1、函数的实际应用题函数的实际应用题 类型一 最大利润问题类型一 最大利润问题 1. 新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏某商店经销一种电子鞭炮，已知 这种电子鞭炮的成本价为每盒 80 元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量 y(盒)与 销售单价 x(元)有如下关系：y2x320(80x160)设这种电子鞭炮每天的销售利润 为 w 元 (1)求 w 与 x 之间的函数关系式； (2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 2. 某旅行社推出一条成本价为 500 元/人的省内旅游线路，游客人数 y(人/月)与旅游报 价 x(元/人)之间的关系为 yx130
2、0，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在 800 元/人1200 元/人之间 (1)要将该旅游线路每月游客人数控制在 200 人以内，求该旅游线路报价的取值范围； (2)求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本； (3)当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 3. 某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件 (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元 若商场经营该商品一天要获利润 21
3、60 元，则每件商品应降价多少元？ 求出 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出当 x 取何值时，商场可获得最大利润， 最大利润为多少元？ 4. (2018 合肥庐阳区一模)某公司 2017 年初刚成立时投资 1000 万元购买新生产线生产 新产品，此外，生产每件该产品还需要成本 40 元按规定，该产品售价不得低于 60 元/件 且不得超过 160 元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品销售量 y(万件)与产品售价 x(元)之间的函数关系如图所示 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (2)求 2017 年该公司的最大利润？ (3)在 2017 年取得最大利润
4、的前提下，2018 年公司将重新确定产品售价，能否使两年 共盈利达 980 万元，若能，求出 2018 年产品的售价；若不能，请说明理由 第 4 题图 5. 某公司生产一种产品，每件成本为 2 元，售价为 3 元，年销售量为 100 万件为获 取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告，通过市场调查发现：每年投入的广告费用 为 x(单位：十万元) 时，产品的年销售量将是原来的 y 倍，同时 y 又是 x 的二次函数，且 满足的相互关系如下表： x012 y11.51.8 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 s(单位：十万元)与
5、 广告费 x(单位：十万元)的函数关系； (3)如果公司一年投入的年广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得 的年利润随广告费的增大而增加？公司可获得的最大年利润是多少？ 6. 每年 5 月的第二个星期日即为母亲节， “父母恩深重，恩怜无歇时” ，许多市民喜欢 在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒， 成本价为每件 30 元，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现 每天的销售量 y(件)是销售单价 x(元/件)的一次函数 销售单价 x (元/件) 30405060 每天销售 量 y (件) 350300250200 (1
6、)求出 y 与 x 的函数关系； (2)物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于 100%. 当销售单价 x 取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为 5000 元？(利润 销售总价成本总价)； 试确定销售单价 x 取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润 W(元)最大？并 求出花店销售该鲜花礼盒每天获得的最大利润 7. 某种商品的成本为每件 20 元，经市场调查发现，这种商品在未来 40 天内的日销售 量 m(件)与 x(天)的关系如表 时间 x(天) 1361036 日销售量 m(件) 9490847624 未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y1(元/件)与时间 x(天)
7、的函数关系式为 y1 x25(1x20 且 x 为整数)，后 20 天每天的价格 y2(元/件)与时间 x(天)的函数关系式 1 4 为 y2 x40(21x40 且 x 为整数) 1 2 (1)求日销售量 m(件)与时间 x(天)之间的关系式； (2)请预测本地市场在未来 40 天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 类型二 最优方案问题类型二 最优方案问题 1. 某商店分两次购进 A、B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具 体情况如下表所示： 购进数量 (件) AB 购进所需 费用(元) 第一次30403800 第二次40303200 (1)求 A
8、、B 两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定 A 种商品以每件 30 元出售，B 种商品以每件 100 元出售为满足市场需 求，需购进 A、B 两种商品共 1000 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍，请 你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润 2. 某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销量为 x(件)，其 中 x0.若在甲地销售，每件售价 y(元)与 x 之间的函数关系式为 yx100，每件成本 1 10 为 20 元，设此时的年销售利润为 w甲(元)(利润销售额成本)；若在乙地销售，受各种 不确定因素的影响，每件成本为 a 元(a 为常
