1、20192020学年度河北省期末考试高二数学试题一、选择题： 1.已知，则z的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法化简，再求虚部即可.【详解】因为，则z的虚部为.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及虚部的辨识.2.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】任意改存在，改为，否定结论即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故其否定为：，故选：D.【点睛】本题考查全称命题否定.3.容量为100的样本数据，分组后的频数如下表：分组频数5122038178则样本数据落在区间内的频率是（ ）A. 0
2、.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55【答案】A【解析】【分析】计算出落在区间内的频数，再用频数除以样本容量即可.【详解】由题意可得样本数据落在区间内的频数为，则所求频率为.故选：A.【点睛】本题考查在频数分布表中，计算频率，属基础题.4.已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，可得和，再根据焦距计算出具体值，进行取舍.【详解】因为是焦点在轴上的椭圆，故，又故，解得.故选：C.【点睛】本题考查椭圆方程，涉及的识别，属基础题.5.若曲线在处的切线方程为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案
3、】A【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合题意，即可求解.【详解】因为，所以，又处，切线斜率为.则，解得.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及由切线斜率求解参数.6.若抛物线上的点P到焦点的距离是5，则点P到x轴的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由抛物线定义，可知点到准线的距离，再进行适当变换即可求得.【详解】由题意可得，因为点P到准线的距离等于到焦点的距离5，故则点P到x轴的距离是.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，属抛物线基础题.7.若冬季昼夜温差x（单位：）与某新品种反季节大豆的发芽数量y（单位：颗）具有线性相关关系，根据一组样本数
4、据，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（ ）A. y与x具有正相关关系B. 回归直线过点C. 若冬季昼夜温差增加，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗D. 若冬季昼夜温差的大小为，则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程的相关计算，结合题意，进行逐一分析即可.【详解】因为回归直线的斜率为2.5，所以y与x具有正相关关系，A正确；回归直线经过样本中心点，故过点，B正确；冬季昼夜温差增加，则发芽数量的增加量即为回归直线方程的斜率，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗，C正确；回归直线方程只可预测，不是确定的值，故D错误.
5、故选：D.【点睛】本题考查线性回归直线方程，涉及回归方程过样本中心点，以及相关性的正负，以及应用回归方程进行预测.8.已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解.【详解】设，则，.因为A，B两点在双曲线C上，所以，所以，则，即，故双曲线C的渐近线方程是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线中的中点弦问题，其方法是点差法，需要熟练掌握.9.一次数学考试，5名学生的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示.若随机从这5名学生中任取2人，则这2人的成绩之差的绝对值不超过8的概率是（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】计算出事件全部的可能性，再找出符合题意的可能，用古典概率计算公式求解即可.【详解】设选取的2名学生的成绩分别为a，b，故所有的可能如下表所示：8185899095810489148540451089840169095105951410650由图可知，所有可能的情况总共有20种，满足要求的有14种，则由古典概型计算公式可得所求概率故选：C.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及茎叶图的识别.10.已知点在椭圆：上，直线：，则“”是“点到直线的距离的最小值是”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答
7、案】B【解析】【分析】“点到直线的距离的最小值是”解得：，即可判断.【详解】点在椭圆：上，直线：，考虑“点到直线的距离的最小值是”设，点到直线的距离点到直线的距离的最小值是，即的最小值，所以符号恒正或恒负，当时，当时，综上所述：.所以“”是“点到直线的距离的最小值是”的充分不必要条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.11.若关于x的不等式的解集包含区间，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将问题转化为对恒成立，再利用导数，求解函数的最小值即可.【详解】设，则，当时，；当时，则.由题意可得不等式对恒成立
8、，即，则.故选：A.【点睛】本题考查利用导数，由不等式恒成立求解参数的范围，属导数应用基础题.12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上，必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：当为钝角时，在中，设，有，即，所以；当时，所在直线方程，所以，根据图象可得要使，点向右上方移动，此时，综上所述：的取
9、值范围是.故选：C【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.二、填空题：13.A，B，C三人在三天节日中值班，每人值班一天，则A排在B前面值班的概率是_.【答案】【解析】【分析】用列举法求解出所有值班的情况，再找出满足题意的情况，用古典概型计算公式求解.【详解】A，B，C三人在三天中值班的情况有，共6种；其中A排在B前面值班的情况有，共3种.故所求概率.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题；其重点是列举出所有可能，并找出满足条件的可能.14.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则_.【答案】0【解
