,t)=X(x)T(t),代入方程(2.13)得2()()()()T tXxa T tX x上式左端不含有x,右端不含有t,只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为-b2,则有22()()(2.16)()()T tXxa T tX xb-35从而得到两个线性常微分方程222()()0,(2.16)()()0.(2.16)T tT tXxX x bb解方程(2.16)得X(x)=A cos bx+B sin bx,由边界条件(2.14)可知X(0)=0,X(l)+hX(l)=0.(2.17)从X(0)=0得A=0,从X(l)+hX(l)=0得b cos bl+h sin bl=0(2.1
11、7)a3637ygygy=tan gg1g2g3-g1-g238于是得到无穷多个特征值2222221212222,nnlllgggbbb及相应的特征函数()sin(2.19)nnnXxBxb再由(2.16)解得22()(2.20)na tnnT tA eb-得到的一组满足边界条件的特解为22(,)()()sin(1,2,3,)(2.21)na tnnnnnux tXx T tC ex nbb-其中Cn=AnBn39由于方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次的,所以221(,)sin(2.22)na tnnnu x tC exbb-仍满足方程与边界条件.最后考虑u(x,t)能否满足初始条
12、件(2.15),从(2.22)式得1(,0)sinnnnu xCxb现在希望它等于已知函数(x),首先要问在0,l上定义的函数(x)能否展开成上式的形式,其次要问系数Cn如何确定.前者的答案是肯定的(不证).主要讨论后者.40不难证明020sinsind0,sindlmnlnnxx xmnLx xbbb令于是在1()sin(2.23)nnnxCxb的两端乘上sin bkx,然后在0,l上积分得00()sind1()sind(2.24)lkkklkkkxx xL CCxx xLbb即将(2.24)代入(2.32)式即得原定解问题的解.41分离变量法的主要步骤为:一一,首先将偏微分方程的定解问题通
13、过分离变量转化为常微分方程的定解问题,这对线性齐次偏微分方程是可以做到的.二二,求特征值问题，即确定特征值与特征函数。当边界条件是齐次时,求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.42三三,定出特征值、特征函数后,再解其他的常微分方程,把得到的解与特征函数乘起来成为un(x,t),这时un(x,t)中还包含着任意常数.四四,最后为了使解满足其余的定解条件,需要把所有的un(x,t)叠加起来成为级数形式,这时级数中的一系列任意常数就由其余的定解条件确定.在这最后一步工作中,需要把已知函数展开为特征函数项的级数,这种展开的合理性将在2.6中论述.432.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定
14、解问题44 一个半径为r0的薄圆盘,上下两面绝热,圆周边缘温度分布为已知,求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.这时温度分布应满足拉普拉斯方程 2u=0因为边界形状是个圆周,它在极坐标下的方程为r=r0,所以在极坐标系下的边界条件可表为0|()ufr r既然边界条件用极坐标形式表示出来很简单,所以就在极坐标系下求解这个定解问题.45因r,的取值范围分别是0,r0与0,2,而圆内包括中心的温度有限,且(r,)与(r,+2)实际上表示同一点,温度应该相同,即应该有|u(0,)|+(2.27)u(r,)=u(r,+2)(2.28)现在来求满足方程(2.25)及条件(2.26),(2.27),(2.28)
15、的解.先令 u(r,)=R(r)F(),222200110,02,(2.25)(,)(),02.(2.26)uuuufrrrrrrrr 46代入方程(2.25)得2110RRRFFFrr即2RRRrrFF-令比值为常数l即得两个常微分方程F+lF=0,r2R+rR-lR=0.再由条件(2.27)及(2.28)可得|R(0)|+,F(+2)=F().(2.29)47因此得到两个常微分方程的定解问题20,(2.30)(2)(),0,(2.31)|(0)|.RRRRFlFF F rrl-先解哪一个要看哪一个可以定出特征值.由于条件(2.29)满足可加性(即所有满足(2.29)的函数加起来仍旧满足(2
