1、第2节 简单几何体的表面积和体积,最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.,知 识 梳 理,1.多面体的表(侧)面积,多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,3.简单几何体的表面积与体积公式,S底h,4R2,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) (2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ),解析 (1)锥体的
2、体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修2P44讲解引申改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ),解析 由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案 B,3.(必修2P50A1改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为( ) A.12 B.23 C.34 D.13,答案 B,4.(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ),答案 A,5.(201
3、7全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ),解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.,答案 B,6.(2018浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为_.,答案 6,考点一 简单几何体的表面积,【例1】 (1)(2019南昌模拟)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( ),(2)(2018洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( ),解析 (1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图. 由题意知底面正方形的
4、边长为2，正四棱锥的高为2，,(2)由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一个球组合而成. 圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，,答案 (1)B (2)B,规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,【训练1】 (1)(2019西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ),A.20 B.24
5、 C.28 D.32,(2)(2018烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( ),解析 (1)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，,故几何体的表面积S154928.,答案 (1)C (2)A,考点二 简单几何体的体积 多维探究 角度1 以三视图为背景的几何体的体积,【例21】 (2019河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ),答案 A,角度2 简单几何体的体积 【例22】 (2018天津卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如
6、图)，则四棱锥MEFGH的体积为_.,角度3 不规则几何体的体积 【例23】 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为( ),解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，,答案 A,规律方法 1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解. 2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体
7、积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体. 3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.,(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ),又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1的底面B1DC1上的高，,(2)该几何体为一个半圆柱中间挖去
8、一个四面体，,答案 (1)C (2)A,考点三 多面体与球的切、接问题 典例迁移,【例3】 (经典母题)(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( ),解析 由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.,2r43，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.,答案 B,【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，
9、求球O的表面积.,解 将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1， 则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球. 体对角线BC1的长为球O的直径.,故S球4R2169.,【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”，试求该几何体外接球的表面积.,规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决
10、外接问题.,【训练3】 (2019广州模拟)三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为( ),答案 D,思维升华 1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 2.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用
11、来求解几何图形的高或几何体的高.,易错防范 1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误. 3.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.,直观想象简单几何体的外接球与内切球问题,1.直观想象主要表现为利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，解决与球有关的问题对该素养有较高的要求. 2.简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键.,类型1 外接
12、球的问题 1.必备知识： (1)简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. (2)构造正方体或长方体确定球心. (3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 2.方法技巧：几何体补成正方体或长方体.,【例11】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ),A.25 B.26 C.32 D.36,易知AD为三棱锥ABCD的外接球的直径.设球的半径为R，则由勾股定理得4R2AB24r232，故该几何体的外接球的表面积为4R232. 答案 C,A.3 B.4 C.5 D.6,答案 C,答案 B,类型2 内切球问题 1.必备知识： (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.,
