1、福建数学试题(文史类)第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建,文1)复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(). A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C解析:在复平面内,z=-1-2i对应点的坐标为(-1,-2),故选C.2.(2013福建,文2)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:点(2,-1)在直线l:x+y-
2、1=0上,而直线l上的点的坐标不一定为(2,-1),故“x=2且y=-1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件.3.(2013福建,文3)若集合A=1,2,3,B=1,3,4,则AB的子集个数为().A.2B.3C.4D.16答案:C解析:由题知AB=1,3,故它的子集个数为22=4.4.(2013福建,文4)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于().A.12B.22C.1D.2答案:B解析:x2-y2=1的渐近线方程为y=x,顶点坐标为(1,0),点(1,0)到y=x的距离为|1|2=12=22.5.(2013福建,文5)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是().答案:A解
3、析:由f(0)=0可知函数图象经过原点.又f(-x)=f(x),所以函数图象关于y轴对称,故选A.6.(2013福建,文6)若变量x,y满足约束条件x+y2,x1,y0,则z=2x+y的最大值和最小值分别为().A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0答案:B解析:画出可行域如下图阴影部分所示.画出直线2x+y=0,并向可行域方向移动,当直线经过点(1,0)时,z取最小值.当直线经过点(2,0)时,z取最大值.故zmax=22+0=4,zmin=21+0=2.7.(2013福建,文7)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是().A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-2答案:D解析:2
4、x+2y=122x+y,1222x+y,即2x+y2-2.x+y-2.8.(2013福建,文8)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数n后,输出的S(10,20),那么n的值为().A.3B.4C.5D.6答案:B解析:若n=3,则输出S=7;若n=4,则输出S=15,符合题意.故选B.9.(2013福建,文9)将函数f(x)=sin(2x+)-20)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P0,32,则的值可以是().A.53B.56C.2D.6答案:B解析:f(x)的图象经过点0,32,sin =32.又-2,2,=3.f(x)=sin2x
5、+3.由题知g(x)=f(x-)=sin2(x-)+3,又图象经过点0,32,g(0)=sin-2+3=32.当=56时满足g(0)=32,故选B.10.(2013福建,文10)在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为().A.5B.25C.5D.10答案:C解析:ACBD=-41+22=0,ACBD.S四边形ABCD=12|AC|BD|=121+22(-4)2+22=5.11.(2013福建,文11)已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2
6、,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是().A.bb,aaB.bb,aaC.baD.bb,ab,a=-2a.12.(2013福建,文12)设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是().A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案:D解析:由函数极大值的概念知A错误;因为函数f(x)的图象与f(-x)的图象关于y轴对称,所以-x0是f(-x)的极大值点.B选项错误;因为f(x)的图象与-f(x)的图象关于x轴对称,所以x0是-f(x)的极小值点.故C选
7、项错误;因为f(x)的图象与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,所以-x0是-f(-x)的极小值点.故D正确.第卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2013福建,文13)已知函数f(x)=2x3,x0,-tanx,0x2,则ff4=.答案:-2解析:f4=-tan4=-1,ff4=f(-1)=2(-1)3=-2.14.(2013福建,文14)利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则事件“3a-10”发生的概率为.答案:13解析:由3a-10,得a13.0a1,0ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=
8、3(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案:3-1解析:由y=3(x+c)知直线的倾斜角为60,MF1F2=60,MF2F1=30.F1MF2=90.MF1=c,MF2=3c.又MF1+MF2=2a,c+3c=2a,即e=23+1=3-1.16.(2013福建,文16)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:()T=f(x)|xS;()对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:A=N,B=N*;A=x|-1x3,B=x|-8x10;A=x|0x1,B=
9、R.其中,“保序同构”的集合对的序号是.(写出所有“保序同构”的集合对的序号)答案:解析:若y=x+1是从A到B的一个函数,且xA,则满足()B=f(x)|xA.又f(x)=x+1是单调递增的,所以也满足();若f(x)=92x-72时,满足()B=f(x)|xA,又f(x)=92x-72是单调递增的,所以也满足();若y=tanx-12(0xa1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以a12=1(a1+2),即a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9,所以5a1+10a12+8a1,即a
10、12+3a1-100,解得-5a12.18.(2013福建,文18)(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,PAD=60.(1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M为PA的中点,求证:DM平面PBC;(3)求三棱锥D-PBC的体积.解法一:(1)在梯形ABCD中,过点C作CEAB,垂足为E,由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在RtBEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD平面ABCD得,PDAD,从
11、而在RtPDA中,由AD=4,PAD=60,得PD=43.正视图如图所示:正视图(2)取PB中点N,连结MN,CN.在PAB中,M是PA中点,MNAB,MN=12AB=3.又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD.四边形MNCD为平行四边形.DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.(3)VD-PBC=VP-DBC=13SDBCPD,又SDBC=6,PD=43,所以VD-PBC=83.解法二:(1)同解法一.(2)取AB的中点E,连结ME,DE.在梯形ABCD中,BECD,且BE=CD,四边形BCDE为平行四边形.DEBC.又DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.
