1、3.1.1函数的概念(二)学习目标1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域与函数值一、区间的概念知识梳理设a，bR，且ab，规定如下：区间数轴表示a，b(a，b)a，b)(a，ba，)(a，)(，b(，b)注意点：(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立(4)是一个符号，而不是一个数例1把下列数集用区间表示：(1)x|x1；(2)x|x0；(3)x|1x1；(4)x|0x1或2x4解(1)x|x11，)(2)x|x0(，0)(3)x|1
2、x1(1,1)(4)x|0x1或2x4(0,1)2,4反思感悟用区间表示数集时要注意：(1)区间左端点值小于右端点值(2)区间两端点之间用“，”隔开(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号(4)以“”“”为区间的一端时，这端必须用小括号跟踪训练1(1)集合x|2x2且x0用区间表示为_答案(2,0)(0,2解析x|2x2且x0(2,0)(0,2(2)已知区间(a2a1,7，则实数a的取值范围是_答案(3,2)解析由题意可知a2a17，即a2a60，解得3a0，即x2，所以函数y的定义域为x|x2且x1(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x5，且x3，所以函数y的定义域
3、为x|x5且x3(4)要使函数有意义，则即解不等式组得1x1.所以函数y的定义域为x|1x1三、判断是否为同一个函数问题1构成函数的要素有哪些？提示定义域、对应关系和值域问题2结合函数的定义，如何才能确定一个函数？提示有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定例3下列各组函数：f(x)，g(x)x1；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)x3；汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)80t(0t5)与一次函数g(x)80x(0x5)其中表示同一个函数的是_(填序号)答案解析不是同一个函数，定义域不同，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R.不是同一个函数，对
4、应关系不同，f(x)，g(x).是同一个函数，定义域、对应关系都相同不是同一个函数，对应关系不同，f(x)|x3|，g(x)x3.是同一个函数，定义域、对应关系都相同反思感悟判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的(3)在化简解析式时，必须是等价变形跟踪训练3下列各组函数中是同一个函数的是()Ayx1与yByx21与st21Cy2x与y2x(x0)Dy(x1)2与yx2答案B解析A，C选项中两函数的定义域不同，D选
5、项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误四、求抽象函数的定义域例4(1)函数yf(x)的定义域是1,3，则f(2x1)的定义域为_答案1,1解析令12x13，解得1x1，所以f(2x1)的定义域为1,1(2)若函数yf(3x1)的定义域为2,4，则yf(x)的定义域是()A1,1 B5,13C5,1 D1,13答案B解析由题意知，2x4，所以53x113，所以yf(x)的定义域是5,13反思感悟抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域为a，b，求f(g(x)的定义域时，不等式ag(x)b的解集即定义域(2)已知f(g(x)的定义域为c，d，求f(x)的定义域时，求出g(x)在c，d上的范围
6、(值域)即定义域跟踪训练4已知函数f(x1)的定义域为x|2x3，则函数f(2x1)的定义域为()Ax|1x9 Bx|3x7Cx|2x1 D.答案D解析函数yf(x1)的定义域为x|2x3，2x3，则3x12，即函数f(x)的定义域为x|3x2对函数f(2x1)，有32x12，解得2x.即函数f(2x1)的定义域为.1知识清单：(1)区间的表示(2)求简单函数的定义域和函数值(3)判断是否为同一个函数(4)求抽象函数的定义域2方法归纳：整体代换3常见误区：不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域1已知区间2a1,11，则实数a的取值范围是()A(，6) B(6，)C(1,6) D(1,6)答案A
7、解析由题意可知，2a111，解得a6.2已知四组函数：f(x)x，g(x)()2；f(x)x，g(x)；f(n)2n1，g(n)2n1(nN)；f(x)x22x1，g(t)t22t1.其中是同一个函数的是()A没有 B仅有C D答案C解析对于，定义域不同；对于，对应关系不同；对于，定义域与对应关系都相同3已知函数f(x)，则f等于()A. B. Ca D3a答案D解析f3a.4函数y的定义域是_答案x|x1且x1解析由题意可得所以x1且x1，故函数y的定义域为x|x1且x11区间(0,1等于()A0,1 B(0,1Cx|0x1 Dx|0x1答案C2函数f(x)的定义域为()A. B.C. D.
