1、第4节 平行关系,最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.,知 识 梳 理,1.直线与平面平行,(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.,(2)判定定理与性质定理,一条直线与此平,交线,面内的一条直线,2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面. (2)判定定理与性质定理,相交直线,平行,交线,微点提醒,平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则. (2)
2、平行于同一平面的两个平面平行，即若，则. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ),解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误. (2)若a，P，则过点P且平行于a的直线
3、只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修2P29抽象概括改编)下列说法中，与“直线a平面”等价的是( ) A.直线a上有无数个点不在平面内 B.直线a与平面内的所有直线平行 C.直线a与平面内无数条直线不相交 D.直线a与平面内的任意一条直线都不相交 解析 因为a平面，所以直线a与平面无交点，因此a和平面内的任意一条直线都不相交，故选D. 答案 D,3.(必修2P34练习2T1改编)下列命题中正确的是( ) A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 B.
4、若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面满足ab，a，b ，则b 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D. 答案 D,4.(2018长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.m，n，则mn B.mn，m，则n C.m，m，则 D.，则 解析 A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n或n，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，或与相交，D错. 答案 C,5.(2019铜川月考)若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中( ) A.不一定存在与a平行的
5、直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 解析 当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A. 答案 A,6.(2019衡水开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_.,解析 平面ABFE平面DCGH， 又平面EFGH平面ABFEEF， 平面EFGH平面DCGHHG， EFHG.同理EHFG， 四边形EFGH是平行四边形. 答案 平行四边形,考点一 与线、面平行相关命题的判定,【例1】 (1)(2019开封模拟)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的
6、真命题是( ) A.若ac，bc，则ab B.若a，b，则ab C.若a，b，则ab D.若，a，则a,(2)(2018聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC平面DEF的是( ),解析 (1)对于A，若ac，bc，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题； 对于B，设m，若a，b均与m平行，则ab，故B是假命题； 对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题； 对于D，若，a，则a与没有公共点，则a，故D是真命题.,(2)在B中，如图，连接MN，PN， A，B，C为正方体所在棱的中点，ABMN，ACPN， MNDE，PNEF，ABDE，ACEF， ABA
7、CA，DEEFE，AB，AC平面ABC，DE，EF平面DEF， 平面ABC平面DEF. 答案 (1)D (2)B,规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.,【训练1】 (1)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，
8、则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行,解析 (1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.,(2)如图，对于，连接MN，AC，则MNAC，连接AM，CN， 易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的. 对于，由知M，N在平面APC内，由题易知ANC1Q，且AN 平面APC，C1Q 平面APC.,所以C1Q平
9、面APC是正确的. 对于，由知，A，P，M三点共线是正确的. 对于，由知MN 平面APC，又MN 平面MNQ， 所以平面MNQ平面APC是错误的. 答案 (1)C (2),考点二 直线与平面平行的判定与性质 多维探究 角度1 直线与平面平行的判定,【例21】 (2019东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.,(1)证明：EF平面PDC； (2)求点F到平面PDC的距离.,(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，,E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，,MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，
10、 EFDM，EF平面PDC，DM 平面PDC， EF平面PDC.,(2)解 EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.,PA平面ABCD，PACB，CBAB，PAABA，CB平面PAB，,连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE，设E到平面PDC的距离为h， CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面PAD，,角度2 直线与平面平行性质定理的应用 【例22】 (2018上饶模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.,(1)求三棱锥B1A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面
11、A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.,(2)B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下： 因为BA1平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE， 所以A1BGE. 又A1BCD1，所以GECD1. 又E为DD1的中点，则G为CD的中点. 故BGB1F，BG就是所求直线.,规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“
12、面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.,【训练2】 (2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.,求证：(1)EF平面ABC； (2)ADAC.,证明 (1)在平面ABD内，ABAD，EFAD， 则ABEF. AB平面ABC，EF 平面ABC， EF平面ABC.,(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD， BC平面ABD. AD平面ABD，BCAD. 又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB， AD平面ABC， 又因为AC平面ABC，ADA
13、C.,考点三 面面平行的判定与性质 典例迁移 【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：,(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG.,证明 (1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1. 又B1C1BC， GHBC，B，C，H，G四点共面.,(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC， EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB， A1G綉EB， 四边形A1EBG是平行四边形，A
14、1EGB. A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG.又A1EEFE， 平面EFA1平面BCHG.,【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D.,证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M， 四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD， D为BC的中点，A1BDM. A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD， 四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1. 又DC1平面A1BD1
15、，BD1 平面A1BD1，DC1平面A1BD1， 又DC1DMD，DC1，DM 平面AC1D， 因此平面A1BD1平面AC1D.,解 连接A1B交AB1于O，连接OD1. 由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，,规律方法 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说
16、明是在一个平面内的两条直线是相交直线.,【训练3】 (2019南昌二模)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD2AD4，侧面PAB是等腰直角三角形，PAPB，平面PAB平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF平面PAD.,(1)确定点E，F的位置，并说明理由； (2)求三棱锥FDCE的体积.,解 (1)因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面ABCDCE， 平面PAD平面ABCDAD， 所以CEAD，又ABDC， 所以四边形AECD是平行四边形，,因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面PABEF，平面PAD平面PABPA， 所以EF
17、PA，又点E是AB的中点， 所以点F是PB的中点. 综上，E，F分别是AB，PB的中点.,(2)连接PE，由题意及(1)知PAPB，AEEB， 所以PEAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB， 所以PE平面ABCD. 又ABCD，ABAD，,思维升华 1.转化思想：三种平行关系之间的转化,其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化. 2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.,3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a. 易错防范 1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误. 2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件. 3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交. 4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.,
