1、高二质量调研试题数学一、单项选择题：1.已知是等比数列，且，那么的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质，对已知条件进行变形即可求得.【详解】根据等比数列的性质，则：解得，又故故选：A.【点睛】本题考查等比数列下标和性质，也可以用基本量求解.2.已知，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合已知条件，对三个数的大小进行比较即可.【详解】因为，故，故又故综上：故选：D.【点睛】本题考查利用不等式性质比较大小，是基础题.3.已知双曲线 的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程
2、为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，列方程，求得即可.【详解】由题可知，由故解得故选：A.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4.条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据是的充分条件，可得集合之间的关系，即可求得参数范围.【详解】因为，故可解得又因为是的充分条件故：集合是集合的子集，故解得故的最小值为3.故选：C.【点睛】本题考查由充分条件，求参数的范围，属基础题.5.如图，在正方体中，分别是上底棱的中点，与平面所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建
3、立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】建立以为坐标原点，以、，所在直线分别为轴，设正方体棱长为1，则：设平面的法向量为则，故：解得又设直线与平面所成的角的大小为故可得故可得与平面所成的角的大小为故选：B.【点睛】本题考查线面角的求解，可以用向量法进行处理.6.若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）A. 有最小值B. 有最小值C. 有最小值D. 有最小值4【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对每一项进行逐项分析即可.【详解】对A：由均值不等式可得：，当且仅当时取得最大值，不是最小值，故错误；对B：，当且仅当时取得，此时取得最大值，不是最小值，故错误；对C：当且仅当时取得最小值，故
4、错误.对D：，当且仅当取得最小值.故正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，涉及均值不等式的使用，属综合基础题.7.我国古代数典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】根据题意，构造等比数列，应用公式求解即可.【详解】不妨设大老鼠和小老鼠每天穿的长度为数列和数列是一个首项为1，公比2等比数列，数列是一个首项为1，公比为的等比数列，故可得第天总共穿的长度：整理得：当时，长度小于10当时，长度大于10故两个老鼠在第4天相逢
5、.故选：C.【点睛】本题考查数列的实际应用，属基础题.8.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小【详解】解：根据题意，设，若为奇函数，则，则函数为偶函数，当时，又由当时，则，则函数在上为减函数，（2），且，则有；故选【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是构造新函数，属于综合题二、多项选择题：9.以下说法正确的有（ ）A. 实数是成立的充要条件B. 对恒成立C. 命题“，使得”的否定是“，使得”D. 若
6、，则的最小值是【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合题意，逐项分析即可.【详解】对A：实数是成立的充分不必要条件，故错误；对B：对恒成立，故正确；对C：命题“，使得”的否定是“，使得”故错误；对D：若，且当时，才能满足最小值为8，当不满足两个数均为正数，则最小值为8不成立，故错误.故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，涉及均值不等式，重要不等式，属不等式基础题.10.如图，在边长为2的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，下列结论正确的是（ ）A. 的长度的最大值为2B. 的长度的最小值为C. 的长度的最大值为D. 的长度的最小值为【答案】D【解析】【分析】找出点P的运动轨迹
7、，再根据题意，计算其最大值与最小值即可.【详解】根据题意，若满足，则点P的轨迹为过且与直线垂直的一个平面与底面的交线.根据题意，取中点为，取中点为，连接如下图所示：因为垂直于在平面中的投影，故同理故直线平面故平面与底面的交线即为P点的运动轨迹在中，由等面积法可知，过作底边的高线，则高线长为即为的最小值；又当点与M点重合时，取得最大值，最大值为综上所述：故选：D.【点睛】本题考查线面垂直问题，涉及轨迹求解，属综合基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，若，则双曲线的离心率不可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合题中已知条件，利
8、用两边之和大于第三边，找到不等关系，确定离心率的范围即可.【详解】设故可得：解得：因为，故可得解得.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，其中寻求不等关系是重中之重.12.已知函数，若方程有4个零点，则 的可能的值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出在区间上的过坐标原点的切线的斜率，只需小于该斜率，且为正数即可.【详解】根据函数的解析式，可知，函数的图像如下：要使得方程有4个零点，只需小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可.，设切点，故可得切线方程为：，又其过代入解得故此时切线的斜率为故故选：A.【点睛】本题考查函数的零点问题，涉及数形结合，利用导数求
9、切点，属函数综合题.三、填空题： 13.记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【答案】.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算14.正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围是 【答案】【解析】【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在
