1、 牛吃草问题【典型例题】在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。以下用讲义形式出示小升初考试中的各类牛顿问题，又叫牛吃草问题，可以归类到工程问题中，初中学习时用多元一次方程组。1引例：著名科学家牛顿著的普通算术一书有这样一道题：12 头牛 4 周吃牧草 3 3 格尔，同样牧草，21 头牛 9 周吃 10 格尔。问 24 格尔牧草，多少头牛吃 18 周吃完（格尔-牧场面积单位）？以后人们称这类问题为牛顿的“牛吃草”问题。解题技巧：牛吃草问题是一种较复杂的消元问题，这种题的关键是牧场上牧草的总数量在不断
2、地变化，因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况，即常说的新生量。然后再找出牧场上原有草的数量，只要你请注意了这两点，就能很好地把问题解答出来。上题较难，学完下面的例题再看这题的解析：12头牛 4 周吃牧草 31格尔，那么 10 格尔草地，123=36 头牛，吃 4 周。310格尔草地每周长草：（219-364）（9-4）=924 格尔草地每周长草：91024=21.610格尔草地原来有草：219-99=108， 24 格尔草地原来有草：1081024=259.2259.218=14.414.4+21.6=36 头牛。答：24 格尔牧草，36 头牛吃 18 周吃完基本题：匀速长草例 1 牧场
3、上长满牧草，每天牧草都匀速生长.这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天.供 25头牛可吃几天？分析与解 例题的难点，难就难在牧场上牧草的总数量不确定，它随着时间的增加而增加.但是不管它怎么增长，总草量总是由牧场原有草量和每天新长出的草量相加得来的.下面设法找出这两个量来.从上面的图可以看出：10 头牛 20 天吃的总草量比 15 头牛 10 天吃的总草量多，多出部分相当于 10 天新生长出的草量.为了求出一天新长的草量，下面进行转化.10 头牛吃 20 天相当于 200 头牛吃一天，或一头牛吃 200 天.15 头牛吃 10 天相当于 150 头牛吃一天，或一头牛吃
4、 150 天.这一来每天新生的草量，相当于 5 头牛吃一天5=（1020-1510）（20-10）.有了一天新生的草量相当于 5 头牛吃一天，那么，20 天新生的草量就相当于 100 头牛吃一天.这一来原有的草量就相当于 100 头牛吃一天（100=1020-520）.有了原有与新生的草量，问题便能很快求出解来.分步列式如下：10 头牛 20 天吃的草可供多少头牛吃一天？11020=200（头）15 头牛 10 天吃的草可供多少头牛吃一天？1510=150（头）（20-10）天新生的草可供多少头牛吃一天？200-150=50（头）每天新生的草可供多少头牛吃一天？5010=5（头）20 天（或
5、10 天）新生的草可供多少头牛吃一天？520=100（头）或 510=50（头）原有草可供多少头牛吃一天？200-100=100（头）或 150-50=100（头）每天 25 头牛中的 5 头去吃新生的草，其余的牛吃原有的草，全部牧草几天吃完？100（25-5）=5（天）综合算式：1020-（1020-1510）（20-10）20（25-5）=5（天）答：25 头牛 5 天吃完.稍变化：草匀速减少例 2 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？解：以 1 头牛 1 天吃的草为 1
6、 份。牧场上的草每天自然减少（205-166）（6-5）=4（份）；原来牧场有草（20+4）5=120（份）；可供 11 头牛吃 120（11+4）=8（天）。稍变化：淘水例 3 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1 个单位
7、”.则船内原有水量与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量时间人数，即 131030.船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 158=40。每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差时间差，即（40-30）（8-3）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于每小时 2 人的淘水量）。船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水量.3 小时漏进水量相当于 32=6 人 1 小时淘水量.所以船内原有水量为 30-（23）=24。如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 24212（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需 12+2
8、14（人）。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。稍变化：人口与资源例 4 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年；或供 90 亿人生活 210 年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？2答案：75 亿人。解：（90210-11090）（210-90）=75 亿人。稍变化：排队问题例 5 展览会 9 点看门，但早就有人排队等着入场。并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的。如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有