8、答案D解析要使f(x)有意义，只需满足即x且x0.3设函数f(x)3x21，则f(a)f(a)的值是()A0 B3a21 C6a22 D6a2答案A解析f(a)f(a)3a213(a)210.4(多选)下列各组函数为同一个函数的是()Af(x)x，g(x)Bf(x)1，g(x)(x1)0Cf(x)，g(x)Df(t)，g(t)t4(t4)答案CD解析A这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；B这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；C这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；D这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数5若f
9、(x)2x1，则f(f(x)等于()A2x1 B4x2C4x3 D2x3答案C解析f(f(x)f(2x1)2(2x1)14x3.6已知函数f(x)的定义域为(1,1)，则函数g(x)ff(x2)的定义域为()A(0,2) B(1,2)C(2,3) D(1,1)答案B解析由题意知解得1x2.7若函数f(x)的定义域为2a1，a1，值域为a3,4a，则a的取值范围为_答案(1,2)解析由区间的定义知解得1a2.8函数f(x)的定义域为_答案3,4)(4，)解析要使函数有意义，则即即x3且x4，故函数f(x)的定义域为3,4)(4，)9已知f(x)，g(x)x21，xR.(1)求f(2)，g(2)的
10、值；(2)求f(g(3)的值解(1)f(2)，g(2)2215.(2)f(g(3)f(321)f(10).10求下列函数的定义域：(1)f(x)4；(2)f(x).解(1)要使函数式有意义，必须满足即解得x，所以函数的定义域为.(2)要使函数式有意义，必须满足即解得所以函数的定义域为x|x0且x311已知f(x)ax3bx1，则f(1)f(1)的值是()A0 B1 C1 D2答案D解析由题意知函数f(x)ax3bx1，可得f(1)ab1，f(1)ab1，所以f(1)f(1)2.12下列四组函数中表示同一个函数的是()Af(x)，g(x)xBf(x)x2，g(x)(x1)2Cf(x)，g(x)|
11、x|Df(x)0，g(x)答案C解析f(x)x，g(x)x，对应关系不同，A选项中两个函数不表示同一个函数；f(x)x2，g(x)(x1)2，两个函数的对应关系不一致，B选项中两个函数不表示同一个函数；f(x)|x|与g(x)|x|，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，C选项中两个函数表示同一个函数；f(x)0，g(x)0(x1)，两个函数的定义域不一致，D选项中两个函数不表示同一个函数13已知函数yf(2x1)的定义域是1,2，则yf(x)的定义域是()A. B3,3C1,5 D以上都不对答案B解析由题意知1x2，所以32x13，所以yf(x)的定义域为3,314函数y的定义域为R，则a
12、的取值范围为_答案0,4解析当a0时，10恒成立，所以a0，符合题意；当a0时，由题意知0a4.所以a的取值范围为0,415已知g(x)12x，f(g(x)(x0)，则f_.答案15解析g(x)，即12x，则x，代入f(g(x)(x0)，可得f15.16已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)成立(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)a，f(3)b(a，b均为常数)，求f(36)的值解(1)令xy0，则f(0)2f(0)，f(0)0，令xy1则f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令x2，y3，则f(6)f(2)f(3)ab，令xy6，则f(36)2f(6)2(
13、ab)，f(36)2(ab)3.1.1函数的概念(一)学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域导语请同学们阅读课本75页阅读与思考(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一
14、天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美一、函数的概念问题1阅读课本60页的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？提示它们有相同的解析式，也就是对应关系但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同问题2请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别提示是函数由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象问题3通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？提示不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻
15、画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系共同点：都包含两个非空的实数集，分别用A，B来表示；两个实数集之间都有一种确定的对应关系；对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应知识梳理函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系yf(x)，xA定义域x的取值范围A值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)|xA注意点：(1)A，B是非空的实数集
16、(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应(4)函数符号“yf(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数例1(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是()AA1,0,1，B0,1，f：A中的数平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数开方