12、又在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC.又DEME=E,平面DME平面PBC.又DM平面DME,DM平面PBC.(3)同解法一.19.(2013福建,文19)(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分别加以统计,得
13、到如图所示的频率分布直方图.25周岁以上组25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附:2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2P(2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828注:此公式也可以写成K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人
14、60名,25周岁以下组工人40名.所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有400.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
15、故所求的概率P=710.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手600.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手400.375=15(人),据此可得22列联表如下:生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(1525-1545)260403070=25141.79.因为1.790,y1y2=y022+1.由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以y022+1=4,解得y0=6,此时0.所以圆心C的坐标为32
16、,6或32,-6.从而|CO|2=334,|CO|=332,即圆C的半径为332.21.(2013福建,文21)(本小题满分12分)如图,在等腰直角OPQ中,POQ=90,OP=22,点M在线段PQ上.(1)若OM=5,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且MON=30,问:当POM取何值时,OMN的面积最小?并求出面积的最小值.解:(1)在OMP中,OPM=45,OM=5,OP=22,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OPMPcos 45,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设POM=,060,在OMP中,由正弦定理,得OMsinOPM=OPsinOMP,所以OM
17、=OPsin45sin(45+).同理ON=OPsin45sin(75+).故SOMN=12OMONsinMON=14OP2sin245sin(45+)sin(75+)=1sin(45+)sin(45+30)=1sin(45+)32sin(45+)+12cos(45+)=132sin2(45+)+12sin(45+)cos(45+)=1341-cos(90+2)+14sin(90+2)=134+34sin2+14cos2=134+12sin(2+30).因为060,302+30150,所以当=30时,sin(2+30)的最大值为1,此时OMN的面积取到最小值,即POM=30时,OMN的面积的最
18、小值为8-43.22.(2013福建,文22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x-1+aex(aR,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值;(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.解法一:(1)由f(x)=x-1+aex,得f(x)=1-aex,又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,得f(1)=0,即1-ae=0,解得a=e.(2)f(x)=1-aex,当a0时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(
19、x)=0,得ex=a,x=ln a.x(-,ln a),f(x)0,所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.(3)当a=1时,f(x)=x-1+1ex.令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+1ex,则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.假设k1,此时g(0)=10,g1k-1=-1+1e1k-10,知方程g(x)=0
20、在R上没有实数解.所以k的最大值为1.解法二:(1)(2)同解法一.(3)当a=1时,f(x)=x-1+1ex.直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于关于x的方程kx-1=x-1+1ex在R上没有实数解,即关于x的方程:(k-1)x=1ex(*)在R上没有实数解.当k=1时,方程(*)可化为1ex=0,在R上没有实数解.当k1时,方程(*)化为1k-1=xex.令g(x)=xex,则有g(x)=(1+x)ex.令g(x)=0,得x=-1,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-1e当x=-1时,g(x)min=-1e,同时当x趋于+时,g(x)趋于+,从而g(x)的取值范围为-1e,+.所以当1k-1-,-1e时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是(1-e,1).综上,得k的最大值为1.
