1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014重庆,理1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A.2.(2014重庆,理2)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是().A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列答案:D解析:根据等
2、比数列的性质,若m+n=2k(m,n,kN+),则am,ak,an成等比数列,故选D.3.(2014重庆,理3)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是().A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2.4C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4答案:A解析:由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.而所有的回归直线必经过点(x,y),由此排除B,故选A.4.(2014重庆,理4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k=().A.-92B.0C.3D.152答案:C解析:
3、由已知(2a-3b)c,可得(2a-3b)c=0,即(2k-3,-6)(2,1)=0,展开化简得4k-12=0,所以k=3,故选C.5.(2014重庆,理5)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是().A.s12B.s35C.s710D.s45答案:C解析:该程序框图为循环结构.k=9,s=1时,经判断执行“是”,计算199+1=910赋值给s,然后k减少1变为8;k=8,s=910时,经判断执行“是”,计算91088+1=810赋值给s,然后k减少1变为7;k=7,s=810时,经判断执行“是”,计算81077+1=710赋值给s,然后k减少1变为6;k=6,s=
4、710,根据输出k为6,此时应执行“否”.结合选项可知,判断框内应填s710,故选C.6.(2014重庆,理6)已知命题p:对任意xR,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是().A.pqB.pqC.pqD.pq答案:D解析:根据指数函数值域为(0,+),得p为真命题;而“x1”是“x2”的必要不充分条件,故q为假命题.根据复合命题的真假规律,可得pq为真命题,故选D.7.(2014重庆,理7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().A.54B.6
5、0C.66D.72答案:B解析:根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC-DEF,故其表面积为S=SDEF+SABC+S梯形ABED+S梯形CBEF+S矩形ACFD=1235+1234+12(5+2)4+12(5+2)5+35=60.故选B.8.(2014重庆,理8)设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=94ab,则该双曲线的离心率为().A.43B.53C.94D.3答案:B解析:根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF1|2-2|PF1|PF2|+|P
6、F2|2=4a2.而由已知可得|PF1|2+2|PF1|PF2|+|PF2|2=9b2,两式作差可得-4|PF1|PF2|=4a2-9b2.又|PF1|PF2|=94ab,所以有4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得4a=3b,平方得16a2=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9c2,c2a2=259,所以e=53,故选B.9.(2014重庆,理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是().A.72B.120C.144D.168答案:B解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类A
7、33,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有A332A33=72.第二类也分两步,先排歌舞类A33,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C21A22A22,故不同的排法有A33A22A22C21=48,故共有120种不同排法,故选B.10.(2014重庆,理10)已知ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S满足1S2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是().A.bc(b+c)8B.ab(a+b)162C.6abc12D.12abc24答案:A解析:由sin 2A+sin(A-B+C)=s
8、in(C-A-B)+12得,sin 2A+sinA-(B-C)+sinA+(B-C)=12,所以sin 2A+2sin Acos(B-C)=12.所以2sin Acos A+cos(B-C)=12,所以2sin Acos(-(B+C)+cos(B-C)=12,所以2sin A-cos(B+C)+cos(B-C)=12,即得sin Asin Bsin C=18.根据三角形面积公式S=12absin C,S=12acsin B,S=12bcsin A,因为1S2,所以1S38.将式相乘得1S3=18a2b2c2sin Asin Bsin C8,即64a2b2c2512,所以8abc162,故排除C
9、,D选项,而根据三角形两边之和大于第三边,故b+ca,得bc(b+c)8一定成立,而a+bc,ab(a+b)也大于8,而不一定大于162,故选A.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2014重庆,理11)设全集U=nN|1n10,A=1,2,3,5,8,B=1,3,5,7,9,则(UA)B=.答案:7,9解析:由题意,得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,故UA=4,6,7,9,10,所以(UA)B=7,9.12.(2014重庆,理12)函数f(x)=log2xlog2(2x)的最小值为.答案:-14解析:根据对数运
10、算性质,f(x)=log2xlog2(2x)=12log2x2log2(2x)=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x=log2x+122-14,当x=22时,函数取得最小值-14.13.(2014重庆,理13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.答案:415解析:由ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=|a+a-2|1+a2=3,即a2-8a+1=0,可求得a=415.考生注意:14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,
11、则按前两题给分.14.(2014重庆,理14)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=.答案:4解析:如图所示:根据切割线定理,得PA2=PBPC,又因为PC=(PB+BC),且PA=6,BC=9,所以36=PB(PB+9),解得PB=3.在PAC中,根据余弦定理cosACP=AC2+PC2-AP22ACPC,即cosACP=82+122-622812=4348,在ACB中,根据余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=82+92-2894348=16,所以AB=4.15.(2014重庆,理15)已知直线l的
12、参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2-4cos =0(0,02),则直线l与曲线C的公共点的极径=.答案:5解析:直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,联立两方程,得y=x+1,y2=4x,解得x=1,y=2.所以公共点为(1,2).所以公共点的极径为=22+1=5.16.(2014重庆,理16)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案:-1,12解析:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=-3x-1,x-2,3-x,-212,