17、CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DAR，Bx|x0，f：A中的数取绝对值答案AD解析按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义(2)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列五个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析中，因为在集合M中当10时，它的值域是；当a0，f(x)的取值范围Bf(x)|f(x)0，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的
18、宽.(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)2x.其中x的取值范围Ax|x0，f(x)的取值范围Bf(x)|f(x)0，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x.(3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x).其中x的取值范围Ax|x0，f(x)的取值范围Bf(x)|f(x)2，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长.反思感悟构建问题情境的步骤(1)综合考虑构建具体的实际问题；(2)赋予每个变量具体的实际意义；(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题跟踪训练3构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y2来描述解某企业生产一种产品的利润是投资额
19、的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y2.其中x的取值范围Ax|x0，y的取值范围By|y0，对应关系f把每一笔投资对应到唯一确定的利润2.1知识清单：(1)函数的概念(2)函数的三要素(3)构建问题情境2方法归纳：定义法、图象法3常见误区：函数概念的理解1已知f(x)|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B2，那么集合A不可能是()A2,2 B2C1,2 D2答案C解析若集合A1,2，则1A，但|1|1B，故选C.2下列对应或关系式中是A到B的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy答案B解析A错
20、误，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，1A，在B中找不到与之相对应的数3函数yf(x)的图象与直线x2 022的公共点有()A0个 B1个C0个或1个 D以上答案都不对答案C4若函数yx23x的定义域为1,0,2,3，则其值域为_答案2,0,41(多选)对于函数yf(x)，以下说法正确的有()Ay是x的函数B对于不同的x值，y值也不同C函数是一种对应，是多对一或一对一D函数可以是一对多答案AC解析由函数的定义知，y是x的函数，故A正确；对于不同的x值，y值可以相同，例如y|x|，当x1，1时，y值均是1，故
21、B错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多，故C正确，D错误2下列图形中不是函数图象的是()答案A解析A中至少存在一处如x0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义3(多选)已知集合Ax|0x8，集合By|0y4，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xyx答案ABC解析根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确4托马斯说：“函数是近代数学的思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系
22、是集合M1,1,2到集合N1,2,4的函数的是()Ay2x Byx1Cy|x| Dyx21答案C解析根据题意，可知函数的定义域为M1,1,2，对于A选项，按照对应的x2x，函数的值域为E2,2,4N，A选项错误；对于B选项，按照对应的xx1，函数的值域为E0,2,3N，B选项错误；对于C选项，按照对应的x|x|，函数的值域为E1,2N，C选项正确；对于D选项，按照对应的xx21，函数的值域为E2,5N，D选项错误5设f：xx2是集合A到集合B的函数，如果集合B1，那么集合A不可能是()A1 B1C1,1 D1,0答案D解析若集合A1,0，则0A，但02B.6(多选)下列四种说法中，正确的有()
23、A函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素答案ACD解析由函数定义知，A，C，D正确，B不正确7在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为：y_(填“是”或“不是”)n的函数，理由是_答案是每一个圆周率上的数字n都对应唯一的y解析根据函数的定义可知，每一个圆周率上的数
24、字n都对应唯一的y，所以y是n的函数8如图，表示函数关系的是_(填序号)答案解析由于中的2与1和3同时对应，故不是函数关系9根据图中的函数图象，求出函数的定义域和值域解图(1)，定义域为x|0x3，值域为y|0y1或y2；图(2)，定义域为x|x2，值域为y|y0；图(3)，定义域为R，值域为y|1y110判断下列对应关系是否为从A到B的函数：ABN*，对任意的xA，x|x3|.解考虑输入值为3时，即当x3时输出值y由y|x3|给出，得y0.这个输入值没有输出值与之对应，所以x|x3|(y|x3|)不是从A到B的函数11已知集合A1,2，k，B4,7,10，xA，yB，使B中元素y和A中元素x