9、人排队了，如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没人排队了。问第一个观众几点来的？分析：又是典型的“牛吃草”问题，需设工作效率是 1，关键是求工作总量的变化率。解：设一个窗口一分钟通过的观众人数是单位 1，即 1 份量，那么 3 个窗口 9 分钟通过的人数是 3927 份，5 个窗口 5 分钟通过的人数是 3925 份，则 1 分钟来的人数是（2725）（95）0.5 份，于是很容易求出 9 点的时候有观众是 270.5922.5 份（或 250.5522.5 份），来这些观众所需时间是 22.50.5=45（分钟），所以第一个观众来的时候是 8 点 15 分。答：第一个观众来的时候是 8 点
10、 15 分。通过以上几个例题，我们可以看到，解决好牛吃草问题，有以下几个关键步骤：1确定好吃草速度（即每头牛每天或每周所吃草为一个单位）2找到新生量及原有量。3恰当分配牛的吃草方式。下面我们来研究一下稍复杂的牛吃草问题复杂变化：合做工程题例 6 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和 12 个工人，5 小时可将甲仓库里面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和 28 个工人，3 小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有 2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往
11、外搬运面粉）分析与解 这是“牛吃草”问题的一种变式.在“牛吃草”问题中，新长出的草与牛吃掉的草，两者是相减的关系，而这里皮带输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系.这里虽然没有“原有的草”这一角色，但我们仍可以采用“牛吃草”的解题思路来解这题.设 1 个工人 1 小时搬运的面粉数量为 1，则甲仓库存放的面粉数量=1 台皮带输送机 1 小时的输送量 5+1125 乙仓库存放的面粉数量=1 台皮带输送机 1 小时的输送量3+1283 因为甲、乙两仓库存放的面粉数量相等，对比上面、两式，所以有：1 台皮带输送机 1 小时的输送量（5-3）=1283-1125，这样便求出 1 台皮带输送机 1 小时
12、的输送量是几.有了这个量便可求出甲、乙、丙三个仓库存放的面粉量，最后就能求出需要多少工人.分步列式如下：设 1 个工人 1 小时搬运的面粉量为 1.1 台皮带输送机 1 小时的输送量是几？（1283-1125）（5-3）=12甲、乙、丙三个仓库每一个仓库存放的面粉数量是几？1283+123=120或 1125+125=1202 台皮带输送机工作 2 小时后，丙仓库中还剩面粉数量是几？3120-1222=722 小时把丙仓库搬空，还需要工人多少名？722=36答：还需要 36 名工人.稍变化：漏水(华校入学考题)例 7 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有
13、1 米，小方用 3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）。答案：6小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了 24-13=5 米路，也就是主小方走 1 米的时间等于漏1杯水的时间，于是 1 桶水等于 3-31=12杯水，所以小方要12（1-31）=6 次才能把第55555三个桶装满。稍变化：水管问题例 8 一个蓄水池装有 9 根水管，其中 1 根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人
14、想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把 8 根出水管全部打开，需要 3 小时可将池内的水排光；而若仅打开 3 根出水管，则需要 18 小时。问如果想要在 8 小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？把出水管每小时的排水量看作 1 份，那么 8 根出水管 3 小时排水 83=24 份，3 根出水管 18 小时排水183=54 份。依题意 24 份为水池中原有的蓄水量加上进水管 3 小时的入水量，而 54 份为水池中原有的蓄水量加上进水管 18 小时的入水量，因此进水管每小时的入水量为（54-24）（18-3）=2 份，水池中原有的水是 24-32=18 份。为使原有的 18 份水
15、在 8 小时内放光，每小时至少应排水 188=2.25 份，又每小时时宜水管还将注入水 2 份，故出水管每小时的总排水量至少应为 2+2.25=4.25 份。每根出水管 1 小时排水 1 份，又出水管的根数是整数，故最少要打开 5 根出水管。较难：草地在变例 9 12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草.多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？分析 解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12 头牛
16、 28 天吃完 10 公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上 28 天新生长的草可供 33.6 头牛吃一天（12281033.6）。21 头牛 63 天吃完 30 公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上 63 天新生长的草可供 44.1 头牛吃一天(63213044.l）。一公亩一天新生长的牧草可供 0.3 头牛吃一天，即（44.l-33.6）（63-28）=0.3（头）。一公亩原有的牧草可供 25.2 头牛吃一天，即33.6-0.328=25.2（头）。72 公亩原有牧草可供 14.4 头牛吃 126 天.即7225.2126=14.4（头）。72 公亩每天新生长的草量可供 21.
