1、第 5章 万有引力与航天 ?考点 13 人造卫星 宇宙速度 ?考点 14 卫星的变轨与对接问题 ?考点 12 万有引力定律及其应用 考点 12 万有引力定律及其应用 ?必备知识 全面把握 ?核心方法 重点突破 考法 1 重力加速度的有关问题 考法 2 天体质量、密度的估算 考法 3 力学知识与万有引力定律的综合应用 ?考法例析 成就能力 题型 1 对开普勒行星运动定律的认识 题型 2 两物体间万有引力的计算 题型 3 天体表面重力加速度的计算 题型 4 有关天体质量、运动周期、轨道半径等的分析 题型 5 双星问题 必备知识 全面把握 ?1开普勒行星运动定律 ? 第一定律 (轨道定律 )：所有行
2、星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 ? 第二定律 (面积定律 )：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ? 第三定律 (周期定律 )：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等以 T1、 T2表示两行星公转周期， R1、 R2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律表示为 ： T 1 2T 2 2 R 13R 2 3 或 R3T 2 k. 说明： 开普勒第三定律不仅适用于行星 ， 也适用于其他天体 ， 经常应用在解决天体运动的问题上 ， 且 其应用非常方便简捷 请注意上式中 k GM4 2 ， M 表示中心天体的质量 ， 所以只
3、有各行星围绕同一天体运动时 ，R 3T 2 才为一定值 该定值只与中心天体有关 ?2万有引力定律 ?(1)内容： ?(2)适用条件： 自然界中任何两个物体都相互吸引 ， 引力的方向在它们的连线上 ， 引力 F 的大小与它们的质量 m 1 和 m 2 的乘积成正比 ， 跟它们之间距离 r 的二次方成反比 即 F Gm 1 m 2r 2 . 其中 G 6.67 10 11 N m 2 / kg 2 ， 称为引力常量 公式适用于求两质点间的相互作用； 对于质点与均匀球体之间的万有引力 ， r 指该质点与均匀球体球心之间的距离； 对于相距不太远的两均匀球体之间的万有引力 ， r 指两球体球心之间的距离
4、 ?3万有引力定律在天文学上的应用 ( 1 ) 天体质量的计算 万有引力充当向心力 ， 这是求解中心天体质量时列方程的根源所在 即 G Mmr2 mv2r m2r m?2 T2r ， 由此得 M v2rG2r3G4 2r3GT2. 在天体表面上 ， 万有引力近似等于重力 ，G MmR2 mg ， 得 M gR2G， 又可得 g GMR2( 这是一个常被引用的式子 ) 重力的实质是万有引力 ， 但一般重力并不等于万有引力 ， 在地表附近忽略地球自转影响的情况下 ， 可认为重力近似等于万有引力 ( 2 ) 万有引力定律应用的普遍方法 涉及万有引力定律应用的问题很多 ， 但其基本方法是不变的 ， 即
5、把天体的运动看成 圆周运动 ， 向心力由万有引力提供 F 引 G Mmr2， F 向 mv2r m2r m?2 T2r ， 即GMr2v2r 2r 4 2T2r ， 得 v GMr， GMr3，T 4 2r3GM. ?4宇宙中的双星系统 ?(1)双星系统 在宇宙中有这样的一些特殊现象，两颗靠得很近的天体，它们绕其连线上的某点做匀速圆周运动，我们把这样的两颗星称为双星系统，简称双星 其特点是这两颗星运动的周期和角速度相等 ，这两颗星各自以一定的速度绕某一中心转动，才不至于因万有引力作用而吸在一起 已知在某一双星系统中，如图所示，两颗星的质量分别为 m1、 m2， m1 m2，且各自的轨道半径为
6、r1、 r2，相距为 L. 在双星系统中，两颗星运动的周期和角速度都相等，根据万有引力提供向心力对两颗星分别列方程式为： 联立两式得 m1r1 m2r2； 又因为 v r ，两颗星的角速度相同，所以两颗星线速度之比等于旋转轨道半径之比，即 v1v 2 r1r 2 m2m 1. G m 1 m 2L 2 m 1 4 2T 2 r 1 ， G m 1 m 2L 2 m 2 4 2T 2 r 2 双星系统的规律总结 a两颗星都在做匀速圆周运动 b两颗星的向心力大小相同，是由两星之间的万有引力提供的 c 两颗星的角速度相同，旋转周期相同，线速度之比等于旋转轨道半径之比 d两颗星绕共同的中心转动做圆周运
7、动时总是位于旋转中心的两侧，且三者在一条直线上 e旋转中心距离质量较大的星较近， r1 r2 m2 m1. 说明：宇宙空间大量存在这样的双星系统地月系统也可以看成一个双星系统，只不过，旋转中心没有出地壳而已，在不是很精确的计算中，可以认为月球绕着地球的中心旋转 ?(2)多星系统 三星问题 四星问题 a 第一种情况：三颗星位于同一直线上 ， 两颗星围绕中央星 ( 静止不动 ) 在同一半径为 R的圆轨道上运行 ， 周期相同 b 第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上 ， 并沿等边三角形的外接圆轨道运行 ， 三颗星的运行周期相同 ( 如图所示 ) a 第一种情况：四颗星稳定地分布在边长为 a
8、的正方形的四个顶点上 ， 均围绕正方形的两条对角线的交点做匀速圆周运动 ( 如图所示 ) b 第二种情况：有三颗星位于边 长为 a 的等边三角形的三个项点上 ， 并沿外 接于等边三角形的圆形轨道运行 ， 而第四颗星刚好位于三角形的中心不动 考点 12 核心方法 重点突破 ? 考法 1 重力加速度的有关问题 课标全国 201221 ， 6分 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ( ) 例 1 A 1 dR B 1 dR C ( R dR ) 2 D ( RR d ) 2 【解析】 【答案】 A 设地球密度为 ， 在矿井底部有 g 1 GM 1（ R d ） 2， 而 M 1 43 ( R d ) 3 ， 所以 g 1 43 G ( R d ) ；同理 ， 地面处 g 2 43 G R ， 所以g 1g 2R dR 1 dR， 选项 A 正确 ， B 、 C 、 D 错误 例 1