13、可求得f(x)的最小值为52,故原不等式恒成立转化为a2+12a+252恒成立,即a2+a2-120,即(a+1)a-120,解得a-1,12.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,理17)已知函数f(x)=3sin(x+)0,-22的图象关于直线x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f2=34623,求cos+32的值.分析:在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性,两最高点之间的距离是一个周期,从而根据公式T=2,准确求出;而求,则根据对称轴
14、处取最值并结合的取值范围给k赋值才能准确求出.第(2)问中已知f2=34,结合的范围判断并求出cos-6的值,然后进一步将cos+32转化成sin ,而后将写成-6加上6的形式,从而求出最后的值,该题解答过程中,必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式.解:(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2T=2.又因f(x)的图象关于直线x=3对称,所以23+=k+2,k=0,1,2,.因-22得k=0,所以=2-23=-6.(2)由(1)得f2=3sin22-6=34,所以sin-6=14.由623得0-60,则AP=(-3,0,a),MP=34,-
15、34,a.因为MPAP,故MPAP=0,即-34+a2=0,所以a=32,a=-32(舍去),即PO=32.(2)由(1)知,AP=-3,0,32,MP=34,-34,32,CP=3,0,32.设平面APM的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PMC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1AP=0,n1MP=0,得-3x1+32z1=0,34x1-34y1+32z1=0,故可取n1=1,533,2,由n2MP=0,n2CP=0,得34x2-34y2+32z2=0,3x2+32z2=0,故可取n2=(1,-3,-2),从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=n1n2|n1|n2|=-
16、155,故所求二面角A-PM-C的正弦值为105.20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问3分,(3)小问5分)(2014重庆,理20)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性;(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.分析:在第(1)问中,主要考查复合函数求导公式、偶函数性质及导数的几何意义,要确定a,b的值,只需由偶函数概念、导数的几何意义及已知条件列出关于a,b的两个方程,解方程即得a,b的值.在求解过程中尤其要注意
17、复合函数求导.第(2)问考查导数的应用之一,先求导,再利用基本不等式判断导数的符号,进而判断f(x)的单调性.第(3)问,由已知,先利用导数分类讨论f(x)的极值情况,再根据f(x)有变号零点确定c的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x),即2(a-b)(e2x+e-2x)=0,因e2x+e-2x0,所以a=b.又f(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.(2)当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么f(x)=2e2x+2e-2x-322e2x2e-2x-3=10,故f(x)在R上为增函数.(3
18、)由(1)知f(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x22e2x2e-2x=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c0,此时f(x)无极值;当c=4时,对任意x0,f(x)=2e2x+2e-2x-40,此时f(x)无极值;当c4时,令e2x=t,注意到方程2t+2t-c=0有两根t1,2=cc2-1640,即f(x)=0有两个根x1=12ln t1或x2=12ln t2.当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围是(4,+).21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(201
19、4重庆,理21)如图,设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|=22,DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.分析:(1)由已知可求出c,进而求出|DF1|,|DF2|,则利用椭圆的定义可求a,再根据b2=a2-c2求b2,从而求得椭圆的标准方程.(2)由题设知圆的两条切线与过切点的两条半径围成一个正方形,故圆的半径等于两切点的长度的22倍,故只需求两切点间的长度,而由圆及椭圆的对称性知,
20、两切点间的长度应是一切点横坐标绝对值的2倍,故只需求切点的横坐标,可将切线过椭圆的焦点是互相垂直转化为两向量的数量积为零求解.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由|F1F2|DF1|=22得|DF1|=|F1F2|22=22c.从而SDF1F2=12|DF1|F1F2|=22c2=22,故c=1.从而|DF1|=22,由DF1F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=92,因此|DF2|=322.所以2a=|DF1|+|DF2|=22,故a=2,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆
21、x22+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由F1P1F2P2得-(x1+1)2+y12=0.由椭圆方程得1-x122=(x1+1)2,即3x12+4x1=0.解得x1=-43或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-43时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即
22、为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,知CP1CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=22|P1P2|=2|x1|=423.22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,理22)设a1=1,an+1=an2-2an+2+b(nN*).(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立?证明你的结论.分析:(1)方法一:若b=1,则an+1=an2-2an+2+1,根据其特点,可研究数列(an-1)2的性质,由(an-1)2的通项,进而求an的通项.方
23、法二:先求出an的前几项,猜想an并用数学归纳法证明.(2)方法一:令an+1=an=c,求出c值,然后证明a2nca2n+1,若成立,则存在,若不成立,则不存在.方法二:根据能否求出同时满足a2nc的c值进行判断.(1)解法一:a2=2,a3=2+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(nN*).解法二:a2=2,a3=2+1.可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,
24、即ak=k-1+1,则ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1=(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=n-1+1(nN*).(2)解法一:设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a214a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a3
25、1.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=2-11.即0ak+11,这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由得a2na2n2-2a2n+2-1,即(a2n+1)2a2n2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2.所以a2n+1a2n+12-2a2n+1+2-1.解得a2n+114.综上,由,知存在c=14使a2nca2n+1对一切nN*成立.