17、6 头牛吃一天.即4720.3=21.6（头）。所以 72 公亩牧场上的牧草共可以供 36（=14.421.6）头牛吃 126 天.问题得解。解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？（632i30-122810）（63-28）=0.3（头）。一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？122810-0.328=25.2（头）。72 公亩的牧草可供多少头牛吃 126 天？7225.2126+720.3=36（头）。答：72 公亩的牧草可供 36 头牛吃 126 天。较难变化：牛羊转换例 10 一片牧草，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者可供 80 只羊吃 12 天.如果
18、 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？解：10 头牛与 60 只羊一起吃，可吃 8 天.（都按牛计算）16 头牛 20 天吃的草可供多少头牛吃一天？2016=32080 只羊（即 20 头牛）吃 12 天的草量可供多少头牛吃一天？2012=240（20-12）天新长的草可供多少头牛吃一天？320-240=80每天新长的草可供多少头牛吃一天？808=10原有的草可供多少头牛吃一天？320-1020=120 或240-1012=12010 头牛与 60 只羊（即 25 头牛）中的 10 头牛去吃每天新长出的草，余下的（25-10=）15 头牛去
19、吃原有的草，原有的草可供 15 头牛吃几天？ 12015=8 （还可以都按羊计算，略）较难变化：牛在变例 11 有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可将草吃完.现有牛若干头，吃 6 天后卖了 4 头，余下的牛再吃 2 天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？分析与解 假设每头牛每天所吃的草量为 1，那么牧场原有的草与 30 天新长的草的和便是 11730=510.牧场原有的草与 24 天新长的草的和便是 11924=456.牧场一天新长的草为（510-456）（30-24）=9.牧场原有的草为 510-930=240.如果不卖 4 头牛，则若干头牛 8 天所吃
20、的草，等于牧场原有的草与 8 天新长草的和再加上 4 头牛 2 天所吃的草.即 240+98+124=320.而一头牛 8 天吃草量为 18=8，所以牛的头数为 3208=40（头）.设每头牛每天所吃的草量为 1.牧草一日新长的草量为几？（11730-11924）（30-24）=9牧草原有的草量为几？510-930=240若干头牛 8 天所吃的草量为几？240+98+124=320牛的头数是多少？3208=40（头）答：牛的头数为 40.较难：牛与草地都变化例 12：2004 仁华学校素质调查六年级三卷第 8 题分析如图，一块正方形的草地被分为完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同
21、样速度匀速生长，老农带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光。（在这 2 天内其它草地的草正常生长）之后他让一半牛在号草地，一1半牛在号草地吃草，6 天之后又将两个草地的草吃光，然后老农把3 的牛放在阴影52部分的草地中吃草另外3 的牛放在号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少时间？分析与解：在牛吃草问题中总是把每头牛吃的草量看作是一定的，要不就没法做了。在这道题中我们不必像别的牛吃草问题中把每头牛吃的草量看作一份，可以把整群牛每天吃的草量看作 1 份。然后按照一般牛吃草问题，重点考虑某段时间内牛吃草的份数与单位
22、草场上原有草及每天新长出草的关系。由“老农带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光。”可得：号地原有草量+号地每天新长草量2=1 份2由“让一半牛在号草地，一半牛在号草地吃草，6 天之后又将两个草地的草吃光”可理解为一群牛在 2 倍于号的草地上吃 6 天，而这 2 倍的号草地上的草已经长了 8 天，因此得：号地原有草量2+号地每天新长草量2（2+6）=1 份615比较上面的两个式子可以解得：号地每天新长草量=份，号地原有草量=份，631接着考虑阴影面积与第三块地的面积之间的关系。由条件“老农把3 的牛放在阴影部分的草地中吃草另外23 的牛放在号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃
23、完”可得：号也就是号的面积是阴影面积的 2 倍，因此整个正方形的面积可看作号的 4.5 倍。51因此，求最后结果可以列式为：4.5（1-4.5）=30（天）。36511解释一下上式：4.5 表示整个草地原有的草量，4.5 表示整个草地每天新长草量（，1-4.5）636表示这群牛每天吃掉多少的原有草量，最后除得共需 30 天。上题只要按照牛吃草问题的一般解法，确定以一群牛每天吃草量为 1 份，根据图形各部分面积关系确定号图形的面积为一个面积单位，求出原有草量，新长草量，全题解题思路清晰，难度中等。但是，有一关键之处，在第二种情况中的草已经长了 8 天，而牛只吃 6 天，如不能注意到这种不同之处，
