1、医学统计学：双变量回归与相关前言大量的医学科研与实践中，经常会遇到对两个变量之间关系的研究。例如：糖尿病病人的血糖与胰岛素水平的关系；某人群年龄与收缩压的关系；儿童身高与体重的关系；动物实验中动物进食量与增加体重的关系等。常用回归与相关分析，属双变量分析范畴（bivariate analysis）。第一节第一节 直线回归直线回归oLinear Regression一、直线回归概念两变量关系o确定性关系是指两变量间的关系是函数关系。已知一个变量的值，另一个变量的值可以通过这种函数关系精确计算出来。o非确定性关系是指两变量在宏观上存在关系，但并未精确到可以用函数关系来表达。Ya bX 直线回归概念
2、示意图XXY的条件均数时：给定YXXY直线回归方程总体样本“Y hat”表示估计值，给定x时y的条件均数的估计值。Ya bX XXY直线回归方程o Y 应变量，响应变量 (dependent variable,response variable)o X 自变量，解释变量 (independent variable,explanatory variable)o b 回归系数 (regression coefficient,slope)o a 截距 (intercept，constant)YabX截距a o几何意义a 0:回归线与纵轴交点在原点上方。a 0:回归线与纵轴交点在原点下方。a=0:回归
3、线通过原点。o统计学意义a 表示自变量X取值为0时相应Y条件均数的估计值。oa的单位与Y值相同o当X可能取0时，a才有实际意义。回归系数b的几何意义0YabX b0YabX bXY0YabX b回归系数b的统计学意义ob表示自变量X变化一个单位时应变量Y的平均改变量。o17岁儿童以年龄（岁）估计体重（kg）的回归方程：o糖尿病患者以胰岛素水平（mU/L）估计血糖水平（mmol/L）的回归方程：XY27XY68.084.22直线回归分析的应用条件（LINE）o线性(linear)o独立(independent)o给定X时，Y正态分布(normal)o等方差(equal variance)直线回归
4、应用条件LINE示意图给定X时，Y是正态分布、不等方差示意图小插曲：关于F.GaltonGalton（1822-1911）是一位人类学家，著名生是一位人类学家，著名生物学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑物学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。尽管他的数学不是很好，但在桥大学念书。尽管他的数学不是很好，但在人类学和优生学研究中萌发的统计学思想，人类学和优生学研究中萌发的统计学思想，对生物统计的发展产生了深远影响，如对生物统计的发展产生了深远影响，如“回回归归”、“双变量正态分布双变量正态分布”的概念等。他的概念等。他没有子女，但一生写了没有子女，但一生写了9 9部书，发表了近部书，发
5、表了近200200篇论文。篇论文。1860年当选英国皇家学会会员，年当选英国皇家学会会员，1909年被封为爵士，年被封为爵士，1910年获得英国皇家学年获得英国皇家学会会Copley奖。奖。小插曲：为什么叫”回归“？“回归”这个词是由英国统计学家F.Galton创立的。他在研究父子身高（1078对数据）关系时发现，高个子的父亲常生高个子的儿子，但儿子身高超过父亲的概率要小于低于父亲的概率；同样矮个子的父亲常生矮个子的儿子，但儿子身高比父亲更矮的概率要小于比父亲高的概率。也就是说不可能无限制的一代比一代高，或一代比一代矮。后代的高度有向平均高度回归的趋势；离开均值越远，所受到回归的压力也越大。“
6、回归”这个词就由此而来。小插曲：为什么叫”回归“？F.Galton K.Pearson二、直线回归方程的求法数据格式：序号 变量1（年龄）变量2（尿肌酐）1 13 3.54 2 11 3.01 3 9 3.09 4 6 2.48 5 8 2.56 6 10 3.36 7 12 3.18 8 7 2.65重要提示o根据原始数据，首先绘制散点图，观察散点图中点子的分布情况，只有当点子分布呈直线趋势时，才进行直线回归分析。o例9-1的散点图见图9-1。年龄(岁)141210864尿肌酐含量(mmmol/24h)3.63.43.23.02.82.62.4直线回归方程的求解：最小二乘原理YabXYX i
7、iYY直线回归方程的求解XXXYllnXXnYXXYXXYYXXb/)()(222XbYaniiiniiibXaYYYYYQ12122)()(最小二乘法（Least Square Method）三、直线回归中的统计推断（一）回归方程（回归系数）的假设检验o回归系数也有抽样误差！总体总体0总体总体 0样本样本b0两变量有直线关系两变量无直线关系？回归方程（回归系数）的假设检验oH0：=0，即两变量无直线关系H1：0，即两变量有直线关系=0.05o检验方法nF检验nt检验n用同一份资料相关系数的假设检验代替，手工计算时最为简便。o统计结论1.方差分析：应变量总变异的分解X P(X,Y)YY）（YY
8、 ）（YYY）（YY YYYYY-=-YY+-Y的总变异分解iiiY YY Y-=-iY Y+-niiininiiiYYYYYY122112)()()(Y的总变异分解o未引进回归时的总变异：(sum of squares of total)o引进回归以后的变异(剩余):(sum of squares for residuals)o回归的贡献，回归平方和：(sum of squares for regression)2)(YY 2)(YY 2)(YYY的总变异分解 体重举重Y的总变异分解 222 YYYYYY 剩回总SSSSSS 剩回总 总n1 回1 剩余n2 回归方程的方差分析SS/SS/MS
9、FMS回归回归回归剩余剩余剩余XXXXXYXYlbllblSS22/回.2 2Y XbXXY XsslYYsn0 2bbbtns，2.回归系数的t检验直线回归中三种假设检验间的关系o在直线回归中，回归系数的t检验与方差分析结果等价。tb=4.579=F1/2=20.971/2FtbFtb2（二）总体回归系数 的可信区间总体样本根据 t 分布原理估计可信区间：bnstb2,2/XXYYa bX 总体总体样本样本b总体回归系数 的可信区间o本例中已计算得sb=0.0304(0.1392-2.4470.0304，0.1392+2.4470.0304)=(0.0648，0.2136)o含义n用(0.0
