1、宁波市2019学年第一学期期末九校联考高二数学试题选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】即,故抛物线焦点在轴上,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.2.若复数满足，则虚部为( )A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】先计算出，再整理得即可得解.【详解】即，.故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念、复
2、数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.3.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在A中，l与相交、平行或；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，或；在D中，由线面垂直性质定理得【详解】由l，m是两条不同的直线，是一个平面，知：在A中，若，则l与相交、平行或，故A错误；B中，若，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，则或，故C错误；在D中，若，则由线面垂直性质定理得，故D正确故选D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
3、方程思想，是中档题4.设，则线段的中点到点的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由,可知的中点.故到点的距离为.故选：A【点睛】本题主要考查了空间中中点的公式与点到点的距离公式,属于基础题.5.已知，是空间四个不同的点，则“与是异面直线”是“与是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据异面直线的性质判定即可.【详解】由题,当与是异面直线时, ,四点不共面.故定有与是异面直线.反之亦然.故“与是异面直线”是“与是异面直线”的充要
4、条件.故选：B【点睛】本题主要考虑从了空间异面直线的性质与判定,属于基础题.6.以下关于圆锥曲线的命题中：双曲线与椭圆有相同焦点；以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；以上命题正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】直接求解双曲线与椭圆的焦点再判断即可.利用焦半径公式分析即可.举出反例判定即可.设过焦点的直线方程联立抛物线分析即可.【详解】对, 双曲线的焦点为,椭圆的焦点为.故正确
5、.对,不妨设以抛物线的焦点弦端点为.则以焦点弦为直径的圆的圆心.又圆的直径,圆心到准线的距离.故以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线是相切的.同理对任意开口的抛物线均成立.故正确.对,当时易得,故的轨迹为线段的中垂线.对, 设过抛物线的焦点作直线,则.设则横坐标之和.故使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条.故正确,错误.故选：C【点睛】本题主要考查了圆锥曲线中的定义与焦点弦性质运用,属于中档题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，所以过作平行于渐近线的直线的
6、方程为，因为，所以直线的方程为，联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上，所以，即，因为，所以，整理得，因为，所以.故选D.考点：双曲线的性质.8.如图，正四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），是的中点，分别记二面角，的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连对角线得底面的中心,则垂直底面,由三垂线定理作出面面所成角,并分别表示其正切值,分子相同,易知的分母最大,可知最小【详解】连接交于,令,作垂直于，连接,易知,所以, 显然,最小，最小，故选：D.【点睛】本题主要考查了二面角大小的判定,需要根据题意作出对应的角度再求正切的关系分析即可.属于中档题.
7、9.设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的定义以
8、及三角形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围.10.已知抛物线，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过点作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则的最小值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】设,再分别表示的坐标,进而表示出再根据解析式求最小值即可.【详解】设,因为,是线段的中点所以.故直线的方程.代入则.又所以是的中点,可得.故.故当时, 取最小值.故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线上的点表达相应的量求最值的问题.需要根据题意设点,找出目标函数对应的解析式,再利用函数的最值求解.属于中档题.非选择题部分：共110分二、填空题：本大题共7小题，多
9、空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.设复数，其中是虚数单位，若为纯虚数，则实数_.【答案】【解析】【分析】由题,设,再化简求解即可.【详解】设,则.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.12.已知圆C：和点，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程为_；若直线l与M点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线l的方程是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据线段中垂线的性质可得，又半径，故有，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出值，即得椭圆的标准方程设出直线与椭圆的两个交点A，B的坐标及AB的中点的坐标，利用点差法结合直线
10、斜率，然后得到直线方程【详解】由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点M的坐标为，的垂直平分线交CQ于点M，又半径，依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且，故椭圆方程为，设直线l交椭圆与，两点，AB的中点为，则，作差得：，直线l的方程是：，即：故答案为，【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程及其简单的几何性质，得出是解题的关键和难，同时着重考查了点差法的应用，以及推理与运算能力13.某几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为正三角形，则该几何体的体积（单位：）是_，该几何体的表面积（单位：）是_.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】易得该几何体是以底面
