1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准
2、使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式V=13Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.一组数据x1,x2,xn的方差s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014广东,文1)已知集合M=2,3,4,N=0,2,3,5,则MN=().A.0,
3、2B.2,3C.3,4D.3,5答案:B解析:由题意知MN=2,3,故选B.2.(2014广东,文2)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=().A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由题意知z=253-4i=25(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3+4i,故选D.3.(2014广东,文3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=().A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案:B解析:由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.4.(2014广东,文4)若变量x,y满足约束条件x+2y8,0x4,0y3,则
4、z=2x+y的最大值等于().A.7B.8C.10D.11答案:C解析:画出x,y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示,作直线l:y=-2x,平移直线l,经过可行域上的点A(4,2)时,z取最大值,即zmax=24+2=10,故选C.5.(2014广东,文5)下列函数为奇函数的是().A.2x-12xB.x3sin xC.2cos x+1D.x2+2x答案:A解析:对于A选项,函数的定义域为R.令f(x)=2x-12x,f(-x)=2-x-12-x=12x-2x=-f(x),故A正确;对于B选项,函数的定义域为R,令g(x)=x3sin x,g(-x)=(-x)3sin(-x)=x3sin x
5、=g(x),该函数为偶函数;对于C选项,函数定义域为R,令h(x)=2cos x+1,h(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=h(x),h(x)为偶函数;对于D选项,令m(x)=x2+2x,由m(1)=3,m(-1)=32,m(1)m(-1),m(1)-m(-1),知该函数为非奇非偶函数,故选A.6.(2014广东,文6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为().A.50B.40C.25D.20答案:C解析:由题意知分段间隔为1 00040=25,故选C.7.(2014广东,文7)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,
6、b,c,则“ab”是“sin Asin B”的().A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件答案:A解析:由正弦定理asinA=bsinB=2R(R为三角形外接圆半径)得,a=2Rsin A,b=2Rsin B,故ab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B,故选A.8.(2014广东,文8)若实数k满足0k5,则曲线x216-y25-k=1与曲线x216-k-y25=1的().A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案:D解析:0k0,16-k0,对于双曲线x216-y25-k=1,实轴长为8,虚轴长为25-k,焦距为216+5-k
7、=221-k;对于双曲线x216-k-y25=1,实轴长为216-k,虚轴长为25,焦距为216-k+5=221-k,因此两双曲线的焦距相等,故选D.9.(2014广东,文9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是().A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案:D解析:如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1l4,故B错误,则C也错误,
8、故选D.10.(2014广东,文10)对任意复数1,2,定义1 2=12,其中2是2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:(z1+z2) z3=(z1 z3)+(z2 z3);z1 (z2+z3)=(z1 z2)+(z1 z3);(z1 z2) z3=z1 (z2 z3);z1 z2=z2 z1.则真命题的个数是().A
9、.1B.2C.3D.4答案:B解析:由定义知(z1+z2) z3=(z1+z2)z3=z1z3+z2z3=(z1 z3)+(z2 z3), 故正确;对于,z1 (z2+z3)=z1z2+z3=z1(z2+z3)=z1z2+z1z3=z1 z2+z1 z3,故正确;对于,左边=(z1z2) z3=z1z2z3,右边=z1 (z2z3)=z1z2z3=z1z2z3,左边右边,故错误;对于,取z1=1+i,z2=2+i,左边=z1z2=(1+
10、i)(2-i)=3+i;右边=z2z1=(2+i)(1-i)=3-i,左边右边,故错误,故选B.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(1113题)11.(2014广东,文11)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案:5x+y+2=0解析:y=-5ex,所求曲线的切线斜率k=y|x=0=-5e0=-5,切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.12.(2014广东,文12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.答案:25解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a
11、,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=410=25.13.(2014广东,文13)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.答案:5解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4=a32=4.an0,a3=2,a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2
