1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸
2、刀。第卷一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 已知集合A=1,2,3,B=x|x20)与C交于点P,PFx轴,则k=(A)12(B)1(C)32(D)2(6) 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(A)-43(B)-34(C)3(D)2(7) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)20(B)24(C)28(D)32(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(
3、A)710(B)58(C)38(D)310(9) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=(A)7(B)12(C)17(D)34(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(A)y=x(B)y=lg x(C)y=2x(D)y=1x(11) 函数f(x)=cos 2x+6cos(2-x)的最大值为(A)4(B)5(C)6(D)7(12) 已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)
4、,(x2,y2),(xm,ym),则i=1mxi=(A)0(B)m(C)2m(D)4m第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.(14) 若x,y满足约束条件x-y+10,x+y-30,x-30,则z=x-2y的最小值为.(15) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=.(16) 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲
5、看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通项公式;()设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.(18) (本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.
6、85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010()记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;()记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;()求续保人本年度平均保费的估计值.(19) (本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.()证明:ACHD;()若AB=5,AC=6,AE=54,OD=2
7、2,求五棱锥D-ABCFE的体积.(20) (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).()当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;()若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.(21) (本小题满分12分)已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.()当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;()当2|AM|=|AN|时,证明:3k2.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22) (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,
8、E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DFCE,垂足为F.()证明:B,C,G,F四点共圆;()若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.()以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;()直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin,(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)2的解集.
9、()求M;()证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.试卷全解全析全国甲卷文科(1)D由x29,得-3x3,所以B=x|-3x0)与抛物线交于点P,PFx轴,如图所示,可知P(1,2),故k1=2,解得k=2,故选D.(6)A由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故选A.(7)C因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为S=422+44+124(23)2+22=28,故选C.(8)B因为红灯
10、持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.(9)C由题意,得x=2,n=2,k=0,s=0,输入a=2,则s=02+2=2,k=1,继续循环;输入a=2,则s=22+2=6,k=2,继续循环;输入a=5,s=62+5=17,k=32,退出循环,输出17.故选C.(10)Dy=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+).y=x的定义域和值域均为R;y=lg x的定义域为(0,+),值域为R;y=2x的定义域为R,值域为(0,+);y=1x的定义域与值域均为(0,+).故选D.(11)B因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sin
11、x-322+112,而sin x-1,1,所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B.(12)B由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图像都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称.当m为偶数时,i=1mxi=2m2=m;当m为奇数时,i=1mxi=2m-12+1=m,故选B.(13)-6因为ab,所以-2m-43=0,解得m=-6.(14)-5作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x-2y,得y=12x-12z,故当直线y=12x-12z过点A时,-12z最大,z最小.由x-y+1=0,x=3,得A(3,4),所以z的最小值为3-24=-5.(15)2113因为cos
12、 A=45,cos C=513,且A,C为ABC的内角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.(16)1和3由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的
13、话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.(17)解 ()设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.()由()知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+350等价于ln x-a(x-1)x+10.设g(x)=ln x-a(x-1)x+1,则g(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.()当a2,x(1,+)时,x2+2(1-
14、a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)单调递增,因此g(x)0;()当a2时,令g(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x21和x1x2=1得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面积SAMN=212127127=14449.()将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入x2
15、4+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增.又f(3)=153-260,因此f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点k在
16、(3,2)内.所以3k2.(22)解 ()因为DFEC,所以DEFCDF,则有GDF=DEF=FCB,DFCF=DECD=DGCB,所以DGFCBF,由此可得DGF=CBF.因此CGF+CBF=180,所以B,C,G,F四点共圆.()由B,C,G,F四点共圆,CGCB知FGFB.连结GB.由G为RtDFC斜边CD的中点,知GF=GC.故RtBCGRtBFG,因此,四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍,即S=2SGCB=212121=12.(23)解 ()由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+12cos +11=0.()在()中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(
17、R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=(1+2)2-412=144cos2-44.由|AB|=10得cos2=38,tan =153.所以l的斜率为153或-153.(24)解 ()f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-2x-1;当-12x12时,f(x)2;当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.()由()知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.