16、.29),所以只能先解问题(2.30).48采用与2.1中同样的方法可以得到当l0时,取l=b 2,这时(2.30)的解为Fb()=abcosb+bbsin b,且为使F()以2为周期,b必须是整数n,n=1,2,3,则可将上面得到的解表示成Fn()=ancos n+bnsin n.0,(2.30)(2)(),FlFF F 49高等数学复习:求解欧拉方程x2y+xy-n2y=0(a)作变换x=et或t=ln x,则有2222211,dydy dtdyd yd ydydxdt dxx dtdxxdtdt-代入(a)得22222200d ydydyn ydtdtdtd yn ydt-通解为y=Ce
17、nt+De-nt=Cxn+Dx-n(n0)和y=Ct+B=Cln x+D(n=0)50对于非齐次的欧拉方程x2y+xy-n2y=axm特解的形式应当是y*=Cxm,将之代入上式可确定常数C.51至此,已经定出了特征值问题(2.30)的特征值b2n=n2,特征函数Fn().接下去是解(2.31).其中的方程是欧拉(Enler)方程,它的通解为R0=c0+d0lnr,当l=0;Rn=cnrn+dnr-n,当l=n2(n=1,2,3,)为了保证|R(0)|+,只有dn=0(n=0,1,2,),即Rn=cnrn(n=0,1,2,).因此利用叠加原理,方程(2.25)满足条件(2.27),(2.28)的
18、解可以表示为级数5253将这些系数代入(2.32)式即得所求的解.为了以后应用起来方便,还可以将解(2.32)写成另一种形式.为此,将(2.34)式的系数代入(2.32)式经过简化后可得2002002001()d,1()cosd,(2.34)1()sind.nnnnafafnbfn r r 54利用下面已知的恒等式201011(,)()dcos()2(2.35)nnuf tttrr r-221111cos()(|1)2212 cos()nnkkntkktk-55可将(2.35)中的解u(r,)表达为22202200001(,)()d22cos()(02,).(2.36)uf tttrrr rr
19、r r rr-公式(2.36)称为圆域内的泊松公式圆域内的泊松公式.它的作用在于把解写成了积分形式,这样便于作理论上的研究.56例例 解下列定解问题0220222110,02,|cos,02,uuuuAr rrrrrrrA为常数.解解 利用公式(2.34)并注意三角函数的正交性100,0(1)nnAbaanr代入(2.32)即得所求的解为0(,)cosAurr r572.4 非齐次方程的解法58研究一根弦在两端固定的情况下,受强迫力作用所产生的振动现象.即要考虑下列定解问题:2(,),0,0(2.37)(0,)0,(,)0,0(2.38)(,0)(),(,0)(),0(2.39)ttxxtua
20、 uf x txl tutu l ttu xx u xxxl因为非齐次方程的解经叠加后一般不再是原方程的解，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程的定解问题。但是依据齐次方程(2.11)的解，且它的边值条件和方程(2.37)的一样，故先假设定解问题(2.37)(2.39)的解u(x,t)可以展开成如下的傅立叶级数形式591(,)()sin(2.40)nnn xu x tT tl并且把定解数据f(x,t)，和 都按固有函数系 展开()x()x1sinnn xl111(,)()sin,()sin()sinnnnnnnn xf x tf tln xxln xxl60其中0002()(,)sin,1,
21、2,2()sin,1,2,2()sin,1,2,lnlnlnnf tftdnllndnllndnll 显然，u(x,t)满足边界条件(2.38)，因此只需u(x,t)再满足方程(2.37)和初值条件(2.39)就得到原问题的解，把上面的展开式分别代入方程(2.37)和初始条件(2.39)，可得612()()()(),1,2(2.41)nnnn aT tT tf t nl-11(0)sinsinnnnnn xn xTll11(0)sinsinnnnnn xn xTll比较上面三个展开式的系数可得2111()sin()()sin()sinnnnnnnn xn an xn xT tT tf tlll
