1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)本试题卷共5页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题
2、,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖北,文1)i为虚数单位,i607=()A.-iB.iC.-1D.1答案:A解析:i607=i4151+3=i3=-i.2.(2015湖北,文2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石答案:B解析:米内含谷的概率约为28254=14127,故这批米内夹谷约为141271 534169(石).3.(2015湖北,文3)命题“x0(0,+),
3、ln x0=x0-1”的否定是()A.x0(0,+),ln x0x0-1B.x0(0,+),ln x0=x0-1C.x(0,+),ln xx-1D.x(0,+),ln x=x-1答案:C解析:“x0M,p”的否定是“xM,p”.故选C.4.(2015湖北,文4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关答案:A解析:由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.5.(2015湖北,文5)l1
4、,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:A解析:l1,l2是异面直线l1,l2不相交,即pq;而l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即qp.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.6.(2015湖北,文6)函数f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,6答案:C解析:要使函数有意义,需4-|x|0,x2-5x+
5、6x-30,即-4x4,x2且x3,即2x3或30,0,x=0,-1,x0,0,x=0,-x,x0,0,x=0,x,x0,0,x=0,x,x0,0,x=0,-|x|,x0,0,x=0,x,x0,0,x=0,-x,x0,|x|=xsgn x.故选D.8.(2015湖北,文8)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“xy12”的概率,则()A.p1p212B.p112p2C.p212p1D.12p2p1答案:B解析:设点P的坐标为(x,y),由题意x,y0,1,所以点P在正方形OABC内,S正方形OABC=11=1.画出直线x+y=12与正方形交于D,E两点
6、,画出曲线xy=12与正方形交于M,N两点.而RtOAC的面积S=12.由图可知:SOEDSOACS曲边形OCMNA,所以p1120)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2答案:D解析:e1=1+ba2,e2=1+b+ma+m2,而b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+m),当ab时,(a-b)ma(a+m)0,b+ma+mba,e1e2;当ab时,(a-b)ma(a+m)0,b+ma+me2.故选D.10.(2015湖北,文10)已知集合A=(x,y)|x2+y2
7、1,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案:C解析:A=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0).如图,B中元素共25个.(1)当x1=y1=0时,AB=B,共有25个元素.(2)当x1=0,y1=-1时,AB中的元素为(x2,y2-1),其中不在B中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个.(3
8、)当x1=0,y1=1时,AB中的元素为(x2,y2+1),其中不在B中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个.(4)当x1=-1,y1=0时,AB中的元素为(x2-1,y2),其中不在B中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个.(5)当x1=1,y1=0时,AB中的元素为(x2+1,y2),其中不在B中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个.综上,AB中的元素共有25+54=45(个).二、
9、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.11.(2015湖北,文11)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.答案:9解析:OAOB=OA(OA+AB)=|OA|2+OAAB=|OA|2=9.12.(2015湖北,文12)设变量x,y满足约束条件x+y4,x-y2,3x-y0,则3x+y的最大值是.答案:10解析:作出可行域如图所示,设z=3x+y,则y=-3x+z,故当直线y=-3x+z过点C时,z最大.由x+y=4,x-y=2,得C(3,1).故zmax=33+1=10,即3x+y的最大值是10.13.(2015湖北,文13)函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个
10、数为.答案:2解析:f(x)=2sin xsinx+2-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如图所示,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x0时,两图象有2个交点,当x0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.14.(2015湖北,文14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=;(2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为.答案:(1)3(2)6 000解析:(1)由频率
11、分布直方图,得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)0.1=1,解得a=3;(2)消费金额在0.5,0.9的购物者的人数为:10 000(1-1.50.1-2.50.1)=10 0000.6=6 000.15.(2015湖北,文15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD= m.答案:1006解析:如图所示,由已知得BAC=30,AB=600 m,EBC=75,CBD=30.在ABC中,ACB=EBC-BAC=45,由BCsinBAC=ABsin
12、ACB,得BC=ABsinBACsinACB=6001222=3002(m).在RtBCD中,CD=BCtanCBD=300233=1006(m).16.(2015湖北,文16)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-1-2解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB,则BPC为直角三角形,得|BC|=r=2=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)得,C(
13、1,2),B(0,2+1),则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x+2+1,令y=0,得x=-2-1,即切线在x轴上的截距为-1-2.17.(2015湖北,文17)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.答案:22-2解析:当a0时,f(x)=|x2-ax|=x2-ax在区间0,1上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0a1时,f(x)=-x2+ax,0xa,x2-ax,ax1在区间0,a2上递增,在a2,a上递减,在(a,1上递增,且fa2=a24,f(1)=1-a,a24-(1-a)=14(a
14、2+4a-4),当0a22-2时,a241-a.当22-2a1时,a241-a;当1a2时,f(x)=-x2+ax在区间0,a2上递增,在区间a2,1上递减,当x=a2时,f(x)取得最大值fa2=a24;当a2时,f(x)=-x2+ax在区间0,1上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=1-a,a22-2,a24,22-2a0,|1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)由题意有,10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2,或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1,或an=19(2n
15、+79),bn=929n-1.(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是Tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1,12Tn=12+322+523+724+925+2n-12n.-可得12Tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.20.(本小题满分13分)(2015湖北,文20)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,B
16、E.(1)证明:DE平面PBC,试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V2的值.解:(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.(
17、2)由已知,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=13SABCDPD=13BCCDPD;由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD,于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.21.(本小题满分14分)(2015湖北,文21)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x0时,f(x)0,g(x)1;(2)设a0,
18、b1,证明:当x0时,ag(x)+(1-a)f(x)x0时,ex1,0e-x0.又由基本不等式,有g(x)=12(ex+e-x)exe-x=1,即g(x)1.(2)由(1)得f(x)=12ex-1ex=12ex+exe2x=12(ex+e-x)=g(x),g(x)=12ex+1ex=12ex-exe2x=12(ex-e-x)=f(x),当x0时,f(x)xag(x)+(1-a)等价于f(x)axg(x)+(1-a)x,f(x)xbg(x)+(1-b)等价于f(x)0时,若c0,由,得h(x)0,故h(x)在0,+)上为增函数,从而h(x)h(0)=0,即f(x)cxg(x)+(1-c)x,故成立.若c1,由,得h(x)0,故h(x)在0,+)上为减函数,从而h(x)h(0)=0,即f(x)cxg(x)+(1-c)x,故成立.综合,得ag(x)+(1-a)f(x)x14时,SOPQ=84k2+14k2-1=81+24k2-18;当0k214时,SOPQ=84k2+11-4k2=8-1+21-4k2.因0k214,则01-4k21,21-4k22,所以SOPQ=8-1+21-4k28,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,SOPQ的最小值为8.综合可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,OPQ的面积取得最小值8.