24、就可能要出错。行程本质：电梯问题与方案例 13、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走 1 梯级，女孩每 3 秒钟走 2 梯级。结果男孩用 50 秒到达楼上，女孩用 60 秒到达楼上。该楼梯共有多少级？例题分析：我们可以把此题看成和差倍差问题。例题求解：男孩 50 秒走了 50150 级；女孩 60 秒走了 603240 级；女孩比男孩少走 504010 级，但是都到达，所以在 605010 秒内电梯走了 10 级，6所以共有 50101050100 级例 14、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级梯级，女孩每秒
25、可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端，男孩用了 100 秒，女孩用了 300 秒。问：该扶梯共有多少梯级？例题求解：男孩 100 秒走了 1003300 级女孩 300 秒走了 3002600 级，因为是逆着走，所以开始在 300100200 秒内电梯走了 600300300 级所以在 1 秒电梯走了 3002001.5 级男孩本每秒走 3 级，所以男孩与电梯每秒走 31.51.5;于是，共有 1.5100150 级。例 15、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了 100 级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了 50 级。如果哥哥单位时间走的级数是妹妹的
26、 2 倍，那么自动扶梯停止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？例题分析：哥哥速度为哥哥速度电梯速度；妹妹速度为妹妹速度电梯速度。以为同时走完，所以：哥哥速度电梯速度妹妹速度电梯速度哥哥速度等于妹妹速度的 2 倍，所以：2 妹妹速度电梯速度妹妹速度电梯速度电梯速度 妹妹速度所以自动扶梯在妹妹走的时间内向上移动了(100-50)225(级)，自动扶梯底可见部分为 5025=75(级)例 16：冰雪节小冬去太阳岛看雪雕，有两种“走法”：上岛地点路程（千米）时间（分）一是步行；二是乘马爬梨。乘马爬梨比步行速度快，第 1 次：船站330但是每次都必须等候，且等候时间相同。小冬 3 次去第 2 次：水榭43
27、8看雪雕都从防洪纪念塔出发，他采用了花时间最少的第 3 次：江上之家545“走法”过江，如右表。如果上岛地点在 A 地。江上路程 8 千米，小冬过江最少的用分。比较法与牛吃草，2,3 均乘马爬梨，等候时间为 10 分钟，每千米马拉 8 分钟，共 1078答案 66 解题在于实践：1一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？6 天抽完需要 12 台同样的抽水机.5台抽 20 天相当于 1台抽多少天？520=1006台抽 15 天相当于 1台抽多少天？615=90（20-15）天流入水库的水
28、相当于 1 台抽多少天？100-90=101天流入水库的水相当于 1 台抽多少天？105=2水库原有的水相当于1 台抽多少天？100-220=60 或90-215=606天流入水库的水相当于 1 台抽多少天？26=126天抽完需要多少台抽水机？（60+12）6=1272有三块草地，面积分别是 5 公顷，15 公顷和 24 公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天；第二块草地可供 28 头牛吃 45 天。那么第三块草地可供多少头牛吃 80 天？10303005 公顷草量5301 公顷 1 天生长量.（1）2845126015 公顷草量15451 公顷 1 天生
29、长量.（2）(2)-(1)3,得 15151 公顷 1 天生长量3601 公顷 1 天生长量0.8第一片草地原有草：3000.8305180（24518024800.8）8030答案：30 头3一牧场上的草每天均匀生长，可供 27 头牛吃 6 周，或 23 头牛吃 9 周。那么可供 21 头牛吃多久？答案：12 周.(239276)(9-6)=15276-156=7272(21-15)=124某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开 5 个剪票口，要 30 分钟，开 6 个检票口要 20 分钟。如果要在 10 分钟消失，要开多少个
30、检票口？解答：把一个检票口一分钟检票量作为 1 份，则每分钟来的旅客为：（530620）（3020）3 份所以开始检票前有旅客：530303=60 份所以要十分钟队伍消失，要开（60310）109 个5某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去。显然，公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间可看作是固定不变的）。在任何情况下，他总是采用花时间最少的方案。表中表示他到达 A、B、C 三地采用最佳方案所需的时间。目的地目的地距住地的路程最付佳方案所需的时间A2 千米12 分B3 千米15.5 分C4 千米18 分问：为了到达离住地 8 千米的地方，他需要花多少分钟？并简述理由。解：如果骑自行车，那么不需要等车，如果去 A、B、C 地都骑自行车，那么表中路程与时间应成比例。B、 C 两地肯定是坐公共汽车。因为等车时间相同，所以公共汽车多行 1 千米需(18-1535=)2.5 分，等车需要(15.5-32.5=)8 分。到达离住地 8 千米的地方需(8+82.5=)28 分。8