22、l-(0),(0),1,2(2.42)nnnnTTn由于(2.41)对应的齐次方程的解为()cossin,nnn atn atT tabll62由高等数学可知：如果Cy1(x)是齐次线性方程的解，那么可以利用变换y=uy1(x)(这变换是把齐次方程的解中的任意常数C换成未知函数u(x)而得到的)去解非齐次线性方程。这一方法也适用于高阶线性方程。下面就二阶情形来做讨论。如果已知齐次方程()()0(1)yP x yQ x y1122()()()Y xC y xC yx()()()(2)yP x yQ x yf x那么，我们可以用如下的常数变易法去求非齐次方程通解为63令1122()()(3)yy
23、x vyx v要确定未知函数v1(x)及v2(x)使(3)式所表示的函数y满足非齐次方程(2)。为此，对(3)式求导，得1 1221 122yy vy vy vy v由于两个未知函数v1、v2只需满足一个关系式，所以可规定它们再满足一个关系式。从 的上述表示式可看出，为了使 的表示式中不含 和 ，可设yy1v2v1 1220(4)y vy v641 1221 122yy vy vy vy v 从而再求导，得1 122yy vy v把 、代入方程(2)，得yyy1 1221 1221 1221 122()()y vy vy vy vP y vy vQ y vy vf 整理得1 122111122
24、22()()y vy vyPyQy vyPyQy vf 注意到y1及y2是齐次方程(1)的解，故上式即为1 122(5)y vy vf 65联立方程(4)和(5)，在系数行列式121212120yyWy yy yyy-时，可解得2112,y fy fvvWW-对上两式积分(假定f(x)连续)，得211122(),()y fy fvCdx vCdxWW-于是得非齐次方程(2)的通解为21112212y fy fyC yC yydxydxWW-66则利用常微分方程中的参数变易法，即设()()cos()sin(2.43)nnn atn atT ta tb tll为方程(2.41)的解，则待定函数an
25、(t),bn(t)由下面方程组确定()cos()sin0()(cos)()(sin)()nnnnnn atn ata tb tlln atn ata tb tf tll求得00()()sin()()costnnntnnnln aa tafdn alln ab tbfdn al -67把它们代入(2.43)，就得到方程(2.37)的通解0()cossin()sin()tnnnn atn atln aT tabftdlln al-再由初始条件(2.39)，可确定,nnnnlabn a故问题(2.41)，(2.42)的解为0()cossin()sin()tnnnn atln atln aT tftd
26、ln aln al-(2.44)把(2.44)代入(2.40)，可知(2.40)是非齐次问题(2.37)(2.39)的解，完整的形式为681(,)()sinnnn xu x tT tl101(cossin)sin()sin()sinnnntnnn atln atn xln allln an xftdn all-(2.45)从解的形式上看，可分为两部分：等号右端第一个级数项表示初始位移和初始速度对弦振动的影响；第二个级数项表示外力f(x,t)对弦振动的影响。若弦所受外力为零，则(2.45)式就是齐次问题(2.1)(2.3)的解(2.11)。69上述这种解法是把方程的非齐次项以及解按对应的齐次方程
27、的一族固有函数展开，随着方程与边界条件不同，固有函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开，这种方法又称固有函数法。此方法对其他类型的方程也是适用的。702.5 非齐次边界条件的处理71 前面所讨论的定解问题的解法,不论方程是齐次的还是非齐次的,边界条件都是齐次的.如果遇到非齐次边界条件的情况,应该如何处理?总的原则是设法将边界条件化成齐次边界条件化成齐次的.现在以下列定解问题为例,说明选取代换的方法.以弦振动为例，设具有非齐次边界条件的弦振动定解问题为212,0,0(2.46)(0,)(),(,)(),0(2.47)(,0)(),(,0)(),0(2.48)ttxxtua u
