1、2013-2014 2013-2014 第一学期第一学期 张福俊张福俊Flash tracking the key points of last lecture简谐振动的特征简谐振动的特征：某个物理量存在空间的重复性和某个物理量存在空间的重复性和时间的周期性。时间的周期性。)cos(0 tAx0dd222 xtx 简谐振动方程的推导：简谐振动方程的推导：胡克定律和牛顿第二定律胡克定律和牛顿第二定律简谐振动的特征参量：简谐振动的特征参量：振幅振幅 周期周期 相位相位简谐振动的简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法)sin(dd0 tAtxv)cos(dd0222tAtxa要点要点:1：矢量逆时针
2、旋转：矢量逆时针旋转2：矢量：矢量 与与X轴正向夹角为简谐振动的初相位轴正向夹角为简谐振动的初相位3：矢量：矢量 转动角速度转动角速度 为简谐振动的角速度为简谐振动的角速度4：AAAoA 1.弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。机械能的一半。2.任一简谐振动总能量与任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比振幅的平方成正比。3.振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。了振动系统总能量的大小及振动的强度。24121kAE 简谐运动的能量简谐运动的能量221kA例
3、例1:设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固定有质量为定有质量为m的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆在小角度摆动时，在小角度摆动时，角按余弦函数规律随时间变化。试角按余弦函数规律随时间变化。试求摆在小摆角摆动时的求摆在小摆角摆动时的固有频率固有频率。两根弹簧的劲度系数。两根弹簧的劲度系数均为均为k。mgMNkkal 解：用
4、机械能守恒定律解：用机械能守恒定律 取水平面取水平面MN为重力零势能面，为重力零势能面，摆在最低位置时摆在最低位置时:2maxmax2111)(2121lmmvEEEkp摆在最大偏离位置时摆在最大偏离位置时122ppEEE2max)(21lm按题意设小角度摆动为谐振动，以按题意设小角度摆动为谐振动，以 表示其振动频率。表示其振动频率。)2cos(maxt)2sin(2maxt)2(2maxmax22221mlkamgl(2)式代入式代入(1)式式)1(212max22maxakmgl2max22max21akmgl2maxmax)(212)cos1(akmglkkal 或写出系统任意时刻的能量
5、或写出系统任意时刻的能量2)(21lmCkamgl222212)(21lmCakmgl22)21(tmldd22120dd2)21(2tkamgl02dd2222mlkamglt对此式求导对此式求导222ddtml02)21(2kamgl例题例题2：一个做简谐振动的物体，振幅为一个做简谐振动的物体，振幅为A，弹簧的劲度，弹簧的劲度系数为系数为k，当物体偏离平衡位置的位移为，当物体偏离平衡位置的位移为A，并向，并向平衡位置运动平衡位置运动 时，物体的动能是多少？时，物体的动能是多少？根据机械能守恒定律：根据机械能守恒定律：EEkEp解：解：首先计算此时的势能：首先计算此时的势能：22218132
6、121kAAkkxEp系统总能量：系统总能量：221kAE 294kAEEEpk此时动能：此时动能：14-2 谐振动的合成谐振动的合成14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成14-2-2 同方向不同频率同方向不同频率简谐简谐振动的合成振动的合成 拍拍 14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成两个垂直方向上的简谐振动的合成本节内容：本节内容：14-2-1 14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成2021012021010coscossinsintan AAAA )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos(0 t
7、Ax)cos(21020212221 AAAAA合成振动仍为合成振动仍为简谐振动。简谐振动。利用三角函数公式利用三角函数公式 当当A A1 1、A A2 2同时以同时以的角速度转的角速度转动时，动时，A A同样以同样以的角速度转动。的角速度转动。合矢量与合矢量与x x轴正反向的夹角为合振轴正反向的夹角为合振动的初相。动的初相。合矢量的模为振幅。合矢量的模为振幅。用旋转矢量法描述合振动用旋转矢量法描述合振动xo1A A2A A12A A思思 考考 题：题：11223341A A2A A3A A4A AA Aoxx做法做法：将多个旋转矢量：将多个旋转矢量合成，求得合矢量。合成，求得合矢量。讨论两个
8、特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相 k21020 ,.2,1,0 k)cos(21020212221 AAAAA由由2122212AAAAA xto2TT23T2T合成振动合成振动21AA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)两个振动反相两个振动反相212122212AAAAAAA 如果如果21AA 则则 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动合成振动 1020 ,.2,1,0 k)12(k一般情况一般情况 为其他任意值，为其他任意值，)(2121AAAAA 上述结果说明两个振动的相位差对合振动的振上述结果说明两个振动的相位差对合振动的振幅起着重要作用。幅
9、起着重要作用。合成振动合成振动t2TT23T2Txo)cos(21020212221 AAAAA例例1：求求两同方向、同频率谐振动两同方向、同频率谐振动X2=2cos(3t+/3)、X1=4cos(3t)的合的合成谐振动方程成谐振动方程。解：合成后解：合成后不变，不变，X=Acos(3t+)cos(212212221AAAAA)03/cos(24224227222112211coscossinsinAAAAtg3/cos20cos43/sin20sin4A A1 1=4=4、A A2 2=2=2、1 1=0=0、2 2=/3=/353合振动方程合振动方程)346.03cos(72txO OA例