9、数，15a25)，每件售价为 106 元，销售 x(件)每年还需缴纳x2元的附加费，设此时的年销售利润为 w乙(元)(利润销售额成本 1 10 附加费)； (1)当 a16，且 x100 时，w乙_元； (2)求 w甲与 x 之间的函数关系式(不必写出 x 的取值范围)，并求 x 为何值时，w甲最大 以及最大值是多少？ 3. 近年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定 从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为 a 元(a 为常数，且 40a100)，每件产品销售价为 120 元，每年最多可生产 125 万件；方 案二：生产乙产品
10、，每件产品成本价为 80 元，每件产品销售价为 180 元，每年可生产 120 万件，另外，年销售 x 万件乙产品时需上交 0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情 况下： (1)分别写出该企业两个投资方案的年利润 y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数 x(万件) (x 为正整数)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)分别求出这两个投资方案的最大年利润； (3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？ 4. 都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人 员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打 7.5
11、折，已知所有 人员都买一等座单程火车票需 6175 元，都买二等座单程火车票需 3150 元；如果家长代表 与教师的人数之比为 21. 运行区间票价 起点站终点站一等座二等座 都匀桂林 95(元) 60(元) (1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买 x 张(x参加社会实践的总人数)，其余的 须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案， 并写出购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式； (3)在(2)的方案下，请求出当 x30 时，购买单程火车票的总费用 类型三 抛物线型问题类型三 抛物
12、线型问题 1. (2018 滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条 抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 x(单位：s)之间具 有函数关系 y5x220x，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 第 1 题图 2. 有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面 BC 的宽为 8 米，拱桥的最高点 D 到水 面 BC 的距离 DO 为 4 米，点 O 是 BC 的中点，如
13、图，以点 O 为原点，直线 BC 为 x 轴， 建立直角坐标系 xOy. (1)求该抛物线的表达式； (2)如果水面 BC 上升 3 米(即 OA3)至水面 EF，点 E 在点 F 的左侧，求水面宽度 EF 的长 第 2 题图 3. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用 函数 yax2bx 来表示已知大棚在地面上的宽度 OA 为 10 米，距离 O 点 2 米处的棚高 BC 为 3 米 (1)求该抛物线的函数关系式； (2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？ (3)若借助横梁 DE 建一个门，要求门的高度不低于 1.5 米，则横梁 DE 的宽度最多是多少米
14、？ 第 3 题图 4. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面 20 9 m，与篮圈中心的水平距离为 7 m，当球出手后水平距离为 4 m 时到达最大高度 4 m，篮圈 距地面 3 m，设篮球运行的轨迹为抛物线 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)此球能否准确投中？ (3)此时，若对方队员乙在甲前面 1 m 处跳起拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，那么 他能否拦截成功？ 第 4
15、题图 5. 如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置 OA，O 恰好在 水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线 路径落下，且在过 OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度 y(m) 与水平距离 x(m)之间的关系式可以用 yx2bxc 表示，且抛物线经过点 B( ， )， 1 2 5 2 C(2， )， 7 4 请根据以上信息，解答下列问题 (1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置 OA 的高度； (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落
16、在池外？ 第 5 题图 类型四 几何面积最大值问题类型四 几何面积最大值问题 1. 投资 1 万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建 造墙长 24 m，平行于墙的边的费用为 200 元/m，垂直于墙的边的费用为 150 元/m，设平 行于墙的边长为 x m. (1)设垂直于墙的一边长为 y m，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)若菜园面积为 384 m2，求 x 的值； (3)当 x 为何值时，菜园的面积最大，最大值为多少？ 第 1 题图 2. 为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁的一块地上进行绿化改造， 他们依据地势整理出了一块矩形区域 A
17、BCD，铺成人们可以活动的砖石地面，又分别以 AB、BC、CD、DA 为斜边向外作等腰直角三角形(如图所示)，通过测量，发现四边形 MNGH 的周长正好为 200 米，设 ABx 米，BCy 米 . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)如果矩形区域 ABCD 铺设砖石地面，建设费用为每平方米 50 元，其他区域种花草， 建设费用为每平方米 100 元，设总建设费用为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式；当 x 取 何值时，w 有最小值，最小值为多少？ 第 2 题图 3. (2018 合肥瑶海区三模)国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如 图所示，单位：m)，现