10、析】【分析】根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值.【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，所以由题：所以即.故答案为：0【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可.15.已知椭圆的左、右焦点分别是，点P在椭圆C上，且，则的面积是_.【答案】【解析】【分析】由余弦定理，结合椭圆的定义，可求得，再用面积公式求解即可.【详解】由题意可得，.设，由椭圆定义和余弦定理可得：，解得，故的面积是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形的面积，其核心在于利用余弦定理和椭圆的定义列方程.16.已知函数，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则k的最
11、小值是_.【答案】【解析】【分析】对求导，讨论其单调性以及对应的最值，结合问题，求得参数的范围.【详解】因为，所以.令，得或；令，得.故，上单调递增，在上单调递减.当时，取极大值；当时，取极小值.因为，且当时，所以当，不等式的解集中恰有两个整数，故k的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解不等式能成立的问题，利用导数判断函数单调性是重点.三、解答题：17.已知函数在上单调递减，关于的方程的两根都大于1.（1）当时，是真命题，求的取值范围；（2）若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（5,6）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性，要使函数在
12、上单调递减，只需，即可求出命题为真时参数范围；（2）先求出命题为真时的取值范围，求出方程的两根分别为和，由命题为真，得出，根据命题的关系，即可求解.【详解】（1）因为，所以因为是真命题，所以，所以.故的取值范围是（5,6）；(2)若是真命题，则，解得.关于的方程的两根分别为和.若是真命题，则，解得.因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以.【点睛】本题考查命题为真以及命题间充分不必要条件，求参数的取值范围，属于基础题.18.已知函数，（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值【答案】（1）的单调递增区间为（-，-），（2，+）； 单调递减区间为（，2）;（2）最大值为4，最小值为【解
13、析】试题分析：（1）求出， 得增区间，得减区间；（2）由（1）可知，在上有极小值，而，比较大小即可求在上的最大值和最小值.试题解析：（1）因为，所以 由得或, 故函数的单调递增区间为（-，-），（2，+）； 由得,故函数的单调递减区间为（，2）（2）令 得 由（1）可知，在上有极小值，而，因为 所以在上的最大值为4，最小值为【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 得增区间，得减区间,左增右减，那么在处取极大值，左减右增，那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最
14、值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与最值的大小.19.为了解某中学学生对中华人民共和国交通安全法的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成，六组，得到如下频率分布直方图.（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在内的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用每个长方形的面积底边中点值，累加即为平均数的估计值；（2）根据题意计算出在内的学生人数，计算出所有答题的情况，再计算出满足题意的情况，用古
15、典概型计算公式进行计算即可.【详解】（1）估计平均数为：.（2）答对题数在内的学生有人，记为A，B；答对题数在内的学生有人，记为c，d，e.从答对题数在内的学生中随机抽取2人的情况有，共10种，恰有1人答对题数在内的情况有，共6种，故所求概率.【点睛】本题考查频率分布直方图的平均数计算，以及古典概型的概率计算，属基础题.20.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面， （1）证明：平面平面（2）求直线与平面的所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：由已知，又平面，平面，又，平面平
16、面又平面平面平面（2）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则，设平面的一个法向量为，则即令，则设与平面所成的角为，则【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，利用向量法求线面角，属于中档题.21.已知函数，是的导函数，且，.（1）求的解析式，并判断零点的个数；（2）若，且对任意的恒成立，求k的最大值.（参考数据：，）【答案】（1），1个；（2）4【解析】【分析】（1）由，待定系数即可求得解析式，再令，求解零点； （2）分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解函数单调性及最值.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，.解得，故，令，解得故当函数单调递减；当函数单调
17、递增；又，故函数在存在一个零点；当时，故，故函数在区间上不存在零点；综上所述：函数只有1个零点.（2）因为，所以等价于设，则.令，则，故在上单调递增.因为，所以存在，使得，即，则在上单调递减，在上单调递增，故.因为对任意的恒成立，所以.因为，且，所以k的最大值是4.【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点个数，以及利用导数由恒成立问题求参数的问题，涉及二次求导，以及分离参数，属导数中档题.22.已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程.（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1
18、）；（2）存在【解析】【分析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.【详解】（1）因为最小值是，所以，因为椭圆的焦距为，所以，即，所以，故椭圆的标准方程是；（2）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，所以直线的方程为，则直线与椭圆的交点为或，因为，所以，所以，即，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，.联立，整理得，则，因为，在直线上，所以，将，代入上式，得，因为，所以，即，因为动直线与圆相切，所以，所以，即，综上，存在，使得.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.