28、xl tutt u l tt tu xx u xxxl令(,)(,)(,)(2.49)V x tu x tv x t-72其中v(x,t)满足和u(x,t)相同的边界条件(2.47)则当x=0或x=l时(0,)(,)0VtV l t这样关于V(x,t)的定解问题的边值条件就是齐次的，对应的辅助函数v(x,t)也容易找到，对于第一边值问题，一般可设v(x,t)=a(t)x+b(t)，代入(2.47)可得2111()()()()()a tttlb tt-73即121(,)()()()xv x ttttl-把v(x,t)代入(2.49)，可得121(,)(,)()()()xu x tV x tttt
29、l-再把上式代入(2.46)(2.48)，则定解问题转化为2121121121()()()(0,)(,)0(2.50)(,0)()(0)(0)(0)(,0)()(0)(0)(0)ttxxtxVa VtttlVtV l txV xxlxV xxl-74重复2.4节的做法，就可得到V(x,t)，进而求出u(x,t).对方程和边界条件都是非齐次，且f,u1,u2都与t无关,则可取适当的v(x)(也与t无关),使V(x,t)的方程与边界条件同时都化为齐次的,这样做就可以省掉下面对V(x,t)要进行解非齐次方程的繁重工作.这种v(x)究竟怎么找,将在下面的例题中说明.75例例1 求下列定解问题:2222
30、2000,0,0,(2.63)|0,|,0,(2.64)|0,0.(2.65)xx lttuuaAxl ttxuuB tuuxlt的形式解,其中A,B均为常数.76解解 这个定解问题的特点是:方程及边界条件都是非齐次的.根据上述原则,首先应将边界条件化成齐次的,由于方程(2.63)的自由项及边界条件都与t无关,所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的,具体做法如下:令 V(x,t)=u(x,t)-W(x),代入方程(2.63)得22222()VVaAWxtx77为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的,选W(x)满足22222()VVaAWxtx20()0,0,(2.66)|0,|
31、,0.xx la WxAxlWWB t(2.66)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题,它的解可以通过两次积分得222().22AAlBW xxxaal-78再由(2.65)可知函数V(x,t)为下列定解问题:22222000,0,0,(2.67)|0,0,(2.68)|(),0,0(2.69)xx lttVVaxl ttxVVtVVW xxlt-的解.采用分离变量法,可得(2.67)满足齐次边界条件(2.68)的解为1(,)sincossin(2.70)nnnnn an aV x txCtDtlll79利用(2.69)中第二个条件可得Dn=0.于是定解问题(2.67),(2.68),(2
32、.69)的解表示为1(,)cossinnnn anV x tCtxll代入(2.69)中第一个条件得1()sinnnnW xCxl-即2221sin22nnAnAlBxxCxalal-80由傅里叶级数的系数公式得2220222200222332222sind222sindsind22cos(2.71)lnllAnAlBCxxx xlalalAnnABxx xxx xa lllalAlAlnBa nna n-222232222311sindsincos122sindcossincos11cosdcossin122cosdsincossinxax xaxxaxCaaxax xxaxxaxaxCaa
33、axax xaxxaxCaaxax xxaxxaxaxCaaa-81因此,原定解问题的解为2221(,)22cossinnnAAlBu x txxaaln anCtxll-其中Cn由(2.71)确定.82对边界条件不全是第一类的,本节的方法仍然适用,不同的只是辅助函数v(x,t)的形式。0121201201|(),();2(),|();3(),().xx lx lxxx luuu tu txuu t uu txuuu tu txx831v(x,t)=u2(t)x+u1(t)2v(x,t)=u1(t)(x-l)+u2(t)3v(x,t)=(1/2l)(u2(t)-u1(t)x2+u1(t)x注意