11、边长为4的正三角形,高为2的直三棱柱.再求表面积即可.【详解】由图可知该几何体是以底面边长为4的正三角形,高为2的直三棱柱.底面积为.故体积为.侧面积为.故表面积为.故答案为：(1). . (2). 【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积与体积.属于基础题.14.在正四面体中，分别为棱、的中点，设，用，表示向量_，异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】(1)画图利用空间向量的加减法运算求解即可.(2)将用,表示,再用空间向量的夹角公式求解即可.【详解】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) .(2)由(1) ,又.又.设异面直线与所成角为
12、则 .故答案为：(1). . (2). 【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算与空间向量夹角的问题,可以用基本量去表示要求的向量,再利用数量积中的夹角公式求解.属于中档题.15.双曲线：的渐近线为菱形的边，所在的直线，点为双曲线的焦点，若，则双曲线的方程为_.【答案】.【解析】【分析】由题意知渐近线的倾斜角为的一半,进而求得的关系,再根据为双曲线的焦点列式求解即可.【详解】题意知渐近线的倾斜角为的一半即,故,又点为双曲线的焦点所以,故.所以双曲线的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据几何关系求解双曲线的标准方程,需要根据题意找到基本量之间的关系再运算求解.属于基础题.16.边长为2的
13、等边和直角所在半平面构成的二面角，当，时，线段的长度为_.【答案】.【解析】【分析】作于,面于,再根据构造出的三角形求解对应的边长进行求解即可.【详解】作于,面于,连接易得为等边和直角所在半平面构成的二面角.又,故,.画出底面分析可知.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据空间中的边角关系计算线段长度的问题,需要作出辅助线构造直角三角形进行求边长的运算.属于中档题.17.如图，在中，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为_.【答案】.【解析】【分析】取中点,连接可知与所成角即为与所成角,再根据线面垂直的性质分析所成角取得最小值时的位置再计算即
14、可.【详解】取中点,连接可知与所成角即为与所成角,再连接.根据线面相交的性质可知,的最小值当且仅当为直线与平面的线面角时取得.又,故.故,故.又面面且交于,故平面,故.故当时有平面,此时为直线与平面的线面角.即当与所成角取得最小值时.又.故.又,故.故,.故此时.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据空间中夹角的最值问题求解线段长度的问题,需要分析到当角度取最小值时的线面垂直关系,再利用平面几何中的解三角形知识求解边角关系.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，18题14分，19-22题每题15分，共74分.18.已知条件：“存在，”，条件：“曲线：表示焦点在轴上的椭圆”，条件：“曲线：表示双曲
15、线”.（1）若与同时成立，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)先分别求得成立时的取值范围,再根据题意求交集即可.(2)先求成立时满足的关于的范围,再根据是的充分不必要条件列出区间端点满足的关系式求解即可.【详解】（1）解：若成立,则,解得或.若成立,则得或.若和同时成立,则,解得或.的取值范围是或（2）解：若成立,则,即,由是的充分不必要条件,或,解得,的取值范围是.【点睛】本题主要考查了根据充分与必要条件等分析集合满足的关系,进而求得对应的参数的问题.属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，分别是的中点
16、.（）求证：平面；（）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（）见解析; （）.【解析】（）由条件可知四边形为平行四边形（菱形），则与的交点为的中点，又为的中点，根据线面平行判定定理，问题可得证；（）由题意，通过计算证明可得，与平面所成的角为，且三角形是以为直角的直角三角形，从而可求线段的长.试题解析：（）连接交与，连接.因为为的中点，所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，因为为的中点， 所以. 又因为，所以平面. （）由四边形为平行四边形，知，所以为等边三角形，所以， 所以，即，即.因为平面，所以. 又因为，所以平面， 所以为与平面所成的角，即， 所以. 20.在所有棱长都
17、相等的三棱柱中，.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 连,取线段的中点,连接和,再证明平面即可.(2)根据(1)可知是二面角的平面角,进而找到与平面所成角再求解即可.或者建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的方法求解.【详解】（）连,取线段的中点,连接和,和为等边三角形,又,平面,.（）法一：,是二面角的平面角,平面,平面平面,记与的交点为,过作于,则平面,是与平面所成角.由题意知为的重心,.法二：由,以为轴,为轴,过点平面的垂线为轴,如图建立空间直角坐标系,得,则,设平面的法向量,则,得,令得,则. 设
18、与平面所成角为,所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了根据线面垂直证明线线垂直的方法,同时也考查了已知二面角求解线面角的问题,需要根据确定二面角与线面角的平面角,或直接根据空间直角坐标系中空间向量的方法进行求解.属于中档题.21.如图，已知抛物线：上一点，过点作直线交抛物线于另一点，点在线段上，在抛物线上，轴，于点.（1）若，求的最大值；（2）求使等式恒成立的直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求得直线的方程,再设坐标为,求得的解析式,再根据二次函数的值域方法求解最大值即可.(2) 设,直线的方程为,联立直线与抛物线,根据弦长公式表达出的长度,再代入韦达定理
19、化简求解即可.【详解】（1）由题意知直线的方程为,因为在抛物线上,则点坐标为,则,因为在上的值域为,则的最大值为.（2）设,直线的方程为,联立方程组得,故知,又因为直线的方程为,则,从而有,即恒成立,即故知 解得,所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查了抛物线上的点到定直线距离的最值问题,同时也考查了抛物线中的弦长问题,需要根据题意联立直线与抛物线,利用弦长公式与韦达定理求解.同时也考查了恒成立的问题,需要根据解析式建立对应的系数等式,属于难题.22.已知椭圆：的左、右顶点分别为，圆上有一动点，在轴上方，点，直线交椭圆于点，连接，.（1）若，求的面积；（2）设直线，的斜率存在且分别为，若，求的
20、取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 设,根据可知,再代入利用椭圆的方程进行化简,进而求得对应的坐标.(2)法一：设,利用的坐标表达直线方程联立椭圆方程,再分别表示,关于的表达式,进而求得关于的表达式,利用在椭圆上满足的方程进行化简求解,最后再根据解析式求取值范围即可.法二：设直线为,同法一表达出对应的点与斜率,再列出关于的解析式求范围即可.【详解】（1）设,则,即,点在椭圆上,联立,消去,得,代入椭圆方程,得,的面积.（2）法一：设,直线方程为,代入椭圆方程,即,得,整理得.（注：消去,可得方程,也得8分）此方程有一根为-2,设,则.代入直线方程,得,则,.法二：设直线,点在圆上,所以,设,直线：与椭圆联立,得,化简得,得,代入直线方程,得,因为在轴上方,所以,则,且,.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要根据题意设方程,列出题目中需要求解的量与参数之间的解析式,从而根据函数的解析式与定义域,分析函数的取值范围即可.属于难题.
