1、曹杨二中高一期末数学试卷一.填空题1.若集合，则_【答案】【解析】分析】根据两个集合的元素直接写出并集即可.【详解】由题：集合，则.故答案为：【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目.2.若函数，则_【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式，求出，再计算即可得解.【详解】由题：函数，则则.故答案为：【点睛】此题考查根据分段函数求函数值，关键在于准确判定自变量取值所在的分段区间，准确代入解析式求解.3.函数的单调递增区间为_【答案】【解析】【分析】对函数进行去绝对值分段讨论单调性.【详解】函数，根据指数函数单调性可得，函数在单调递增，在单调递减，所以函数的单
2、调递增区间为.故答案为：【点睛】此题考查求函数的单调区间，关键在于根据函数解析式分段讨论，结合基本初等函数的单调性进行判断.4.若命题的逆命题为“若，则”，则命题的否命题为_【答案】若，则【解析】【分析】根据四个命题之间的基本关系可得一个命题的逆命题与否命题之间的关系是互为逆否命题，即可得解.【详解】命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，所以若命题的逆命题为“若，则”，命题的否命题为“若，则”.故答案为：若，则【点睛】此题考查四种命题之间的关系，可以根据逆命题写出原命题再得否命题，或直接根据逆命题与否命题之间的关系得解.5.（）的反函数_【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值
3、域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x0，所以，所以.因为x0，所以y0，所以反函数，.故答案为，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.函数的值域为 【答案】【解析】【分析】分离常数，结合指数函数的值域可得结果.【详解】因为故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的值域以及指数函数的性质，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.对于任意非空集合、，定义，若，则_（用列举法表示）【答案】【解析】【分析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.【详解】由题：对于任意非空集合、，定义
4、，若，各取一个元素形成有序数对，所有可能情况为，所有情况两个数之和构成的集合为：故答案为：【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.8.已知函数是偶函数，若，则_【答案】6【解析】分析】根据偶函数的关系有，代入即可求解.【详解】由题：函数是偶函数，所以，解得：.故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.9.设函数，若，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】结合图象分析出，结合基本不等式求范围，考虑等号成立的条件，即可得解.【详解】由题：函数，若，且，结合图象分析可得：，即，由基
5、本不等式可得，当时取等号，但是，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的个数，求参数取值范围，关键在于对题中所给的等量关系进行等价转化，数形结合，利用基本不等式求解，注意考虑等号成立的条件.10.已知函数与函数（，）的图象交于点，若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先讨论不合题意，再结合图象讨论时，函数交点横坐标列不等式组求解.【详解】由题：若，时，两个函数图象不可能有交点；所以必有，结合图象，若函数交点横坐标，则，解得：.故答案为：【点睛】此题考查根据函数交点横坐标取值范围，求解参数的取值范围，涉及分类讨论数形结合思想.11.函数的定义域为，其图像如图所示，若的反函数为，则不等
6、式的解集为_【答案】【解析】【分析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集.【详解】根据函数图象可得图象经过，所以，得，所以的反函数不等式，即，解得：故答案为：【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.12.若实数且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据，变形，利用基本不等式求解最值.详解】实数且，则当时，即时取得等号，所以的最小值为.故答案为：【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于对代数式进行准确变形，构造基本不等式求解，注意考虑最值取得
7、的条件.二. 选择题13.已知且，则“”是“函数的图像恒在轴上方”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出“函数的图像恒在轴上方”求得等价条件即可辨析.【详解】“函数的图像恒在轴上方”即“且”，所以“”是“函数的图像恒在轴上方”的必要非充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确弄清二次函数的图象与性质.14.已知，则下列不等式成立的是 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，故选B【点睛】本题主要考查不等式的基本性
8、质，属于基础题型.15.若函数在区间上的值域是，则点位于图中的（ ）A. 线段或线段上B. 线段或线段上C. 线段或线段上D. 线段或线段上【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象，结合值域分析定义域区间端点满足的特征，即可得解.【详解】作出函数的图象，由题在区间上的值域是，所以或，即点位于图中的线段或线段上.故选：A【点睛】此题考查根据函数值域判断定义域特征，并用平面直角坐标系内的点表示满足条件的有序数对，其关键在于熟练掌握二次函数的图像和性质.16.已知集合，若且对任意的，均有，则中元素个数的最大值为（ ）A. 10B. 19C. 30D. 39【答案】D【解析】【分析】根据，转化为任意