12、25=5.(二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14.(2014广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2cos2=sin 与cos =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.答案:(1,2)解析:曲线C1的普通方程为y=2x2,曲线C2的普通方程为x=1,联立x=1,y=2x2,解得x=1,y=2.因此交点的直角坐标为(1,2).15.(2014广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则CDF的周长AE
13、F的周长=.答案:3解析:EB=2AE,AB=3AE.又四边形ABCD为平行四边形,ABCD,AB=CD,CDFAEF,CDF的周长AEF的周长=CDAE=ABAE=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014广东,文16)已知函数f(x)=Asinx+3,xR,且f512=322.(1)求A的值;(2)若f()-f(-)=3,0,2,求f6-.解:(1)f(x)=Asinx+3,且f512=322,f512=Asin512+3=Asin34=A22=322,A=3.(2)f(x)=3sinx+3,且f()-f(-)=
14、3,f()-f(-)=3sin+3-3sin-+3=3sincos3+cossin 3-sin 3cos-cos 3sin=32sin cos 3=3sin =3,sin =33,且0,2,cos =1-sin2=63.f6-=3sin6-+3=3sin2-=3cos =6.17.(本小题满分13分)(2014广东,文17)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;(3)求这20名工人年龄的方差.解:(1)由图可知,众数为30.极差为
15、:40-19=21.(2)192888999300000111122240(3)根据表格可得:x=19+283+293+305+314+323+4020=30,s2=120(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2+(41-30)2=13.65.18.(本小题满分13分)(2014广东,文18)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠;折痕EFDC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MFCF.图1图2(1)证明:CF平面MDF;
16、(2)求三棱锥M-CDE的体积.(1)证明:PD平面ABCD,且PD平面PCD,平面PCD面ABCD,交线为CD.又四边形ABCD为矩形,ADCD,AD平面ABCD,MD平面PCD.又由于CF平面PCD,MDCF.MFCF,且MDMF=M,CF平面MDF.(2)解:MD平面PCD,VM-CDE=13SCDEMD.CF平面MDF,DF平面MDF,CFDF.在RtPCD中,CD=1,PC=2,PCD=60,且CD=1,CF=12,故PF=2-12=32.MF=32.又CFMF,故利用勾股定理得:CM=102,在RtMDC中,CM=102,CD=1,得DM=62.又F点位于CP的四等分点,且PD=3
17、,E为PD的四等分点,故DE=34,SCDE=12CDDE=12134=38,VM-CDE=13SCDEDM=216.19.(本小题满分14分)(2014广东,文19)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)13.(1)解:由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*,令n=1,得S12-(-1)S1-6=0,即a12+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.由于数列an为正数数
18、列,所以a1=2.(2)解:由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*,因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0.由数列an为正数数列可得Sn-n2-n=0,即Sn=n2+n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n,由a1=2可得,nN*,an=2n.(3)证明:由(2)可知1an(an+1)=12n(2n+1),nN*,1an(an+1)=12n(2n+1)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.当n=1时,显然有1a1(a1+1)=1613;当n2时,1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)12(2+1
19、)+1213-15+15-17+12n-1-12n+1=13-1212n+113,所以,对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)b0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解:(1)由c=5,e=ca=53得:a=3,b=2.椭圆方程为:x29+y24=1.(2)设两个切点分别为A,B.当两条切线中有一条斜率不存在时,即A,B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P点坐标为(3,2).当两条切线斜率均存在时,设椭圆切线斜率为k,过点P的椭圆的
20、切线方程为y-y0=k(x-x0),联立y-y0=k(x-x0),x29+y24=1,得(9k2+4)x2+(18ky0-18k2x0)x+9k2x02-18kx0y0+9y02-36=0,=09k2+4=(kx0-y0)2(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0,设PA,PB斜率分别为k1,k2,则k1k2=y02-4x02-9,又PA,PB互相垂直,k1k2=y02-4x02-9=-1,化简得x02+y02=13(x03).又P(3,2)在x02+y02=13上,点P在圆x2+y2=13上.点P的轨迹方程为x2+y2=13.21.(本小题满分14分)(2014广东,文21)已知函数
21、f(x)=13x3+x2+ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0,即a0,f(x)单调递增;当x(-1-1-a,-1+1-a)时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)当a0时,由(1),令x1=-1+1-a=1,解得a=-3.当a-3时,1-1+1-a,由(1)的讨论可知f(x)在(0,1)上单调递减,此时不存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12.当-3a-1+1-a,f(x)在(0,-1+1-a)上递减,在(-1+1-a,1)上递增,f(1)-f12=12a+2524,依题意,若f(x)存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12,只需f(1)-f12=12a+25240,解得a-2512,于是有-2512a0即为所求.
