1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设为虚数单位,则复数( )A. B C D【解析】D；,故选D2设集合,则( )A B C D【解析】C；送分题,直接考察补集的概念,故选C3若向量,则( )A B C D【解析】A；考察向量的运算法则,故选A4下列函数中,在区间上为增函数的是( )A B C DyxO12A(3,2)B(-1,2)【解析】A；函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到,显然满足题意.5已知变量满足约束条件,则的最大值为( )A B C D【
2、解析】B；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知,5655正视图5655侧视图俯视图第6题图.当时,取得最大值为.6某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A B C D【解析】C；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为,所以.7从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为的概率是( )A B C D【解析】D；首先求“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数,利用“奇数+偶数=奇数”分两种情况求:即十位数字分别为1,3,5,7,9时,个位数字可以为:0,2,4,6,8,此时有个；十位数字为2,4,6,8时,个位数字可以为:1,
3、3,5,7,9,此时有个；故“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数有个,从中任取一个,个位数为的数有个,故所求概率为,选D.8对任意两个非零的平面向量,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则( )A B C D【解析】C；因为,且和都在集合中,所以,所以,且,所以,故有,选C.【另解】C；,两式相乘得,因为,均为正整数,于是,所以,所以,而,所以,于是,选C.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(913题)9不等式的解集为_是否输入输出结束开始第13题图n【解析】；“”的几何意义为“点到和的距离之差”,画出数轴,先找出临界“的解为”,然后可
4、得解集为.10的展开式中的系数为_（用数字作答）【解析】；通项,令得,此时对应系数为.11已知递增的等差数列满足,则_.【解析】；设公差为,依题意可得, 解得(舍去),所以.12曲线在点处的切线方程为_【解析】；求导得,由直线的点斜式 方程得,整理得.13执行如图所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为_【解析】；第一次循环得;第二次循环得,;第三次循环得,此时不满足,输出.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中中,曲线和曲线的参数方程分别为（为参数）和(为参数),则曲线和曲线的交点坐标为 .B.
5、第15题图ACPO【解析】；对应的普通方程分别为和,联立得交点坐标为.15. (几何证明选做题)如图,圆的半径为,是圆上三点,且满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则 【解析】；连结,易得,在 直角三角形中,根据题中的数量关系易得.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知函数(其中)的最小正周期为() 求的值；() 设,求的值【解析】()由得. ()由()知,由得 ,.又,所以,第17题图 所以.17（本小题满分13分）某班位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:.() 求图中的值;() 从成绩不
6、低于分的学生中随机选取人,该人中成绩在分以上（含分）的人数记为,求的数学期望【解析】() 由 解得.()成绩不低于分的学生人数有人. 成绩在分以上（含分）的人数有人. 随机变量的可能取值为,且 ,012 所以的分布列为的数学期望.18（本小题满分13分）PABCDE第18题图如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面() 证明:平面；() 若,求二面角的正切值【解析】()因为平面,平面, 所以, 又平面,平面,所以,因为,所以平面.() 由()可知平面,所以,又底面为矩形,从而底面为正方形,设,连结,则所以为二面角的平面角,在中,由等面积法可得,又在中,所以二面角的正切值为19（
7、本小题满分14分）设数列的前项和为,满足,且成等差数列.() 求的值；() 求数列的通项公式；() 证明:对一切正整数,有.【解析】()因为,当时,即, 当时,即,又联立上述三个式子可得.()由()可知当时,由得,两式相减整理得,即,即,又,所以为首项为,公比为的等比数列,所以,所以.() 当时,显然成立,当时,显然成立.当时,又因为,所以, 所以所以.20（本小题满分14分）在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为() 求椭圆的方程() 在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大？若存在,求出点的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由.
8、【解析】()依题意,所以, 设是椭圆上任意一点,则,所以, 所以当时,有最大值,可得,所以故椭圆的方程为.()韦达定理法因为在椭圆上,所以,设,由，得所以,可得，由韦达定理得,所以所以设原点到直线的距离为,则所以设,由,得,所以,所以,当时,面积最大,且最大为,此时，点的坐标为或或或.垂径定理切入因为点在椭圆上运动，所以,圆心到直线的距离,直线被圆所截的弦长为所以,接下来做法同上.21（本小题满分14分）设，集合,.() 求集合(用区间表示）；() 求函数在内的极值点【解析】()由方程得判别式因为,所以当时,此时,所以；当时,此时,所以；当时,设方程的两根为且,则 ,当时,所以此时,当时,所以此时,.综上,() ,所以函数在区间上为减函数,在区间和上为增函数当时,因为,所以在内的极值点为；当时,所以在内有极大值点；当时, 由,很容易得到（可以用作差法，也可以用分析法）,所以在内有极大值点；当时,由,很容易得到,此时在,内没有极值点.综上,当时,极值点为；当时,极值点为；当时,无极值点.
