1、9月28日（周三）14：00突出图形探究 强化代数推理佛山市教育局教研室彭海燕2022年高考“平面解析几何”专题解题分析目录01试题特点分析02优秀试题剖析03复习备考建议04典型模拟题试题特点分析PART.01试 题 特 点 分 析题号必备知识新高考全国卷21双曲线新高考全国卷21双曲线全国甲卷理 20/文 21抛物线全国乙卷理 20/文 21 椭圆这4道题的第(1)问都考查了圆锥曲线的标准方程，体现了基础性基础性新高考全国卷和全国甲卷的第(2)问都与三角函数的恒等变换(两角差的正切公式、二倍角的正切公式)结合，体现了综合性综合性新高考卷第(2)问给出3个条件，要求学生选取2个作为已知条件，
2、证明另外一个成立，属于创新结构不良问题的设计，有效增强试题的开放性，考查学生创新思维能力，体现了创新性创新性解答题试 题 特 点 分 析题号必备知识新高考全国卷11抛物线14圆16椭圆新高考全国卷10抛物线16椭圆全国甲卷理 10 椭圆理 14 双曲线文 11 椭圆文 14圆文 15 双曲线全国乙卷理 5/文 6抛物线理 11双曲线理 14/文 15 圆选择、填空题既有对直线与圆的方程的要求，也有对曲线中几何图形特征的挖掘，特别是新高考两套卷中多选题的解析几何，四个选项的设计既涵盖了几何图形的探究，又强化了代数运算的基础性要求优秀试题剖析PART.02优 秀 试 题 剖 析(全国新高考卷21)
3、设已知点(2,1)在双曲线:22221=1(1)上，直线交于,两点，直线,的斜率之和为0(1)求的斜率；(2)若tan=2 2，求的面积例 1【目标解析】此题以双曲线中定向问题和三角形面积研究作为切入点，以探索创新情境作为载体，聚焦解析几何、解三角形和图形探究的综合性，考查学生的逻辑推理、数学运算等关键能力，以及数形结合、转化与化归思想.“直线,的斜率之和为0”从从数量关系角度数量关系角度来看来看：直线,的倾斜角互补；从从图形角度图形角度来看来看：直线,与x轴(或y轴)围成的三角形是顶角为A的等腰三角形【解法分析】优 秀 试 题 剖 析思路一：思路一：设直线l的斜率为k，将条件“直线,的斜率之
4、和为0”转化为关于k的方程，进而解出k的值；设:=+22，(1,1),(2,2)，联立=+,22 2=1,可得(1 22)2 4 22 2=0，1+2=4221,12=22+2221由+=0可得1112+2122=0，即(1 2)(2 1)+(2 2)(1 1)=0，即212+(1 2)(1+2)4(1)=0，所以2 22+2221+(1 2)4221 4(1)=0，化简得(+1)(2 1+)=0，所以=1或=1 2(舍去)【注意】增解“=1 2”的产生有必然性因为当P或Q与A重合时，右边的方程显然成立，但这并不符合题意根据这一规律，我们可以推断之后关于k,m的方程的因式分解中，必定含有因式(
5、2 1+)优 秀 试 题 剖 析思路二：思路二：设直线AP的斜率为k，条件“直线,的斜率之和为0”即直线AQ的斜率为k用k表示,两点的坐标，进而计算出kPQ的值；设(1,1),(2,2)，直线AP的斜率为(0,22)，则直线AQ的斜率为，直线AP的方程为 1=(2)联立 1=(2),22 2=1,得(1 22)2+(82 4)4(22 2+1)=0，故2 1=4(222+1)122 1=42+42122.进而1=(2)+1=224+1122，即42+42122,224+1122将换成，得4242122,22+4+1122因此，直线l的斜率为2121=22+4+1122224+112242421
6、2242+42122=88=1优 秀 试 题 剖 析第(2)问首先要对条件“tan=2 2”进行转化如图1，设直线,分别与x轴交于0,0，则直线,的倾斜角分别为0,0，且0+0=，故=00=0 0=20利用诱导公式以及二倍角的正切公式，可解出tan0，即直线AP的斜率再结合第(1)问，可求出,两点的坐标，乃至直线l的方程要计算的面积，只需再求|的长(底边)和点A到直线l的距离(高)不妨设直线,的倾斜角为,(0)上的一点，不过点P的直线l交抛物线C于A,B两点，直线PA,PB的倾斜角分别为,，斜率分别为1,2，(1)若1+2=(0)，则直线l过定点 020,0+2;(2)若1+2=0，则直线l的
