1、绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,文)(本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=1,2,3,5,7,11,B=x|3x0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)8.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.29.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+2310.设a=log32,b=l
2、og53,c=23,则()A.acbB.abcC.bcaD.ca0,b0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为.15.设函数f(x)=exx+a.若f(1)=e4,则a=.16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)设等比数列an满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.18.(12
3、分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次空气质量等级0,200(200,400(400,6001(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的22列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中
4、到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次400人次400空气质量好空气质量不好附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.19.(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EFAC;(2)点C1在平面AEF内.20.(12分)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.21.(12分)已知椭圆C:x225+y2m2=
5、1(0m5)的离心率为154,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BPBQ,求APQ的面积.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t+t2(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.23.选修45:不等式选讲(10分)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(
6、1)证明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c中的最大值,证明:maxa,b,c34.2020年数学(全国卷,文)查缺补漏表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏1(集合)选择题集合的基本运算(交集);数学运算4,10,12,15,20(函数与导数)选择题函数应用;数学建模选择题对数的性质与运算;数学运算选择题函数的性质;逻辑推理、数学运算填空题求函数的导数、利用某点处的导数值求解参数;数学运算解答题应用导数研究函数的单调性和零点、求参数的取值范围;数学抽象、逻辑推理、数学运算5,11(三角函数与解三角形)选择题三角恒等变换;数学运算选择题解三角形、三角公式;数学运
7、算6(平面向量)选择题平面向量的数量积、轨迹与轨迹方程;数学运算、数学抽象17(数列)解答题等比数列基本量的计算、等差数列的判断与求和公式的应用;数学运算13(不等式)填空题线性规划;直观想象、数学运算9,16,19(立体几何)选择题三视图求表面积;直观想象、数学运算填空题空间图形的位置关系(球切接于圆锥)、球的体积;直观想象、数学运算解答题空间线线垂直的证明、点线、面的位置关系;直观想象、逻辑推理、数学运算7,8,14,21(平面解析几何)选择题直线与抛物线的位置关系(相交)、抛物线的焦点;直观想象、逻辑推理、数学运算选择题点到直线的距离;直观想象、数学运算填空题双曲线的渐近线与离心率;数学
8、运算解答题求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;逻辑推理、数学运算续表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏3,18(概率与统计)选择题方差;数学运算解答题互斥事件的概率、均值估计、独立性检验;数学抽象、数学运算、数据分析2(复数)选择题复数的运算(除法)、共轭复数;数学运算22(坐标系与参数方程)解答题参数方程的应用、直角坐标方程转化为极坐标方程;数学运算23(不等式选讲)解答题重要不等式的应用、不等式证明;逻辑推理【试题分析】2020年全国卷文科数学,突出对基础知识(约占40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(32分),立体几何(22分),平面解析几何(27分),概率与统计(17分)
9、,三角函数与解三角形(10分),数列(12分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第4题以新冠疫情为背景,考查数学模型的建立与应用,突出了数学的实用性,考查学生的分析能力和提升学生的数学文化素养.第18题以空气质量与健康锻炼设计问题,考查学生运用所学的概率与统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力,培养学生的生态文明与健康观念.1.B根据交集的定义,AB=5,7,11.故选B.2.D由z(1+i)=1-
10、i,知z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,则z=i.故选D.3.C设x1,x2,xn的平均数为x,方差为s2,10x1,10x2,10xn的平均数为x,方差为s2,则s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,x=10x,故s2=1n(10x1-x)2+(10x2-x)2+(10xn-x)2=1n(10x1-10x)2+(10x2-10x)2+(10xn-10x)2=102s2,又s2=0.01,故s2=1000.01=1.故选C.4.C由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,两边取以e为底的对数,得-
11、0.23(t*-53)=-ln 19-3,所以t*66.5.B根据两角和的正弦公式展开得sin +sin+3=sin +12sin +32cos =32sin +32cos =1,即3sin+6=1,解得sin+6=33.故选B.6.A以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由ACBC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.7.B抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又ODOE,ODE是等腰直角三角形.不妨设点D
12、在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.8.B直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.9.C由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为31222+122222sin 60=6+23.10.A32a=32log32=log3223=log981,a1,b23.又c=23,ac400空气质量好3337空气质量不好228根据列联
13、表得K2=100(338-2237)2554570305.820.由于5.8203.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.证明 (1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故ACBD.又因为BB1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AE
14、GD1.因为B1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.20.解 (1)f(x)=3x2-k.当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在(-,+)单调递增;当k0,故f(x)在(-,+)单调递增.当k0时,令f(x)=0,得x=3k3.当x-,-3k3时,f(x)0;当x-3k3,3k3时,f(x)0.故f(x)在-,-3k3,3k3,+单调递增,在-3k3,3k3单调递减.(2
15、)由(1)知,当k0时,f(x)在(-,+)单调递增,f(x)不可能有三个零点.当k0时,x=-3k3为f(x)的极大值点,x=3k3为f(x)的极小值点.此时,-k-1-3k33k3k+1且f(-k-1)0,f-3k30.根据f(x)的单调性,当且仅当f3k30,即k2-2k3k90时,f(x)有三个零点,解得k0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,
16、1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为1213026130=52.综上,APQ的面积为52.22.解 (1)因为t1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=410.(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为x-4+y12=1,将x=cos ,y=sin 代入,得直线AB的极坐标方程为3cos -sin +12=0.23.证明 (1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0.由bc(b+c)24,可得abca34,故a34,所以maxa,b,c34.