34、以上v(x,t)的选取不是唯一的。84以上各节说明了如何用分离变量法来解定解问题,其主要步骤小结如下:一,根据边界的形状选取适当的坐标系,选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便.二,若边界条件是非齐次的,则不论方程是否为齐次,必须先作函数的代换使其化为具有齐次的边界条件问题,然后再求解.三,非齐次方程,齐次边界条件的定解问题(不论初始条件如何)可以用特征函数法求解.852.6 积分变换法86积分变换通过特定的积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换法是通过积分变换，将数学模型转化，从而简化定解问题的一种求解方法。如通过积分变换将偏微分方
35、程化为常微分方程，于是求解问题得以简化。特别对于无限或半无限区域上的定解问题，采用积分变换有固定的程序求解，更为方便。87()()(,)baF sf x k x s dx这里函数f(x)通过上述积分运算变成另一函数F(s)就称为一个积分变换，其中k(x,s)称为积分变换核，当选取不同的积分变换核和积分域时，就得到不同的积分变换。下面介绍积分变换(傅里叶变换和拉普拉斯变换)在求解偏微分方程定解问题中的应用。一般，含参变量s的积分88一、傅里叶变换(Fourier)1.傅里叶变换定义若函数f(x)在 上满足：逐段光滑；绝对可积，即 收敛则称 为函数f(x)的傅里叶变换，简称傅氏变换，记为 可以推出
36、 称为的傅氏逆变换，记为(,)-()f x dx-1()()2i xf xFed-1()()f xF-()()i xFf x edx-()()Ff x 892.傅里叶变换的性质 线性性质 设 ，a,b为任意常数，则 同样逆变换也成立，即11()()Ff x 22()()Ffx 11212()()()()aFbFaf xbfx-1212()()()()af xbfxaFbF微分性质 类似地，逆变换有()()()()()nnfxif x90积分性质()()()nnnndFix f xd-1()()xxf x dxf xi-卷积定理 卷积定义：若已知函数f1(x),f2(x)，则积分12()()ff
37、xd-称为函数f1(x)与f2(x)的卷积,记为f1(x)*f2(x),即911212()()()()f xfxffxd-显然1221()()()()f xfxfxf x卷积定理：假定1122()(),()()f xFfxF则1212()()()()f xfxFF或11212()()()()FFf xfx-12121()()()()2f xfxFF11212()()2()()FFf xfx-92二、拉普拉斯变换 傅氏变换要求进行变换的函数一定要满足绝对可积，这样的条件是比较强的，许多简单的函数如1，xn,ex和sinx等都不满足在(,)-内绝对可积；另外，在工程应用中许多以时间t为自变量的函数
38、仅在 上有定义。因此，傅氏变换的应用范围受到很大的限制。为了克服傅氏变换的缺点，就需要适当地把傅氏变换加以改造，从而导出拉普拉斯变换，简称拉氏变换。0,931.拉氏变换的定义 设函数f(t)，当 时有定义，且积分0t 0()stf t edt-在s的某一区域内收敛，其中 是复参量，则由此确定的函数si0()()stF sf t edt-称为f(t)的拉普拉斯变换式。记作0()()()stL f tF sf t edt-94并称函数F(s)为f(t)的拉氏变换，称f(t)为F(s)的拉氏逆变换，记作1()()f tLF s-显然1()()f tLL f t-若F(s)是f(t)的拉氏变换，则可推
39、出1()()2istif tF s e dsi-2.拉氏变换的性质 线性性质 若a,b为常数，则951212()()()()L af xbfxaF sbF s且逆变换也有1111212()()()()LaF sbF saLF sbLF s-微分性质 设f(t)在 上连续，则0t()1(2)(1)()()(0)(0)(0)nnnnnL fts L f tsfsff-积分性质01()()tLfdL f ts96推论:0001()()tttnLdtdtf t dtL f ts卷积定义：若f1(t)，f2(t)满足拉氏变换存在的条件，则积分12120()*()()()tf tf tff td-称为f1
