1、2019年邵阳市高一选科摸底考试试题卷数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A、B，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及求具体函数的定义域，属于基础题.2.直线与垂直，则a的值为（ ）A. 或3B. 1C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线方程的一般式两条直线垂直，系数满足，解方程即可求解.【详解】由直线与垂直，则系数满足：，解得.故选：D【点睛
2、】本题考查了直线一般式形式，直线垂直系数满足：，属于基础题.3.设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）若，则 若，则若，则 若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】中，与相交或平行；中，由面面平行的判定定理可得；中，由面面垂直的判定定理可得；中，l与相交、平行或，进而可得出选项.【详解】l为直线，是两个不同的平面可知：在中，若，则与相交或平行，故不正确；在中，若，由面面平行的判定定理可得，故正确； 在中，若，由面面垂直的判定定理可得，故正确；在中，若，则l与相交、平行或，故不正确；故选：C【点睛】本题考查了面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于基础题.4.
3、点关于直线对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据题意设对称点坐标为，从而可得，解方程组即可.【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，故对称点为.故选：C【点睛】本题考查了点关于直线对称，需掌握点关于直线对称，两点构成的直线与已知直线垂直，两点的中点在已知直线上，属于基础题.5.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】，所以函数的零点所在的区间为.故选：C【点睛】本题考查了函数零点存在性定理，需掌握定理的内容，属于基础题.6.如图所示，正方体中，点P，Q分别为棱，的中点，则PQ与所成角
4、的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接,，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得.【详解】连接,，由正方体的性质可得到， 又点P，Q分别为棱，的中点，在正方体中，可得，平面，又平面，所以.故PQ与所成角的大小为.故选：D【点睛】本题考查了异面直线所成的角，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，中线AD的长度是4，则顶点A的坐标满足的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可知，点到点的距离为4，可得点的轨迹为圆，再根据点不在直线上，可求得顶点A的轨迹方程.【详解】由于点B，
5、C的中点为坐标原点，故点到原点的距离为常数4，故点的轨迹为圆，圆的圆心为原点，半径为4，由于、B、C围成三角形，故点不在直线上，所以顶点A的轨迹方程为.故选：A【点睛】本题考查了动点的轨迹方程，考查了圆的定义以及圆的标准方程，属于基础题.8.三个数之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,，故选B.9.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分析函数的奇偶性，然后考虑特殊值如【详解】记，则，函数为奇函数，可排除D，又，排除AB，只有C符合故选C【点睛】本题考查由函数解析式选择函数的图象，解题方法是研究函数的性质如奇偶性、单调性、周期性，
6、研究函数的特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴的交点等），研究函数值的正负等等10.设函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件利用函数的单调性的性质可得，解不等式组即可求解.【详解】由函数是R上的单调递增函数，可得，解得.故实数a的取值范围为.故选：D【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意增函数的定义，在分段函数单调性中，不仅各段单调递增，也要保证整体单调递增，属于基础题.11.如图所示，在正方体中，点F是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 当点F移动至中点时，直线与平面所成角最大且为B. 无论点F在上怎么移动，都有C.
7、 无论点F在上怎么移动，都有与相交于一点，记为点E，且D. 当点F在上移动时，异面直线与CD所成角可能是【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，. 当点F移动至中点时，直线与平面所成角由小到大再到小，如图所示：且点F是的中点时最大角的余弦值为,最大角大于，故A不正确；对于B，在正方形中，平面，又平面，所以,因此B正确；对于C，F是的中点时，也是的中点，它们共面于平面，且必相交，设为，连接和，如图所示，根据，可得，故只有F是的中点时才成立，故C不正确；对于D，当点从运动到时，异面直线与CD所成角由大到小再到大，且F是的中点时最小角的正切值为最
8、小角大于，故D不正确；故选：B【点睛】本题是一道立体几何的综合题目，考查了异面直线所成的角、线面垂直的判定定理，属于中档题.12.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得在上有两个不同零点，故有，由此求得m的取值范围.【详解】与在上是“关联函数”，在上有两个不同的零点，故有 ，即 ，解得，故m的取值范围为.故选：B【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了二次函数的零点分布求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题（本大题
9、共4道小题，每小题5分，满分20分）13.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_.【答案】x+y=3或y=2x【解析】试题分析：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0考点：直线方程14.在矩形中，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是_.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，三棱锥