10、例2:2:两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。两个振动的相位差。解：解：21AAA AAA 213212 1A2A21xxxtA2cos212 0212cos t着重研究着重研究21,相近且很大相近且很大初相相同的情况时),(21)cos(011tAx)cos(022tAx14-2-2 14-2-2 同方向不同频率同方向不同频率简谐简谐振动的合成振动的合成 拍拍 可以近似地将合振动看成按可以近似地将合振动看成按蓝色项蓝色项为振幅缓慢变为振幅缓
11、慢变化，角频率为化，角频率为 的准简谐振动，称为拍。的准简谐振动，称为拍。2212cos2cos2coscos如图如图拍现象拍现象1x2xtox 合振幅在单位时间内加强或减弱的次数称为合振幅在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。拍频。其周期是合振幅变化周期的一半。其周期是合振幅变化周期的一半。|2|1212b（beat）tA2cos212 121222221bT重要的应用：已知频率的音叉测出其它音叉的频率。重要的应用：已知频率的音叉测出其它音叉的频率。x tA2cos212 t2cos21 手风琴的中音簧：手风琴的中音簧：的两排中音簧的频率大的两排中音簧的频率大概相差概相差6到到8个赫兹，其作
12、用就是产生个赫兹，其作用就是产生“拍拍”频。而俄频。而俄罗斯的罗斯的“巴扬巴扬”-则是单簧片的，因此则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。&拍现象是一种很重要的物理现象。拍现象是一种很重要的物理
13、现象。)cos(101tAx)cos(202tAy)(sin)cos(210202102021222212AAxyAyAx消去消去t 得到轨道方程得到轨道方程(椭圆方程椭圆方程)1020)2(0)1(102021AAyx21AAyx12 A22 A14-2-3 14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成两个垂直方向上的简谐振动的合成&两个互相垂直同频率两个互相垂直同频率简谐简谐振动的合成振动的合成x2)3(10201222212AyAx21AA 轨迹为圆轨迹为圆y Y方向的振动方向的振动超前方向，得超前方向，得到的是顺时针方到的是顺时针方向的圆。向的圆。23 当两个振动的频率差异很小时当两个
14、振动的频率差异很小时201020 12 A22 A 24 4345 47 1 2:49)(sin)cos(210202102021222212AAxyAyAx&两两当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比利萨如图形利萨如图形14-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动与共振受迫振动与共振14-3-1 阻尼振动阻尼振动14-3-2 受迫振动与共振受迫振动与共振本节内容：本节内容：无阻尼自由振动无阻尼自由振动阻尼振动阻尼振动(摩擦阻尼，辐射阻尼摩擦阻尼，辐射阻尼)由由牛顿第二定律牛顿第二定律txkxtxmdddd22 令令20 mk 2 m (称为阻尼因子称为阻尼因
15、子)txFtdd (称为阻尼系数称为阻尼系数)对于摩擦阻尼对于摩擦阻尼,当当 不太大时不太大时0dd2dd222 xtxtx 14-3-1 阻尼振动阻尼振动220 称为阻尼振动振幅称为阻尼振动振幅Otx此常系数线性齐次微分方程的解为此常系数线性齐次微分方程的解为在阻尼较小时，在阻尼较小时，0，)cos(00 teAxt0dd2dd222 xtxtx teAA000220222TT 曲线曲线3为为过阻尼过阻尼振动振动)(0 曲线曲线2为为临界阻尼临界阻尼)(0 图中曲线图中曲线1为为阻尼振动阻尼振动)(0 设设 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间
16、T123 在生产实际中根据不同要求，控制阻尼大小。在生产实际中根据不同要求，控制阻尼大小。生产技术中通常用改变阻尼大小的方法来控制系生产技术中通常用改变阻尼大小的方法来控制系统的振动情况：统的振动情况：1、在机床上安装阻尼装置，作为减震器使机床运转、在机床上安装阻尼装置，作为减震器使机床运转时冲击引起的振动迅速衰减，保护机件。时冲击引起的振动迅速衰减，保护机件。2、精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，使指、精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，使指针尽快停止摆动，以便及时读数。针尽快停止摆动，以便及时读数。这种加大阻尼使振动尽快停下来的最好办法是这种加大阻尼使振动尽快停下来的最好办法是将将阻
17、尼加大到临界阻尼阻尼加大到临界阻尼。驱动力驱动力tFFfcos0运动方程运动方程tFtxkxtxmfcosdddd022稳态振动稳态振动后，后，方程的解为方程的解为)cos(0 tAx对于一定的对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅振动系统，当一定时，位移振幅A随频率随频率而改变。而改变。0F注意注意:稳态时的稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质受迫振动与无阻尼自由振动实质有所有所不同不同。令令,20 mk 2 m)cos()cos(002200tAteAxft14-3-2 受迫振动与共振受迫振动与共振2202 共共振振共振现象极为普遍，有其有利的一面，也共振现象极为普遍，有其有利的一面，也
18、可引起损害。可引起损害。稳定受迫振动的频率相应曲线稳定受迫振动的频率相应曲线 共振时，振动速度与驱动共振时，振动速度与驱动力同相位，从而驱动力作正力同相位，从而驱动力作正功，使振幅急剧增大。最后功，使振幅急剧增大。最后当阻力功率与驱动力功率相当阻力功率与驱动力功率相抵时，振幅急剧增大。抵时，振幅急剧增大。22222004)(mFA 长长850米、宽米、宽12米的美国华盛顿州米的美国华盛顿州Tacoma Narrows 桥，于桥，于1940年，在通车几个月后，由凌晨的年，在通车几个月后，由凌晨的风引起大幅摆动因共振而垮塌风引起大幅摆动因共振而垮塌.小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎我国古代对我国古代对“共振共振”的认识：的认识：蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪公元五世纪天中记天中记：问张华。问张华。张华曰：此盘与宫中钟张华曰：此盘与宫中钟相谐相谐，故声故声相应，相应，可改变其薄厚。可改变其薄厚。14.14.1414，14.14.1717，14.14.1919第4次交作业情况应交作业人数实交作业人数未交作业人数交作业率148136120.92
