1、微专题微专题1“8”字模型及飞镖模型字模型及飞镖模型第6章1.角、边的角、边的“8”字模型字模型如图所示如图所示,线段线段AD,BC相交于点相交于点O,结论结论:A+B=C+D.考向突破考向突破【模型分析】【模型分析】因为这个图形像数字因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模所以我们往往把这个模型称为型称为“8”字模型字模型.“8”字模型往往在几何综合题目中推导角字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到度时用到.【模型推理】【模型推理】AOC是是AOB的外角的外角,A+B=AOC.AOC是是COD的外角的外角,C+D=AOC.A+B=C+D.真题特训真题特训例例1观察下列图形观察下列图形,计
2、算计算:A+B+C+D+E=.即B+E=OCD+ODC.A+B=C+D.由可得AB+ACBD+CD.即B+E=OCD+ODC.A+B=C+D.即B+E=OCD+ODC.“8”字模型及飞镖模型BC+CD BD,A+B+ACE+ADB+EAM,CM分别平分DAB和DCB,练习6如图,在ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.AECFDB.求证:(1)AB+BC+CD+ADAC+BD;例6如图所示,有结论:AB+AC BD+CD.即AB+BC+CD+AD AC+BD.=A+ACE+ADB+1+2由+,得 AD+BC OA+OD+OB+OC.例4如图所示,AD,BC相交于点O,连接AB,CD.【解析
3、】如图,延长BD交AC于点E.B+E=BOC.例2如图,已知ABCD,AF平分BAE,CF平分DCE.即B+E=OCD+ODC.【解析】【解析】利用角的利用角的“8”字模型字模型.如图如图,连接连接CD.BOC是是BOE的外角的外角,B+E=BOC.BOC是是COD的外角的外角,1+2=BOC.【模型推理】如图,连接BC.A+B+ACE+ADB+E由+,得 AD+BC OA+OD+OB+OC.(2)AB+BC+CD+AD AC+BD.【解析】如图,将AC平移至BF,AD的延长线与BF相交于点G,连接DF.AM,CM分别平分DAB和DCB,结论:AD+BCAB+CD.AOC是COD的外角,求证:
4、AB+ACAD+AE.G+D=1,F+C=CNA,E+H=BMH,【解析】如图,延长BD交AC于点E.A+1+3=180-(2+4).A+B=AOC.【模型推理】AOC是AOB的外角,BOC是COD的外角,推出OCD+ODC=BOC.2(AB+BC+CD+AD)2(AC+BD),例4如图所示,AD,BC相交于点O,连接AB,CD.AF平分EAB,CF平分ECD,“8”字模型及飞镖模型B+E=1+2.(角的角的“8”字模型字模型)A+B+ACE+ADB+E=A+ACE+ADB+1+2=A+ACD+ADC=180.(三角形内角和是三角形内角和是180)【答案】【答案】180【名师点拨】【名师点拨】
5、连接连接CD,利用利用“8”字模型和三角形外角和性字模型和三角形外角和性质质,BOC是是BOE的外角的外角,推出推出B+E=BOC.BOC是是COD的外角的外角,推出推出OCD+ODC=BOC.即即B+E=OCD+ODC.例例2如图如图,已知已知ABCD,AF平分平分BAE,CF平分平分DCE.若若E=42,求求F的度数的度数.【解析】【解析】利用角的利用角的“8”字模型字模型.AF平分平分EAB,CF平分平分ECD,ECD=2FCD,EAB=2EAF.ABCD,EGB=ECD.在在AEG中中,EGB是是AEG的外角的外角,EGB=E+EAB.随堂测试随堂测试例例3如图如图,A+B+C+D+E