10、外接球的半径再计算体积.【详解】如图，取的中点，连接.由题意可得，则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.故答案为【点睛】本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.15.若函数的定义域是，则函数的定义域为_【答案】 【解析】【分析】由函数y=f（x）的定义域为，2，知log2x2，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域即可【详解】函数y=f（x）的定义域为，2，log2x2，x4故答案为：【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.若是定义在R的偶函数，且在上是增函数，则的解集是_.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的性质可得
11、，函数在上单调递减，且，故只需，解不等式即可求解.【详解】由是定义在R的偶函数，且在上是增函数，可得在上单调递减，且，因为，所以，解得，故不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于基础题.三、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）； （2）.【答案】（1）1；（2）5【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解.（2）利用指数、对数的运算性质即可求解.【详解】（1）原式. （2）原式【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质，需熟记指数、对数的运算性质，属于基础题.18.已知三角形的三个顶点的
12、坐标分别是，.（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可求解.（2）利用中点坐标公式求出BC中点坐标，进而求出BC边上的中线所在直线的方程.【详解】（1）BC边所在直线的斜线为. 则BC边上的高所在直线的斜率为.的方程为：， 化简得：. （2）设BC中点，由中点坐标公式得，即，的方程为：.【点睛】本题考查了两直线垂直斜率之间的关系，点斜式方程以及中点坐标公式，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，点E为线段A
13、B上异于A，B的点，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF.（1）求证：平面平面PCD；（2）若三棱锥的体积为，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证出，利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可证出.（2）求出，设，利用三角形相似可得，三棱锥的高，则，利用即可求解.【详解】（l）因为平面ABCD，平面ABCD，所以.又四边形ABCD是矩形，所以.又，所以平面PAD.又平面PAD，所以平面平面PCD. （2）因为，所以，设，因为四边形ABCD是矩形，所以，所以，即，解得，所以的面积.因为平面ABCD，所以三棱锥的高，所以三棱维的体积，因为三棱锥的体积
14、为，且，所以，解得，即.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式以及等体积法的应用，属于中档题.20.为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等）对辖区内的污水进行净化.为了净化工作更加科学有效，环保部门对某水域内2018年年底投入的浮萍生长情况作了调查，测得该水域2019年二月底浮萍覆盖面积为，三月底浮萍覆盖面积为.若浮萍覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）已知市环保部门在2018年年底在该水域厂投放了的浮萍，试判断哪个函数模型更合适？并说明
15、理由；（3）利用（2）的结论，试估算至少到几月底该水域的浮萍覆盖面积能达到（参考数据：，）【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）1月底【解析】【分析】（1）根据题意可得、，解方程组即可求解.（2）令，代入（1）中的函数表达式，计算值即可求解. （3）由（2）可得，解指数型不等式即可求解.【详解】（1）由已知，所以. 由已知，所以 （2）若用模型，则当时， 若用模型，则当时，易知，使用模型更为合适. （3）由， 故，到2020年1月底该水域的浮萍覆盖面积达到【点睛】本题考查了指数函数、二次函数模型以及解指数型函数不等式，属于基础题.21.圆C与y轴切于点，与x轴的正半轴交于M，N两点（点M
16、在点N的左侧），且.（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一直线与圆相交于A，B两点，连接AN，BN.设直线AN，BN的斜率分别为，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设圆心C的坐标为，根据题意可得，从而求出圆的方程.（2）由（l）可得，点M的坐标为，点N的坐标为，设过点M的直线为，与圆O相交于点，将直线与联立，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，再求出，代入化简整理可得，利用点斜式可得直线方程由点到直线的距离公式即可求解.【详解】（l）设圆心C的坐标为，则有，解得或（舍去）.圆C的方程为. （2）由（l）可得，点M的坐标为，点N的坐标为，设过点M的直线为，与圆O
17、相交于点，又圆O为，联立可得.将式代入式可得，.则有，. ，恒成立 ，即，恒成立，此时圆O的方程为，易知直线AN的方程为，即，由得.，即的取值范围为.【点睛】本题考查了圆的标准方程、点斜式方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.22.设，函数.（1）若函数在为单调函数，求a的取值范围；（2）根据a的不同取值情况，确定函数在定义域内零点的个数.【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）讨论的取值范围，即时或或，去掉绝对值，判断出函数的单调性即可求解. （2）由题意可得，由，可得或，只需探讨根的个数，化为，设，讨论的取值范围，求出零点个数即可求解.【详解】（l）显然，当时，在为增函数，在为增函数.当时，显然在为增函数.当时，此时，为的零点，又是的零点，不单调.综上，实数a的取值范围为. （2），由，可得或，式可化为，设.若，有两个根0，1，故函数有2个零点. .若，对称轴，且.故有两个不同正根，即函数有3个零点. .若，故函数只有1个零点.【点睛】本题考查了函数的单调性求参数的取值范围、探讨零点的个数，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
