1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014福建,文1)若集合P=x|2x4,Q=x|x3,则PQ等于().A.x|3x4B.x|3x4C.x|2x3D.x|2x3答案:A解析:结合数轴,得PQ=x|3x12成立,则n=1+1=2;第二次循环,判断2222不成立,则输出n=2.故选B.5.(2014福建,文5)命题“x0,+),x3+x0”的否定是().A.x(-,0),x3+x0B.x(-,0),x3+x0C.x00,+),x03+
2、x00D.x00,+),x03+x00答案:C解析:全称命题的否定是特称命题,故该命题的否定是x00,+),x03+x00,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是().答案:B解析:由题中图象可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B.9.(2014福建,文9)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容
3、器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().A.80元B.120元C.160元D.240元答案:C解析:设容器的底长x米,宽y米,则xy=4.所以y=4x,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)110=80+80x+20x=20x+4x+80,x(0,+).所以f(x)202x4x+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元.故选C.10.(2014福建,文10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于().A.OMB.2OMC.3O
4、MD.4OM答案:D解析:因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+OD=4OM.故选D.11.(2014福建,文11)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域:x+y-70,x-y+30,y0.若圆心C,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为().A.5B.29C.37D.49答案:C解析:由题意,画出可行域,圆心C,且圆C与x轴相切,所以b=1.所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A(-2,1),B(6,1),所以a-2,6.所以a2+b2=a2+11,37,所以a2
5、+b2的最大值为37.故选C.12.(2014福建,文12)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是().答案:A解析:不妨设F1(-a,0),F2(a,0),其中a0,点P(x,y)是其轨迹上的点,P到F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于|F1F2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当xa,y0时,上式可化为x+y=b2;当x-a,y0时
6、,上式可化为x+y=-b2;当-axa,ya,y0的零点个数是.答案:2解析:当x0时,令f(x)=x2-2=0,得x=2,x=-2.当x0时,f(x)=2x-6+ln x,f(x)=2+1x0.所以f(x)单调递增,当x0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+)上有一个零点.综上可知共有两个零点.故答案为2.16.(2014福建,文16)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.答案:201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当成立时,则a2,b2,c=0,此种情况不成立;(2)当成立时,则a=2,b=
7、2,c=0,此种情况不成立;(3)当成立时,则a=2,b2,c0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=1002+100+1=201.故答案为201.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014福建,文17)在等比数列an中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.分析:(1)等比数列中已知两项,从而求得公比q,结合通项公式an=a1qn-1或an=amqn-m得an的通项公式.(2)借助(1)的结论,先求得bn,可得bn为等差数列,利用等差数列求和公式Sn=n
8、(a1+an)2,求得Sn.解:(1)设an的公比为q,依题意,得a1q=3,a1q4=81,解得a1=1,q=3.因此,an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以数列bn的前n项和Sn=n(b1+bn)2=n2-n2.18.(本小题满分12分)(2014福建,文18)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x).(1)求f54的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.分析:对于(1),可把x=54代入f(x)的解析式,认真运算,便可求得结果,另外也可先化简再求值,化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好,注意化简的最终形式
9、一般为f(x)=Asin(x+).对于(2),根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性,准确求出周期与单调区间.解法一:(1)f54=2cos54sin54+cos54=-2cos4-sin4-cos4=2.(2)因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+4+1,所以T=22=.由2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+4+1.(1)f54=2sin1
10、14+1=2sin34+1=2.(2)T=22=.由2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.19.(本小题满分12分)(2014福建,文19)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.分析:(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种,结合本题条件,可证明CD垂直于平面ABD内的两条相交直线即可证得CD垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积V=13Sh,但要注意转换顶点和底面,对于本题,可将SABM求出,高即为CD=h,代
11、入公式可求得,也可借助图中关系,利用VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD求得.解法一:(1)AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)由AB平面BCD,得ABBD,AB=BD=1,SABD=12.M是AD的中点,SABM=12SABD=14.由(1)知,CD平面ABD,三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=13SABMh=112.解法二:(1)同解法一.(2)由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,如图,过点M作MNBD交BD于点
12、N,则MN平面BCD,且MN=12AB=12.又CDBD,BD=CD=1,SBCD=12.三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13ABSBCD-13MNSBCD=112.20.(本小题满分12分)(2014福建,文20)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1 035美元为低收入国家;人均GDP为1 0354 085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4 08512 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A25%
13、8 000B30%4 000C15%6 000D10%3 000E20%10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.分析:(1)该城市人均GDP即为求平均值,利用公式代入认真运算,可得人均GDP,判断其所在范围,可知是否达到中等偏上收入国家标准.(2)从5个行政区中随机抽取2个,列出所有基本事件,再找出抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的基本事件.利用古典概型概率公式可求得其概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为8 0000.25
14、a+4 0000.30a+6 0000.15a+3 0000.10a+10 0000.20aa=6 400.因为6 4004 085,12 616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:A,C,A,E,C,E,共3个,所以所求概率为P(M)=310.21.(本小题满分12分)(2014福建,文21)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y
15、=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.分析:(1)根据题意,可知曲线上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,结合抛物线的定义可得曲线的方程;或利用求方程的一般做法,设点坐标,建立几何关系,转化为代数关系,整理便可得到其方程.对于(2),先求导,得斜率,利用点斜式可得直线l的方程,与y=0联立,得A点坐标,与y=3联立,得M点坐标,直线y=3与y轴的交点N易
16、知,进而得出圆心和半径,结合勾股定理可得|AB|为定值,问题得证.解法一:(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=14x02,由y=12x,得切线l的斜率k=y|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.
17、由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=12|MN|=14x0+3x0,|AB|=|AC|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.解法二:(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)同解法一.22.(本小题满分14分)(2014福建,文22)已知函数f(x)=ex
18、-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x0在(0,+)上恒成立即可,利用导数得到g(x)的单调性,从而得证.(3)中存在性问题处理,可结合(2)的结论,合理利用exx2,只是将exx2的x2中一个x赋值即可,所以可令x0=1c,当xx0时,exx21cx,利用不等式的传递性来解决问题.或根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0c1时,证明的关键是找出x0.可构造函数,然后
19、利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0满足条件即可得证.解法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln 2.当xln 2时,f(x)ln 2时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)有极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由(1)得,g(x)=f(x)f(ln 2)=2-ln 40,即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增,又g(0
20、)=10,所以当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x2x0时,exx21cx,即xcex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x0),要使不等式xkx成立.而要使exkx成立,则只需要xln(kx),即xln x+ln k成立.若00时,xln xln x+ln k成立.即对任意c1,+),取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x1,令h(x)=x-ln x-ln k,则h(x)=1-1x=x-1x,所以当x1时,h(x)0,h(x)在(1,+)内单调递增.取x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln 2),易知kln k,kln 2,所以h(x0)0.因此对任意c(0,1),取x0=4c,当x(x0,+)时,恒有xcex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2x,所以当x(x0,+)时,有cexex2xx,即xcex.若0cln1c时,h(x)0,h(x)单调递增.取x0=2ln2c,h(x0)=ce2ln2c-2ln2c=22c-ln2c,易知2c-ln2c0,又h(x)在(x0,+)内单调递增,所以当x(x0,+)时,恒有h(x)h(x0)0,即xcex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有xcex.