6、+F+G+H=.【解析】【解析】如图所示如图所示:G+D=1,F+C=CNA,E+H=BMH,G+D+F+C+E+H=1+ANC+BMH.B+BMH+BNC=180,1+BNA+A=180,A+B+BMH+ANC+1=360.A+B+C+D+E+F+G+H=360.【答案】【答案】360例例4如图所示如图所示,AD,BC相交于点相交于点O,连接连接AB,CD.结论结论:AD+BCAB+CD.【解析】【解析】OA+OBAB,OC+ODCD,由由+,得得OA+OB+OC+ODAB+CD,AD+BCAB+CD.练习练习1如图如图,A+B+C+D+E+F=.练习练习2如图如图,CAD+B+C+D+E=
7、.360180B+E=BOC.结论:AD+BCAB+CD.BC+CD BD,【模型推理】如图,连接BC.BOC是COD的外角,推出OCD+ODC=BOC.【名师点拨】连接CD,利用“8”字模型和三角形外角和性质,BOC是BOE的外角,推出B+E=BOC.求证:(1)AB+BC+CD+ADAC+BD;求证:AB+ACAD+AE.由平移可得AC=BF.G+D=1,F+C=CNA,E+H=BMH,由可得AB+ACBD+CD.2(AB+BC+CD+AD)2(AC+BD),=A+ACD+ADC=180.B+E=1+2.即B+E=OCD+ODC.即AB+BC+CD+AD AC+BD.由飞镖模型,得AB+B
8、FAD+DF.例2如图,已知ABCD,AF平分BAE,CF平分DCE.A+B+C+D+E+F+G+H=360.角、边的“8”字模型【解析】如图,延长BD交AC于点E.【解析】利用角的飞镖模型.练习练习3如图如图,四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC,BD相交于点相交于点O.求证求证:(1)AB+BC+CD+ADAC+BD;(2)AB+BC+CD+AD AC,CD+ADAC,AB+ADBD,BC+CD BD,由由+得得2(AB+BC+CD+AD)2(AC+BD),即即AB+BC+CD+AD AC+BD.(2)ADOA+OD,BCOB+OC,由由+,得得 AD+BC OA+OD+OB+OC.A
9、D+BCAC+BD.(边的边的“8”字模型字模型)同理可证同理可证AB+CD AC+BD.AB+BC+CD+AD BD+CD.AMC=1+2+ADC.即B+E=OCD+ODC.AB+AC=AB+AE+EC,AB+AEBE,BC+CD BD,AM,CM分别平分DAB和DCB,A+B+ACE+ADB+E【模型分析】因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为“8”字模型.EGB=ECD.G+D=1,F+C=CNA,E+H=BMH,练习5如图,A+B+C+D=.【模型推理】AOC是AOB的外角,AOC是COD的外角,AF平分EAB,CF平分ECD,【名师点拨】连接CD,利用“8”字模型和三角形外
10、角和性质,BOC是BOE的外角,推出B+E=BOC.【模型分析】因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.角、边的“8”字模型B+E=BOC.【解析】如图,延长BD交AC于点E.A+B=AOC.例5如图,在四边形ABCD中,AM,CM分别平分DAB和DCB,AM与CM交于M,探究AMC与B,D间的数量关系.BOC是BOE的外角,即AB+BC+CD+AD AC+BD.【解析】【解析】如图如图,延长延长BD交交AC于点于点E.AB+AC=AB+AE+EC,AB+AEBE,AB+ACBE+EC.BE+EC=BD+DE+EC,DE+ECCD,BE+ECBD+CD.由由可得可得AB+ACBD+CD.练习练习4如图如图,A+B+C+D+E+F=.230练习练习5如图如图,A+B+C+D=.238练习练习6如图如图,在在ABC中中,D,E在在BC边上边上,且且BD=CE.求证求证:AB+ACAD+AE.【解析】【解析】如图如图,将将AC平移至平移至BF,AD的延长线与的延长线与BF相交于点相交于点G,连连接接DF.由平移可得由平移可得AC=BF.ACBF,ACE=FBD.BD=CE.AECFDB.DF=AE.由飞镖模型由飞镖模型,得得AB+BFAD+DF.(飞镖模型飞镖模型)AB+AC=AB+BFAD+DF=AD+AE.