7、斜率为定值0;(3)若1 2=(0)，则直线l过定点 02,0;(4)若+=2,，则直线l过定点 0 2 20,0+2，其中=定理 2已知(0,0)是椭圆:22+22=1上的一点，不过点P的直线l交椭圆于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为1,2，(1)若1+2=(0)，则直线l过定点 020,02022；(2)若1+2=0，则直线l的斜率为定值0022；(3)若1 2=(22)，则直线l过定点 02+222,02+222；(4)若1 2=22，则直线l的斜率为定值00对于双曲线的情形，只需将上面的2都换成2优 秀 试 题 剖 析(全国新高考卷21)设双曲线:2222=1(0,0)的右焦点为
8、(2,0)，渐近线方程为=3(1)求C的方程；(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点，点(1,1),(2,2)在C上，且1 2 0,1 0过P且斜率为 3的直线与过Q且斜率为 3的直线交于点M，从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立：M在AB上；PQAB；|=|例 2【目标解析】本题以双曲线为切入点，以探索创新情境为载体，聚焦结构不良问题实现创新性的考查要求，重点考查双曲线的“垂径定理”，围绕着图形特征的探索，考查数学探究和空间想象素养以及逻辑推理、数学运算关键能力，其中特别是逻辑推理能力要求较高.优 秀 试 题 剖 析【解法分析】题干中最为关键的条件是“过P且斜率为 3的
9、直线与过Q且斜率为3的直线交于点M”应注意到双曲线C的渐近线斜率就是 3，结合限制条件“点(1,1),(2,2)在C上，且1 2 0,1 0”，可理解为“过双曲线C右支内的一个点M，作两条渐近线的平行线，分别交双曲线C于P，Q两点”这就是图形探究的价值所在，同时要不断强化“文字语言、符号语言、图形语言”三种语言转化能力优 秀 试 题 剖 析设(0,0)，由于双曲线:2222=1的两条渐近线的方程为2222=0，故两条相交直线 的方程为(0)22(0)22=0.此方程与双曲线C的方程有相同的二次项系数，相减即可得到直线PQ的方程为202202=022022 1，故=2020，即=22我们可以用“
10、点差法”证明垂径定理在双曲线:2222=(，包括退化的情形，即两条渐近线的情形)中的推广：设M是曲线:2222=的弦AB的中点，则=22因此，如果选择作为条件，马上有=，通过数量关系很容易得到PQAB由于两条直线的交点是唯一的，故和均可以用同一法证明优 秀 试 题 剖 析事实上，利用在“垂径定理”在双曲线中的推广，可以进一步得到如下结论：设直线l与双曲线C交于P，Q两点，与双曲线C的渐近线交于S，T两点，则|=|，|=|证明如下：设PQ的中点为M，ST的中点为，则=22.又=，故=，从而,共线又,都在直线l上，故,是同一点，故|=|，|=|，进而有|=|，|=|据此可以给出的另一个证明：如图2
11、，依题意得四边形AMQS，BMPT都是平行四边形，故|=|=|=|优 秀 试 题 剖 析(全国甲卷理科20)已知设抛物线:2=2(0)的焦点为F，点(,0)，过F的直线交C于M,N两点当直线MD垂直于x轴时，|=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,当 取得最大值时，求直线AB的方程例 3【目标解析】本题以抛物线为切入点，考查图形探究下的几何问题解析化以及三角恒等变换、基本不等式等知识的综合运用，强调综合性！聚焦直观想象、逻辑推理与数学运算关键能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.优 秀 试 题 剖 析【解法分析】要使 取得最
12、大值，即使tan()=tan tan1+tantan取得最大值，其中tan,tan就是直线MN,AB的斜率应设法将“M,F,N三点共线(F为定点)”、“M,D,A三点共线(D为定点)”、“N,D,B三点共线(D为定点)”这些条件从图形和图形关系的角度转化为tan,tan之间的数量关系，实现“减元”，将tan()=tan tan1+tantan转化为单变量函数求最大值点（类似的思想可以解决2022年新高考卷18题），得到AB的斜率tan，进而可求出直线AB的方程(2)由(1)知(2,0),设124,1,224,2,324,3,424,4，直线:=+1，直线:=+2由=+1,2=4,可得2 4 4