10、的直线为轴，建立空间直角坐标系则、点在线段上运动，且，故答案为考点：空间向量数量积的运算.15.已知函数，则函数的极大值为 _【答案】【解析】【分析】对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.【详解】，故解得， ，令，解得函数在单调递增，在单调递减，故的极大值为故答案为：.【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.16.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， （其中为坐标原点），则 与面积之和的最小值是_，当 与面积之和最小值时直线与轴交点坐标为_ .【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设出直线方程，利用求出直线与轴交点的横坐标
11、，将面积转化为函数，利用均值不等式求解.【详解】设直线方程：，联立得：根据可得：又，代入上式得：或，因为，在该抛物线上且位于轴的两侧故，可得 当且仅当，即，时取得最小值.故：面积和的最小值为，交点的坐标为故答案为：，.【点睛】本题考查抛物线中面积的最小值，涉及均值不等式的使用，属综合中档题；本题中面积的转换是重点.四、解答题： 17.设为数列的前n项和，已知，对任意，都有求数列的通项公式；若数列的前n项和为，求证：【答案】(1) ；(2）证明见解析.【解析】【分析】（1）运用数列的递推式，化简整理即可得到所求通项公式；（2）bn，由裂项相消求和即可得到所求和【详解】（1）因为，当时，两式相减得
12、： 即，所以当时，.所以，即.（2）因为，所以.所以 ，因为，所以. 又因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数. 所以当时，取最小值， 所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.在如图所示的几何体中，平面平面，为等腰直角三角形，四边形为直角梯形，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）找到平面中与直线平行的直线，利用线
13、线平行证明线面平行即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，用向量法处理二面角的求解.【详解】（1） 因为，所以四边形是平行四边形所以因为 平面，平面，所以 平面即证.（2）取的中点，连接，因为，所以因为平面平面，平面，平面平面，所以平面以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则轴在平面内因为， ，所以，则 ，设平面的法向量为，由 得 令，解得，得由题意得平面的法向量为，所以又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值是 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解二面角，属综合基础题；注意本题中建系的方式是一种比较好的方式.19.已知函数在点处的切线
14、方程是（1）求实数 的值；（2）求函数在 上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值【详解】（1）因为， 则， 函数在点处的切线方程为：， 由题意得，即，. （2）由（1）得，函数的定义域为， ，在上单调递减，在上单调递增 故在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为 又，且在上的最大值为. 综上，在上的最大值为，最小值为【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数
15、的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.20.国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）人；（
16、2）存在，的范围为，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式,并求解即可；（2）需满足两个不等关系：技术人员的年人均投入不减少研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,列出不等式求解即可【详解】（1）由题,可列方程为：,则,故调整后的技术人员的人数为50（2）存在, 范围为由题,则在且上恒成立,当且仅当即时取等, 又即,设,则在且上为增函数,但时,取得最大值为 综上, 的范围为【点睛】本题考查不等关系的应用,考查最值问题,分析题意,列出（不）等式是解题关键21.设椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为.（1）求椭圆M的方程；（2）过点A作斜率为k的直线与
17、椭圆M交于另一点B，连接并延长交椭圆M于点C.若，求k的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题可得,解得,进而求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆,可得点,进而得到直线,联立直线与直线可得,将点坐标代入椭圆方程中,即可解得值【详解】（1）设椭圆左焦点,依题意,解得,则椭圆方程为：；（2）由（1）得,由题 ，则直线AB的方程为,联立,消去y,得,设,即,由（1）得,直线直线,联立，解得,代入,得，解得,即【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力22.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）当
18、 时，递增区间为；当时，递减区间是，递增区间是；（2）【解析】【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，求得函数的单调区间；（2）构造函数，利用进行适度放缩，从而判断函数单调性，找到对应的参数范围即可.【详解】（1）由题意，得当 时，在上为增函数；当 时，当 时， 在上为减函数，当 时， 在 上为增函数综上所述，当 时，的单调递增区间为；当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）由不等式 ，对恒成立，即，对 恒成立构造函数， 则下面证明：，令，则当，单调递减；当，单调递增；故，即证，所以，当时， 在上恒成立，在上单调递增，即，对恒成立当 时，因为，所以，即 ，在成立故当 时，因为时，知 在上为减函数，即在 上，不存在使得不等式对任意 恒成立综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数处理由恒成立求参数范围的问题；本题中的难点在于应用对函数进行放缩.