9、两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.【详解】由题：集合，若且对任意的，均有，作如下等价转化：考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点，“”等价于“或”，即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共39个，（当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共39个）故选：D【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.三. 解答题17.已知集合，.（1）若，
10、求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解出根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）结合（1）解出的集合A，根据集合关系求解参数的取值范围.【详解】（1）解不等式得，所以，若，则，解得：；（2）若，或，解得：或，即.【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，根据集合交集的关系求参数的取值范围，关键在于根据集合特征列不等式组，准确辨析.18.随着城市地铁建设持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：
11、， （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【答案】（1）；（2），最大值为260元.【解析】【分析】（1）根据题意即求解不等式；（2）根据题意求出的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.【详解】（1）当，超过1560，所以不满足题意；当，载客人数不超过1560，即，解得或，由于所以；（2）根据题意，则根据基本不等式，当且仅当，即时取得等号，所以，即当时，平均利润的最大值为260元，当时，单调递减，综上所述，最大值为260元.【点
12、睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.19.已知函数，其中为常数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，证明函数在区间上单调递增.【答案】（1），偶函数；，非奇非偶函数；见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论， ，两种情况根据定义分析函数的奇偶性；（2）利用定义法作差证明函数的单调性.【详解】（1）当时，定义域，恒成立，所以函数为奇函数；当时，定义域，不恒为零，不为零，所以函数为非奇非偶函数；综上所述：当时，函数为奇函数；当时，函数为非奇非偶函数；（2）若，任取，则
13、，所以函数在区间上单调递增.【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的辨析，利用定义判定函数的单调性和奇偶性，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握基本方法20.已知函数. （1）当时，解不等式；（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；（3）设，若存在使得函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；（2）将问题转化为在区间上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；（3）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【详解】（1）当时，即，与同解，得；（2）由题意：关
14、于x的方程在区间上恰有一个实数解，在区间上恰有一个实数解，即，解得：，且，即，综上所述：；（3）由题：，函数在区间上单调递减，最大值和最小值的差不超过1，即，所以即存在使成立，只需即可，考虑函数，令，根据勾型函数性质在单调递减， 所以在单调递减，所以，所以.【点睛】此题以对数函数为背景，考查解不等式，考查方程的根的问题，考查不等式能成立求参数范围，转化为求函数最值，充分地体现出转化与化归的思想.21.对于定义在上的函数，若存在实数及、（）使得对于任意 都有成立，则称函数是带状函数；若存在最小值，则称为带宽.（1）判断函数 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，请说明理由；（2
15、）求证：函数（）是带状函数；（3）求证：函数是带状函数的充要条件是.【答案】（1）是，带宽为2；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数关系，即可判定是带状函数；（2）分别证明即可得证；（3）处理绝对值，将函数写成分段函数形式，分别证明充分性和必要性.【详解】（1）考虑两条直线，即： ，断函数 是带状函数，带宽为2；（2）函数（），当时，所以有，有，当时，即所以有，所以，综上所述，所以函数（）是带状函数；（3）函数，充分性：当时，存在两条直线满足题意，即该函数为带状函数；必要性：当为带状函数，则存在， 假设不妨考虑，则直线与两条直线中至少一条相交，所以不满足，所以不满足题意.即，综上所述：函数是带状函数的充要条件是.【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据题目所给条件证明辨析，弄清其间的不等关系，证明充要条件一定不能混淆充分性与必要性的概念.
