1、4.3.2对数的运算第1课时对数的运算学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值导语同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用一、对数的运算性质问题1将指数式Ma
2、p，Naq化为对数式，结合指数运算性质MNapaqapq能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)?提示由Map，Naq得plogaM，qlogaN.由MNapq得pqloga(MN)从而得出loga(MN)logaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)问题2结合问题1，若apq，又能得到什么结论？提示将指数式apq化为对数式，得logapqlogaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)问题3结合问题1，若Mn(ap)nanp(nR)，又能有何结果？提示由Mnanp，得logaMnnpnlogaM(nR)知识梳理如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaM
3、logaN.(2)logalogaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)注意点：(1)性质的逆运算仍然成立(2)公式成立的条件是M0，N0，而不是MN0，比如式子log2(2)(3)有意义，而log2(2)与log2(3)都没有意义(3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk，其中Nk0，kN*.例1求下列各式的值(1)ln e2；(2)log3elog3；(3)lg 50lg 5.解(1)ln e22ln e2.(2)log3elog3log3log331.(3)lg 50lg 5lg lg 101.反思感悟对数的化简求值一般是正用或
4、逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行跟踪训练1求下列各式的值：(1)log3(2792)；(2)lg 5lg 2；(3)ln 3ln ；(4)log35log315.解(1)方法一log3(2792)log327log392log333log3343log334log33347.方法二log3(2792)log3(3334)log3377log337.(2)lg 5lg 2lg(52)lg 101.(3)ln 3ln lnln 10.(4)log35log315log3log3log3311.二、对数运算性质的运用例2已知lg 2a，l
5、g 3b，则lg _.答案b3a1解析lg lg 12lg 5lg(322)(1lg 2)lg 3lg 221lg 2lg 33lg 21b3a1.跟踪训练2用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .解(1)lg(xyz)lg xlg ylg z.(2)lg lg(xy2)lg zlg xlg y2lg zlg x2lg ylg z.(3)lg lg(xy3)lg lg xlg y3lg x3lg ylg z.(4)lg lg lg(y2z)(lg y2lg z)lg x2lg ylg z.三、利用对数的运算性质化简、求值例3计
6、算下列各式的值：(1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2；(2)；(3)log5352log5log57log51.8.解(1)原式(lg 5)2(2lg 2)lg 2(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21.(2)原式.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.反思感悟利用对数运算性质化简求值(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用；(2)“拆”：将
7、积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2lg 51，进行计算或化简跟踪训练3计算下列各式的值：(1)lg lg lg ；(2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)方法一原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5(lg 2lg 5)lg 10.方法二原式lg lg 4lg 7lg lg()lg .(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.
8、1知识清单：(1)对数的运算性质(2)对数运算性质的运用(3)利用对数的运算性质化简、求值2方法归纳：转化法3常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则1若a0，且a1，x0，nN*，则下列各式：(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxloga；logax；loga.其中正确的有()A2个 B3个 C4个 D5个答案A解析根据对数的运算性质logaMnnlogaM(M0，a0，且a1)知与正确22log510log50.25等于()A0 B1 C2 D4答案C解析原式log5100log50.25log5252.3已知lg 3a，lg 7
9、b，则lg 的值为()Aab2 Ba2bC. D.答案B解析lg 3a，lg 7b，lg lg 3lg 49lg 32lg 7a2b.4._.答案2解析原式2.1log242log243log244等于()A1 B2C24 D.答案A解析原式log24(234)log24241.2已知3a2，那么log382log36用a表示是()Aa2 B5a2C3a(1a)2 D3aa2答案A解析因为3a2，所以alog32，所以log382log36log3232(log321)log322a2.3计算lg 2lg eln 2等于()A1 B. C3 D5答案A解析原式lg21.4下列计算正确的是()A
10、(a3)2a9 Blog26log231C Dlog3(4)22log3(4)答案B解析由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2a6，a01，所以A，C不正确；由对数的运算性质，可得log26log23log2log221，所以B正确；根据对数的化简，可得log3(4)22log3(4)，而log3(4)无意义，所以D不正确5若lg a，lg b是方程2x24x10的两个实根，则ab的值等于()A2 B. C100 D.答案C解析lg a，lg b是方程2x24x10的两个实根，由根与系数的关系得lg alg b2，lg(ab)2，ab100.6(多选)已知f(x)log5x，则对任意的a
11、，b(0，)，下列关系成立的是()Af(ab)f(a)f(b)Bf(ab)f(a)f(b) Cff(a)f(b)Dff(a)f(b)答案AD解析f(x)log5x，a，b(0，)，f(ab)log5(ab)log5alog5bf(a)f(b)，flog5log5alog5bf(a)f(b)7lg lg 的值是_答案1解析原式lg lg 101.8设alog342，则4a_.答案解析因为alog342，则log34a2，则4a329，则4a.9已知lg 2m，lg 3n，试用m，n表示.解lg 2m，lg 3n，.10计算下列各式的值：(1)log3lg 25lg 4；(2)2log32log3
12、log38.解(1)原式lg(254)2lg 102222.(2)原式2log32(log325log39)3log322log325log322log333log329297.11如果方程(lg x)2(lg 7lg 5)lg xlg 7lg 50的两根为，则的值是()A. Blg 35Clg 7lg 5 D35答案A解析由题意知，lg ，lg 是一元二次方程x2(lg 7lg 5)xlg 7lg 50的两根，依据根与系数的关系得lg lg (lg 7lg 5)，lg()lg(75)1，.12已知xlog321，则2x2x的值是()A1 B3 C. D.答案D解析由xlog321，可知log
13、32x1，即2x3，故2x2x3.13已知logax2，logbx1，logcx4(a，b，c，x0且a，b，c，x1)，则logx(abc)等于()A. B. C. D.答案D解析xa2bc4，所以(abc)4x7，所以，即logx(abc).14若x满足(log2x)2log2x230，则x_.答案8或解析由题意，方程可化为(log2x)22log2x30.令tlog2x，则t22t30，解得t3或t1，即log2x3或log2x1，所以x238或x21.15已知函数f(x)的定义域为R且满足f(x)f(x)，f(x)f(4x)，若f(1)6，则f(log2128)f(log216)等于()A6 B0 C6 D12答案C解析因为函数f(x)的定义域为R且满足f(x)f(x)，所以f(0)0，f(1)f(1)6，故f(7)f(43)f(3)f(14)f(1)f(1)6，f(4)f(0)0，所以f(log2128)f(log216)f(log227)f(log224)f(7)f(4)606.16已知lg 2a，lg 3b.(1)求lg 72，lg 4.5；(2)若lg xab2，求x的值解(1)lg 72lg(2332)3lg 22lg 33a2b；lg 4.5lg 2lg 3lg 22ba.(2)lg xab2lg 2lg 32lg 2lg 3lg lg ，所以x0.06.
