1、20192020学年高一上学期期末考试数学第卷一、选择题：1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算得到，再计算得到答案.【详解】因为,所以.故选：【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2.已知向量，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐标运算即可求解.【详解】由向量，则.故选：B【点睛】本题考查了向量的线性坐标运算，属于基础题.3.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据弧度与角度的转化,代入即可求解.【详解】根据弧度与角度的关系可得.故选:B【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题.4.设终边在
2、y轴的负半轴上的角的集合为M，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解.【详解】终边在y轴的负半轴上的角的集合为：或.故选：C【点睛】本题考查了终边相同角的表示，属于基础题.5.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.6.在中，D为边BC上的一点，且，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】D为边BC上一点，且，D是四等分点，结
3、合，最后得到答案【详解】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，故选：B【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.7.已知向量，若，则( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由向量，若，则，解得.故选：D【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：，属于基础题.8.将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图像变换原则可得新曲线为,令求解即可【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得
4、到曲线,令,得故选：A【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心9.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与比较【详解】，又，而，故选：B【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如等等10.已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，则ABC一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】【分析】设，利用向量加法的平行四边形法则以及
5、向量共线定理可得点P在BC边上的中线，也在的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项.【详解】设，则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上.设，它们都是单位向量，由平行四边形法则，知点P也在的平分线上，所以ABC定是等腰三角形.故选：B【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量的共线定理，属于基础题.11.已知函数，若，在上恒成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，问题等价于在上恒成立，由二次函数的开口向下，只需满足，解不等式组即可.【详解】问题等价于在上恒成立. 设，则在上恒成立，由二次函数的开口向下，所以解得.故选：A【点睛】本题考查
6、了不等式恒成立求参数的取值范围以及三角函数的性质，考查了转化与化归的思想，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题：13.若函数，则_.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，求出，再求出即可求解.【详解】由函数，则.故答案为：【点睛】本题考查了求分段函数的函数值以及三角函数值
7、，属于基础题.14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知因为,所以,所以.故答案为: 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题.15.已知，角的终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可得，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】因，所以.故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及三角函数的定义，属于基础题.16.设函数，若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可
8、得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，于是等价转化为，得，即对任意的， 从而有，即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，且定义域为R.又因为函数在上为增函数所以在上为减函数，从而在R上为减函数.于是等价于，所以，即.因为，所以，所以，解得.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题：17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故
9、或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.计算或化简：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用指数与对数的运算性质即可求解.（2）利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1)原式）.(2)原式.【点睛】本题考查了指数与对数的运算，需熟记指数与对数的运算性质，属于基础题.19.已知函数.(1)化简；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式即可化简.（2）由（
10、1）利用同角三角函数的基本关系“齐次式”即可求解.【详解】(1)（写成或均可）(2)因为.所以.【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.20.设，是两个不共线的向量，.(1)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足，求实数k的值；(2)若A，C，D三点共线，求实数k的值.【答案】(1)2；(2).【解析】【分析】（1）由，根据向量减法的几何意义可得，从而可得，利用平面向量的基本定理即可求解.（2）利用向量共线定理，将已知代入即可求解.【详解】(1)，即，.(2)三点共线，.，即，解得.【点睛】本题考查了向量减法的几何意义、平面向量的基本定理以及平面向量的共线定
11、理，属于基础题.21.已知函数,当时,函数的值域是.(1)求常数,的值;(2)当时,设,判断函数在上的单调性.【答案】(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.【解析】【分析】（1）先求得,再讨论和的情况,进而求解即可；（2）由（1）,则,进而判断单调性即可【详解】解:(1)当时,所以,当时,由题意可得,即,解得,；当时,由题意可得,即,解得,(2)由（1）当时,所以,所以,令,解得,当时,则,所以函数在上单调递增,同理,函数在上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力22.已知函数，其中e为自然对数的底数.(1)证明：在上单调递增；
12、(2)函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义即可证出.（2）根据解析式可知与均为上的偶函数，由题意可知只需函数在上的最大值不小于的最大值，由（1）函数为单调递增，即，解不等式即可.【详解】（1）证明：任取，且，则因为，所以，所以，即当时，总有，所以在上单调递增.（2）解：由，得是上的偶函数，同理，也是上的偶函数.总存在，对任意都有，即函数在上的最大值不小于的最大值.由(1)知在上单调递增， 所以当时，所以.令，则，令，易知在上递增，又，所以，即，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性，以及不等式恒成立问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题.