10、648，0.2136）来估计正常儿童年龄与尿肌酐含量间的回归系数，可信度为95。(三）利用回归方程进行估计和预测复习可信区间和预测区间（容许区间）o均数的可信区间：均数界值标准误 o个体的容许区间(参考值范围):均数界值标准差 1.总体均数 的可信区间估计 XY 样本 总体Y Y的总平均给定X X时Y Y的平均 (Y的条件均数)XYYY 22.2,2/2,2/)()(1XXXXnstYstYXYnYno根据 t t 分布原理：X=12时，求 的95%可信区间o =9.5，lXX=42，=0.1970o当X=12 时，=1.6617+0.1392 123.33213.33212.4470.103
11、1=(3.080,3.584)o即年龄为12岁的正常儿童，估计其平均尿肌酐含量为3.3321(mmol/24h)，95可信区间为(3.380，3.584)(mmol/24h)。XYXXYs.Y1031.042)5.912(811970.02YS2.个体Y值的预测区间 o给定 X 时 Y 的估计值是 Y 的均数的一个估计。o给定X 时 Y 值的容许区间是 Y 的参考值范围。o Y的100(1-)%预测区间:22.2,2/2,2/)()(11XXXXnstYstYXYnYn个体Y值的预测区间3.33212.4470.2223=(2.788,3.876)o即年龄为12岁的正常儿童，估计有95其尿肌酐
12、含量在(2.788，3.876)(mmol/24h)。2223.042)5.912(8111970.02YS可信区间与预测区间示意图第二节第二节 直线相关直线相关oLinear Correlation一、直线相关的概念o对两变量关系的研究，有时并不要求由X估计Y，或者先不考虑这个问题，而关心的是两个变量间是否确有直线相关关系，如两个变量间有相关关系，那么相关的方向和相关的程度如何？可采用相关分析。o相关分析的任务：n两变量间有无相关关系？n两变量间如有相关关系，相关的方向？相关的程度？o相关分析时，两变量不区分自变量和应变量。直线相关的概念o当两个数值变量之间出现如下情况：当一个变量增大，另一
13、个也随之增大(或减少)，我们称这种现象为共变，也就是有相关关系。o若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同向的，则两变量之间的关系为正相关(positive correlation)；若一个变量增加时，另一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为负相关(negative correlation)。相关的方向r=0r=0r-1r1完全正相关完全负相关零相关零相关0r1-1r0：正相关r0：负相关r=0：零相关o相关的密切程度：样本含量n足够大时，r绝对值越接近1。相关越密切。010.40.7低度相关低度相关中度相关中度相关高度相关高度相关三、相关系数的统计推断（一）相关系数的假设检验H0：0，两变量间
14、无直线相关关系H1：0，两变量间有直线相关关系方法：1.t检验：2.查表法：按自由度（n2）查r界值表得P值。20,212rrrtnsrn回归系数与相关系数的假设检验rbtt 结果等价（二）总体相关系数的可信区间o从相关系数不等于0的总体中抽样，样本相关系数的分布是偏态的。R.A.Fisher(1921)的 z 变换1111ln2122zzeerrrz z 近似服从均数为 ，标准差为 的正态分布。)1/()1(ln21rr3/1n相关系数的可信区间估计o将 r 变换为 z；o根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；o再将 z 变换回 r。312/2/nuzsuzz直线回归与相关分析的正确
15、应用o根据分析目的选择变量及统计方法o定性分析相关分析；o定量分析回归分析。o进行回归相关分析前应绘制散点图o结果的解释及正确应用oP值越小，不能认为两变量关系越密切。o回归用于预测时，可内插，避免外延。o相关属关联，而非因果。Correlation measures association.But association is not the same as causation.直线回归与直线相关的区别与联系o联系o均表示线性关系；o正负号一致；o假设检验等价；o用回归解释相关22rSSSSR总回直线回归与直线相关的区别与联系o区别n相关表示相互关系；回归表示依存关系；n对资料的要求不同：o
16、当X和Y都是随机的，可以进行相关和回归分析；o当Y是随机的(X是精确控制的)，理论上只能作回归而不能作相关分析；oI型回归：X是精确控制的；oII型回归：X是随机的。o由X推算Y：o由Y推算X：nr与b的计算公式、取值范围和单位不同。YbaXXbaYYXYXXYXY.秩相关oSpearman秩相关的资料类型o将各变量X,Y分别编秩P,Q；o计算P与Q的Pearson相关；o所得结果即为Spearman秩相关rs。ors的统计学意义同的统计学意义同r。o当n50时，查“rs界值表”。o当n50时，用 t 检验。Summaryo两变量区分自变量和应变量直线回归o两变量不区分自变量和应变量相关n双变量正态分布资料Pearson直线相关n其它类型资料Spearman秩相关o回归与相关分析的步骤n散点图n直线回归方程/相关系数的计算n直线回归方程/相关系数的假设检验n区间估计(optional)o利用计算器统计功能键求回归方程/相关系数计算器操作SHARP5120SHARP5100CASIO1.设置双变量统计状态清零MODE 1SET UP 4 22ndF CASTAT2ndF CAMODE 3 1SHIFT AC=2.输入数据X1,Y1 DATAX1(x,y)Y1DataX1,Y1 DT3.取结果2ndF STAT共3页2ndF 相应键 SHIFT A SHIFT BSHIFT r
