1、5.1.1任意角学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题导语同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课一、任意角的概念问题1在初中是如何定义角的？角的范
2、围是多少？提示角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0360.知识梳理1角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形2角的表示如图所示，角可记为“”或“”或“AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.3角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角4.任意角我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角5相反角我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为.例1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A120 B120C60
3、 D60答案B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为360120.反思感悟正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A60，720 B60，720C30，360 D60，720答案B解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而36060，2360720，故钟表的时针和分针转过的角度分别是60，720.二、象限角问题2现在，我们把角的概念
4、推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？提示我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角注意点：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限(2)每一个象限都有正角和负角(3)无法比较两个象限角的大小例2(多选)在160；480；960；1 530下列四个角中，属于第二象限角的是()A160 B480C960 D1 530答案ABC解析A中，160很显然是第二象限角；B中，480120360是第二象限角；C中，9603360120是第二象限角；D中，1 530
5、436090不是第二象限角反思感悟正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可跟踪训练2(多选)下列叙述不正确的是()A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B钝角是第二象限角C第二象限角比第一象限角大D小于180的角是钝角、直角或锐角答案ACD解析直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90小于180的角，是第二象限角，故B正确；由于120是第二象限角，390是第一象限角，120390，故C不正确；由于零角和负角也小于180，故D不正确三、终边相同的角问题3给定一个角，它的终边是否唯一？
6、若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30的终边和390的终边相同，它们正好相差了360知识梳理终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和例3已知1 845，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)360720之间的角解因为1 84545(5)360，即1 845角与45角的终边相同，所以与角终边相同的角的集合是|45k360，kZ，(1)最小的正角为315.(2)最大的负角为45.(3)3607
7、20之间的角分别是45，315，675.反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成k360(kZ)的形式(2)终边相同的角相差360的整数倍跟踪训练3若角2与240角的终边相同，则等于()A120k360，kZB120k180，kZC240k360，kZD240k180，kZ答案B解析角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ，则120k180，kZ.四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示例4已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围解终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1|30k180，kZ，终边在18075105角的终边所在直线上的角的集合为S2|105
8、k180，kZ，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为|30k180105k180，kZ反思感悟(1)象限角的判定方法根据图象判定利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360之间没有两个角终边是相同的(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360.第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区域角集合跟踪训练4已知，如图所示(1)分别写出终边
9、落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解(1)终边落在OA位置上的角的集合为|210k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|300k360，kZ(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是|210k360300k360，kZ1知识清单：(1)正角、负角、零角的概念(2)终边相同的角的表示(3)象限角、区域角的表示2方法归纳：数形结合、分类讨论3常见误区：锐角与小于90角的区别，终边相同的角的表示中漏掉kZ.1“是锐角”是“是第一象限角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为是锐角能推出是第一象限角
10、，但是反之不成立，例如400是第一象限角，但不是锐角，所以“是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件22 022是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析2 0225360222，所以2 022角的终边与222角的终边相同，为第三象限角3与460角终边相同的角可以表示成()A460k360，kZ B100k360，kZC260k360，kZ D260k360，kZ答案C解析因为460260(2)360，故与460角终边相同的角可以表示成260k360，kZ.4.已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_答案|45k360150k360，kZ解
11、析观察图形可知，角的集合是|45k360150k360，kZ1如果角的终边上有一点P(0，3)，那么()A是第三象限角 B是第四象限角C是第三或第四象限角 D不是象限角答案D解析点P(0，3)在y轴负半轴上，故的终边为y轴的负半轴2若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角3时针走过2小时40分，则分针转过的角度是()A80 B80 C960 D960答案D解析4060，360240.由于时针、分针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角度为2360240960.4下面各组角中
12、，终边相同的是()A390，690 B330，750C480，420 D3 000，840答案B解析因为33036030，750236030，所以330与750终边相同5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A|45120B|120315C|45k360120k360，kZD|120k360315k360，kZ答案C解析如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|45k360120k360，kZ6(多选)下列四个角为第二象限角的是()A200 B100 C220 D420答案AB解析200360160，在0360范围内，与200终边相同的角为160，它是第二象限角，同理100为第
13、二象限角，220为第三象限角，420为第一象限角71 112角是第_象限角答案一解析1 112360332，1 112的终边与32的终边相同，均为第一象限角8在0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为_答案120，300解析与角60的终边在同一条直线上的角可表示为60k180，kZ.所求角在0360范围内，060k180360，kZ，解得k，kZ，k1或2.当k1时，120；当k2时，300.9已知1 910.(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200.解(1)1 9106360250，它是第三象限角(2)令250n360
14、(nZ)，取n1，2就得到符合7200的角当n1时，250360110；当n2时，250720470.故110或470.10在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：(1)|30k36060k360，kZ；(2)|30k18060k180，kZ解(1) 根据任意角的定义，画出集合|30k36060k360，kZ对应的区域如图阴影部分(含边界)所示(2)根据任意角的定义，画出集合|30k18060k180，kZ对应的区域如图阴影部分(含边界)所示11(多选)角45k180(kZ)的终边落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案AC解析当k2m1(mZ)时，2m180225m36022
15、5，故为第三象限角；当k2m(mZ)时，m36045，故为第一象限角故的终边落在第一或第三象限12终边与坐标轴重合的角的集合是()A|k360，kZB|90k180，kZC|k180，kZD|k90，kZ答案D解析终边在坐标轴上的角为90的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为|k90，kZ13已知为锐角，则2为()A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于180的正角答案D解析因为为锐角，所以090，则02180.14若为ABC的一个内角，且4与120的终边相同，则_.答案120或30解析4120k360，kZ，30k90，kZ，又0180，当k1时，120；当k0时，30.15
16、角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为()Ak360，kZB180k360，kZC180k360，kZDk360，kZ答案B解析方法一(特值法)令30，150，则180.方法二(直接法)因为角与角的终边关于y轴对称，所以180k360，kZ，即180k360，kZ.16若是第二象限角，试分别确定2，的终边所在位置解是第二象限角，90k360180k360(kZ)1802k36023602k360(kZ)，2的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上方法一45k18090k180(kZ)，当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)；当k2n1(nZ)时，225n360270n360
17、(nZ)，的终边位于第一或第三象限30k12060k120(kZ)，当k3n(nZ)时，30n36060n360(nZ)；当k3n1(nZ)时，150n360180n360(nZ)；当k3n2(nZ)时，270n360300n360(nZ)，的终边位于第一、第二或第四象限方法二将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上，如图所示是第二象限角，与角所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，的终边位于第一或第三象限将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上，如图所示是第二象限角，与角所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，的终边位于第一、第二或第四象限