18、在其中修建一条观花道(如图阴影所示)，供游人赏花设改造后剩 余油菜花地所占面积为 y m2. (1)求 y 与 x 的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为 13 m2，求 x 的值； (3)若要求 0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值 第 3 题图 4. (2017 潍坊)如图，工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖 的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计) (1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积 为 12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？ (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，
19、并将容器进行防锈处理，侧面 每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元裁掉的正方形边长多大时， 总费用最低，最低为多少？ 第 4 题图 5. 如图，为美化社区环境，满足市民休闲娱乐需要，某社区计划在一块长为 60 m， 宽为 40 m 的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽 x m， 纵向宽为 2x m 的鹅卵石健身道 第 5 题图 (1)用含 x(m)的代数式表示休闲区的面积 S(m2)，并注明 x 的取值范围； (2)若休闲区的面积与鹅卵石健身道的面积相等，求此时 x 的值； (3)已知承建公司修建休闲区、鹅卵石健身道的前期投入及造价 w1(万
20、元)、w2(万元)与 修建面积 a(m2)之间的关系如下表所示，并要求满足 1x3，要使修建休闲区和鹅卵石健 身道的总价 w 最低，x 应取多少米，最低造价多少万元？ a(m2)010100 w1(万元)0.50.61.5 w2(万元)0.50.581.3 类型一 最大利润问题 1. 解：(1)w(x80)y (x80)(2x320) 2x2480x25600， w 与 x 的函数关系式为：w2x2480x25600； (2)w2x2480x256002(x120)23200， 20，80x160， 当 x120 时，w 有最大值，w 最大值为 3200. 答：销售单价定为 120 元时，每天
21、销售利润最大，最大销售利润 3200 元 2. 解：(1)由题意得 y200 时，即x1300200， 解得：x1100， 即该旅游线路报价的取值范围为 1100 元/人1200 元/人之间； (2)设经营这条旅游线路每月所需要的成本为 z 元， z500(x1300)500x650000， 5000， 当 x1200 时，z最低500120065000050000； 答：经营这条旅游线路每月所需的最低成本为 50000 元 (3)设经营这条旅游线路的总利润为 w， 则 w(x500)(x1300)x21800x650000(x900)2160000， 10，800x1200， 当 x900
22、时，w最大160000. 答：当这条旅游线路的旅游报价为 900 元时，可获得最大利润，最大利润为 160000 元 3. 解：(1)若商场经营该商品不降价，则一天可获利润 100(10080)2000(元)； (2)依题意得： (10080x)(10010x)2160， 即 x210x160， 解得：x12，x28， 经检验：x12，x28 均符合题意， 答：商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元； 依题意得： y(10080x)(10010x)10x2100x200010(x5)22250， 100， 当 x5 时，商场所获利润最大，最大利润为 225
23、0 元 参考答案参考答案 4. 解：(1)设 ykxb，则根据题图可知，解得， 60kb15 160kb10) k 1 20 b18 ) y 与 x 的函数关系为 yx18(60x160)； 1 20 (2)设公司的利润为 w 万元，则 w(x40)(x18)1000(x200)2280， 1 20 1 20 又0， 1 20 当 x200 时，w 随 x 增大而增大，则 60x160， 当 x160 时，w 最大，最大值为 200， 2017 年该公司的最大利润为 200 万元； (3)根据题意可得： (x40)(x18)200980， 1 20 解得 x1100，x2300(舍)， 当 x
24、100 时，能使两年共盈利达 980 万元 5. 解：(1)设二次函数的解析式为 yax2bxc， 根据题意，得 ， c1 abc1.5 4a2bc1.8) 解得： ， a 1 10 b3 5 c1 ) 故所求函数的解析式是：yx2 x1； 1 10 3 5 (2)根据题意，得 s10y(32)xx25x10； (3)sx25x10 (x )2. 5 2 65 4 由于 1x3，所以当 1x2.5 时，s 随 x 的增大而增大 当广告费在 1025 万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大，公司可获 得的最大年利润是万元 65 4 6. 解：(1)设一次函数的解析式为 ykxb，将(30
25、，350)和(40，300) 分别代入 ykxb 得：，解得， 30kb350 40kb300) k5 b500) y 与 x 的函数关系式为 y5x500； (2)据题意得：(x30)(5x500)5000 即 x2130x40000， 解得：x150，x280， 又30(1100%)60，8060 不合题意，舍去， 答：当销售单价 x50 时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为 5000 元 据题意得，W(x30)(5x500)，即 W5(x65)26125 5 0) x 10 x 40 3) 0x10， S18x2420x2400(0x10)； (2)由题意得：18x2420x2400，
26、化简得 3x270x2000， 40 60 2 解得 x1，x220(不合题意，舍去)，此时 x 为 m； 10 3 10 3 (3)由表可知：修建休闲区前期投入 0.5 万元，每平方米造价 0.01 万元；修建鹅卵石健 身道前期投入 0.5 万元，每平方米造价 0.008 万元，由上述信息可得： w0.01(18x2420x2400)0.008(18x2420x)1 ，整理，得 w0.036x20.84x25，配方后，得 w(x)2， 9 250 35 3 201 10 a0，当 x时，w 随 x 的增大而减小， 35 3 1x3，当 x3 时，w最小0.03690.8432522.804(万元)， 答：当 x 的值取 3 米时，最低造价为 22.804 万元