25、一一对应，对应关系为y3x1，则k的值为()A5 B4 C3 D2答案C解析根据对应关系为y3x1,3114,3217，由题意可得3k13k110，所以k3.12若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数yx2，x1,0,1,2为同族函数的有()A5个 B6个 C7个 D8个答案D解析由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为yx2，值域为0,1,4，定义域中0是肯定有的，正、负1至少含有一个，正、负2至少含有一个，它的定义域可以是0,1,2，0,1，2，0，1,2，0，1，2，0,1，2,2，0，1，2,2，0,1，1，2，0,1，1,
26、2，2，共有8种不同的情况13下列构建的问题情境中的变量关系不可以用同一个解析式来描述的是()A某商品的售价为2(单位：元/件)，销量为x(单位：件)，销售额为y(单位：元)，那么y2x.其中，x的取值范围是AN，y的取值范围是B.对应关系f把商品的每一个销量x，对应到唯一确定的销售额2xB把y2x(xN)看成是一次函数，那么它的定义域是N，值域是B.对应关系f把定义域中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数2xC某物体做匀速运动，速度为2(单位：米/秒)，运动时间为x(单位：秒)，路程为y(单位：米)，那么y2x.其中，x的取值范围是Ax|x0，y的取值范围是By|y0对应关系f把物体的每个
27、运动时间x，对应到唯一确定的路程2xD某品牌汽车的装货量为2(单位：吨/台)，汽车数量为t(单位：台)，运载量为z(单位：吨)，那么z2t，其中，t的取值范围是AN，z的取值范围是B.对应关系f把每一个汽车数量t，对应到唯一确定的运载量2t答案C14已知集合AB0,1,2,3，f：AB为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有_种答案15解析由函数的定义知，此函数可分为四类：若函数是四对一对应，则值域有0，1，2，3，共4种情况；若函数是三对一对应，则值域有0,1，0,2，0,3，1,2，1,3，2,3，共6种情况；若函数是二对一对应，则值域有0,1,2，0,1,3，0,2,3
28、，1,2,3，共4种情况；若函数是一对一对应，则值域为0,1,2,3，共1种情况综上，该函数的值域的不同情况有464115(种)15已知函数f(x)的定义域为A1,2,3,4，值域为B7,8,9，且对任意的x0)来描述解直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y.其中，x的取值范围是Ax|x0，y的取值范围是By|y0对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长.3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法(1)学习目标1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域导语如果一个人极有才华，我
29、们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧一、函数的表示法问题结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出几种函数的表示方法？提示解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系例1中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x1,2,3,4,5,6)块
30、月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数yf(x)吗？解函数的定义域是数集1,2,3,4,5,6，用解析法可将函数表示为f(x)6x，x1,2,3,4,5,6列表法可将函数表示为月饼数x123456钱数y61218243036图象法可将函数表示为反思感悟理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主跟踪训练1已知函数f(x)x1，x1,2,3,4，
31、试分别用图象法和列表法表示函数yf(x)解用图象法表示函数yf(x)，如图所示用列表法表示函数yf(x)，如表所示x1234y2345二、函数的图象例2作出下列函数的图象：(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)当x0,2时，图象是一次函数y2x1的一部分，如图所示(2)当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，如图所示(3)当2x2时，图象是抛物线yx22x的一部分，如图所示反思感悟作函数yf(x)图象的方法(1)若yf(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍(2)若yf(x)不是所学过的函数之一
32、，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出yf(x)的图象跟踪训练2作出下列函数的图象：(1)y1x(xZ)；(2)yx24x3，x1,3解(1)因为xZ，所以图象为直线y1x上的孤立点，其图象如图所示(2)yx24x3(x2)21，当x1,3时，y0；当x2时，y1，其图象如图所示三、求简单函数的值域例3求下列函数的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)yx24x6，x1,5；(3)y；(4)y.解(1)y2x1，且x1,2,3,4,5，y3,5,7,9,11函数的值域为3,5,7,9,11(2)配方得y(x2)22.x1,5，画函数图象如图所示，由图知，2y11，即函数的值域为
33、2,11(3)y2，故该函数是由反比例函数向上平移了2个单位长度得到的，故值域为.(4)y33，函数的值域为(，3)(3，)反思感悟求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域(5)换元法：对于一些无理函数(如yaxb)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域跟踪训练3求下列函数的值域：(1)yx22x3(5x2)；(2)y1.解(1)x5，2在对称轴x1的左侧，x5，2时，抛物线上升当x