13、=0，故12=4由=+2,2=4,可得2 4 8=0，故13=8，进而3=22同理可得4=21由斜率公式可得=12124224=41+2，=34324424=43+4=42(1+2)=2又因为直线MN,AB的倾斜角分别为,，所以=tan=2=tan2优 秀 试 题 剖 析【解法分析】要使 取得最大值，即使tan()=tan tan1+tantan取得最大值，其中tan,tan就是直线MN,AB的斜率应设法将“M,F,N三点共线(F为定点)”、“M,D,A三点共线(D为定点)”、“N,D,B三点共线(D为定点)”这些条件从图形和图形关系的角度转化为tan,tan之间的数量关系，实现“减元”，将t
14、an()=tan tan1+tantan转化为单变量函数求最大值点（类似的思想可以解决2022年新高考卷18题），得到AB的斜率tan，进而可求出直线AB的方程要使 最大，则 (0,2)设=2=2 0，则tan()=tantan1+tantan=1+22=11+21212=24，当且仅当1=2即=22时，等号成立，所以当 最大时，=22设直线:=2+，代入抛物线方程可得2 4 2 4=0，0,34=4=412=16，所以=4，所以直线:=2+4优 秀 试 题 剖 析抛物线的“几何平均性质”抛物线:2=2的弦PQ所在直线的横截距0是P,Q两点的横坐标1,2的等比中项根据抛物线的“几何平均性质”，
15、有=2=1,=2=4,=2=4,故=16.故直线AB过定点(4,0)一方面，设 =，则点在点关于抛物线的极线=2上另一方面，由于直线AB过定点(4,0)，且 =，故问题转化为“米勒问题”即求=最大时，点的位置问题设(2,0)，则当EFG的外接圆与直线=2相切时，最大此时根据切割线定理，2=3 6=18 =3 2，(2,3 2)，故=22，直线:=2+4优 秀 试 题 剖 析(全国乙卷理科20)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过(0,2),32,1 两点(1)求E的方程；(2)设过点(1,2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=证明：直线
16、HN过定点例 4【目标解析】本题以椭圆为切入点，以探索创新情境作为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及平面向量背景下的三点共线，直线方程的形式，聚焦分类讨论思想和数形结合思想，重点考查数学探究素养和数学运算关键能力.优 秀 试 题 剖 析【解法分析】要证明直线HN过定点，可以通过HN的两个特殊位置，得出定点的坐标，再证明该点与H，N三点共线下面给出试探定点坐标的过程：当直线MN的斜率不存在时，HN的方程为=2 2 63 2；当直线MN过原点时，HN的方程为=2+4 33 2由=2 2 63 2,=2+4 33 2,解得定点坐标为(0,2)，即点A优 秀 试 题 剖 析由(0,2)，(32,1
17、)可得直线:=23 2若过(1,2)的直线的斜率不存在，则 1,2 63，1,2 63，代入AB的方程=23 2，可得 3 6,2 63，由=得到 5 2 6,2 63，故HN的方程为=2 2 63 2，过点(0,2)；若过(1,2)的直线的斜率存在，设(1,1)，(2,2)，(+2)=0，与23+24=1联立，消去y，整理得(32+4)2 6(2+)+3(+4)=0，故有1+2=6(2+)32+4，12=3(4+)32+4，1+2=8(2+)32+4，22=4(4+422)32+4，12+21=2432+4()由=1=23 2可得312+3,1，(31+6 1,1)，可求得此时:2=1231
18、+612(2)将(0,2)代入整理得2(1+2)6(1+2)+12+21 312 12=0将()式代入，得24+122+96+48 24 48 48+242 362 48=0，显然成立综上，可得直线HN过定点(0,2)优 秀 试 题 剖 析本题命制背景：设 =，=由于，故MT过PA上的无穷远点注意到PA，PB均与椭圆相切，故AB是点关于椭圆的极线，(,)是调和点列，进而(,)是调和线束，于是(,)是调和点列，故=，即=因此，直线NH恒过定点PART.3行业PPT模板http:/ 习 备 考 建 议根据2017年版普通高中数学课程标准，学习解析几何主要培养和发展学生的逻辑推理、直观想象、数学运算