40、(t)，f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即120()()tff td-实质上，拉氏变换的卷积与傅氏变换的卷积定义是一致的，当 时，若f1(t)，f2(t)0t 97满足条件12()0,()0f tf t则从傅氏变换的卷积可得到拉氏变换的卷积，即1212()*()()()f tf tff td-012120()()()()tff tdff td-12120()()()()ttff tdff td-卷积定理：设f1(t)，f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件，且1122()(),()()L f tF s L f tF s98则1212()*()()()L f tf tF s F s
41、11212()()()*()LF s F sf tf t-或三、用傅氏变换法求解定解问题 例：求解一维齐次热传导方程的定解问题2220,0(),tuuaxttxuxx-99解：首先对于未知函数u(x,t)及初始条件中的函数 关于x作傅氏变换，记()x(,)(,)(,)()()()i xi xUtu x tu x t edxxx edx-F 然后，对方程两边关于x作傅氏变换，并利用微分性质得22()dUa iUdt即220dUaUdt100这是一个含参数 的一阶常微分方程，对初始条件也作同样的变换得0()tU F解常微分方程初值问题，其解22(,)()atUte-F两端关于 作傅氏逆变换，左端为
42、1(,)(,)Utu x t-而右端根据卷积定理知2222111()()atatee-F F101由于 ，并查傅氏变换表得1()()x-F22221412xata teeat-故定解问题的解22224()41(,)()*21()2xa txa tu x txeatedat-102四、用拉氏变换求解定解问题22200,0,00,0(),0txuuaxttxuxuf t t解：这个问题显然不能用傅里叶变换来求解了，因为x,t的变换范围都是 ，下面用拉氏变换来解，从x,t的变换范围来看，对x,t都能取拉氏变换，但由于方程中含有 ，而在x=0处未给出 的值，故不能0,22uxux103对x取拉氏变换，
43、而对t来说，由于方程中只出现关于t的一阶偏导数，只要知道当t=0时u的值就够了，这个值已由给出，故我们采用关于t的拉氏变换。用U(x,p),F(p)分别表示函数u(x,t),f(t)关于t的拉氏变换，即00(,)(,)()()ptptU x pu x t edtF pf t edt-首先，对方程的两端取拉氏变换，并利用条件，可得1042220d UpUdxa-再对条件取同样的变换，可得0(,)()xU x pF p方程是关于U(x,p)的线性二阶常系数的常微分方程，它的通解为12(,)ppxxaaU x pC eC e-由于当 时，u(x,t)应该有界，所以x 105U(x,p)也应该有界，故
44、C2=0。再由条件可得C1=F(p)，从而可得(,)()pxaU x pF p e-由拉氏变换表可查到1erfce2kpkpt-1erfce2pxaxpa t-22erfc()dyuuey-其中余误差函数LL106再根据拉氏变换的微分性质可得21212pxyaxa tLeedyp-因此2222111243221222ppxxaayxa txya txa tLeLpepdLLedydtdxedyedtat-()()(0)L f tsL f tf-1072214()302(,)()1()2()pxaxtatu x tLF p exfedat-最后由拉氏变换的卷积性质可得原问题的解108选择变换的原
45、则:1.自变量变化的范围，由于傅氏变换要求自变量在 内变化，拉氏变换要求自变量在 内变化，因此要根据自变量的变化范围，作为选择变换的条件之一。2.定解条件的形式，由于拉氏变换的微分性质：0,-()1(2)(1)()()(0)(0)(0)nnnnnL fts L f tsfsff-可以看出，对函数关于某自变量取拉氏变换时，必须在定解条件中给出当自变量等于0时的函数值及有关导数值。109用积分变换法求解定解问题的过程:一,根据自变量的变化范围以及定界条件的具体情况,选取适当的积分变换,然后对方程的两端取变换,把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程.二,对定解条件取相应的变换,导出新方程的定解条件.三,解所得的常微分方程,求得原定解问题解的变换式(即象函数).四,对所得的变换式取逆变换,得到原定解问题的解.110作业习题二41页开始第1(1),2(2),3(1),6(1),7,10题