19、三种核心素养高考解析几何试题命题的要求我们师生在平常的解题教学中要更加重视“四基”的落实和“四能”的培养。例如，在讲评2022年全国乙卷理科20时，要注意引导学生去提炼解题过程中运用的方程的思想、特殊与一般的思想，教学生如何分析问题、解决问题复 习 备 考 建 议通过对2022年的专题分析研究可以看到，几何问题“解析化”是有方向可循的，那就是当我们面对一个几何问题的时候，要明确这是一个什么样的几何问题，即我们是将这个几何问题视作整体的图形去挖掘它的几何特征，还是看作两个图形去探索它们的关系，亦或者从数量或者数量关系角度进行挖掘，接着研究和探索这个几何问题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化
20、（有时候这个代数化过程不是很直观，需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化）这些探索与研究的过程是需要时间去实践的，也因此，我们在复习备考中要强化自主探究，要能够从多角度思考，深入挖掘图形的几何特征，掌握研究解析几何问题的一般方法和思维方式复 习 备 考 建 议在典型例题和例2中，都涉及两条直线的倾斜角的差的正切，这其实是旧教材中的“到角”公式学生必须明晰概念(斜率是倾斜角的正切值)，掌握从图形和图形关系以及数量与数列关系角度把握几何问题解析化的基本途径，熟练运用向量、三角等工具要重视图形探究综观典型例题至三个专题例题，可以感受到今年全国卷的4道解析几何题比以往的运算量要大，参变
21、量更多，如何“消参减元”是关键教学中一定要让学生关注代数的本质-结构特征，多想多算，培养学生耐心和严谨细致的习惯以及坚忍不拔的意志品质要强化代数运算复 习 备 考 建 议高考从不回避经典，“中点弦”“焦点弦长”“垂径定理”“极点极线”等问题在高考中考查不断创新教学中一定要重视对这些经典问题积累和研究，让学生掌握解决这类经典问题用到的通性通法，一些常用的结论可以作为“定理”积累下来要重视经典问题解析几何的复习要回归教材，在新高考强调考教衔接的情况下，更要将新版教材中研究路径和研究的一般思维方法落地落细.通过上面的分析来看，只要吃透了教材训练系统的精神实质，只要将教材中的例、习题和复习参考题深入研
22、究，挖掘其内在联系，拓展其研究空间，对于高考题的本质是容易把握的要重视回归教材PART.4行业PPT模板http:/ 已知双曲线C的渐近线方程为33yx=,且过点P()3,2.(1)求C的方程；(2)设()1,0Q,直线xt=(tR)不经过P点且与C相交于,A B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证:直线AD过定点.题 1 已知圆心在x轴上移动的圆经过点()4,0A,且与x轴、y轴分别交于点(),0B x,()0,Cy两个动点,记点(),x y的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点()1,0F的直线l与曲线交于,P Q两点,直线,OP OQ与圆F:()2211xy+=的另一交点分别为,M N(其中O为坐标原点),求OMN与OPQ的面积之比的最大值.题 2 已知椭圆C:22221xyab+=(0ab)的某三个顶点形成边长为2的正三角形,O为C的中心.(1)求椭圆C的方程；(2)P在C上,过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A,B两点,是否存在常数,使得2AFBFOP=?若存在,求出的值；若不存在,说明理由.典型模拟题题 3题 4 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=,上顶点P到左焦点F的距离为2,且离心率为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率为k的动直线l与椭圆C交于,M N两点,且PMPN=,求k的取值范围.谢谢观看汇报人：彭海燕
