1、 参考答案及评分标准 （第 1 页 共 5 页） 2019 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题年全国高中数学联赛（四川预赛）试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1、 评阅试卷时， 请依据评分标准.填空题只设、 评阅试卷时， 请依据评分标准.填空题只设 8 分和分和 0 分两档； 第分两档； 第 9 题题 4 分一个档次、 第 分一个档次、 第 10 题和第题和第 11 题均为题均为 5 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增 加其它中间档次. 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增 加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答
2、不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考 本评分标准评分. 、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考 本评分标准评分. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1、3 2、 2 3、8 4、18 13 、12 6、66ln6 7、 1 288 8、1346. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分 16 分）设点A的坐标为(0,3)，点,B C为圆O： 22 25xy上的两动 点，满足90BAC ，求ABC面积的最大值. 解：如图，设 1122 ( ,),(,)B x yC xy，( ,
3、)P x y为线段BC的中点. 则 22 11 25xy 22 22 25xy 1212 (3)(3)0x xyy 1212 2 ,2xxx yyy 由、可知： 22 38xyy，即 222 341 ()() 22 xy. 所以，线段BC的中点P的轨迹是 1 O，其方程为： 222 341 ()() 22 xy. 4 分 于是 11 341 | | 22 APAOO P, 8分 从而ABC面积 1 | | 2 SABAC 22 1 (| ) 4 ABAC 2 1 | 4 BC 2 |AP 2 341253 41 () 222 12 分 y x O1 P C A O B 要进“5000G网课视频
4、共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 参考答案及评分标准 （第 2 页 共 5 页） 当点P的坐标为 341 (0,) 2 时，可取到等号. 所以，ABC面积的最大值是 253 41 2 . 16 分 10.（本题满分 20 分）设, ,(0,1a b c，为实数，使得 3 1(1)(1)(1)abc abc 恒成立，求的最大值. 解：取 1 4 abc时， 64 27 . 5 分 下证： 64 27 满足条件，即证 364 1(1)(1)(1) 27 abc abc 注意到： 3 (1)(1)(1)(1) 3 abc abc 10 分 令 2
5、3abcx，其中0x ，则01x. 只须证 2 3 164 1(1) 27 x x 33 164 (1) (1) 27 x xx x 23 64 1(1) (1) 27 xxx 15 分 由均值不等式知： 23236 1 2(1)3() 127 3 (1) (1)27 (1) ()27() 3664 x xx x xxxxx 于是 23 646427 (1) (1)1 272764 xxx，故（*）成立. 综上可知，的最大值是 64 27 . 20 分 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 参考答案及评分标准 （第 3 页
6、 共 5 页） 11.（本题满分 20 分）已知函数 2 ( )ln,f xx xax aR. （1）证明：当1 3x时， 2 2 ( )21 (3)ee x f xaxx x ； （2）设函数( ) |( )|F xf x（1,ex）有极小值，求a的取值范围. 解： （1）设 2 ( )( )2ln2g xf xaxxxxx， 则( )lng xx， 当1 3x时，( )0g x， 因此, ( )g x在(1,3)单调递增， 所以，( )(1)1g xg； 设( )(3)exh xx，则( )(2)exh xx， 当1 2x时，( )0h x；当2 3x时，( )0h x 因此，( )h x
7、在(1,2)单调递增，在(2,3)单调递减. 所以，( )h x的最大值为 2 (2)eh，即 2 0(3)ee x x， 2 11 0 (3)ee x x . 又因为 2 ( )21f xaxx， 所以 2 2 ( )21 (3)ee x f xaxx x . 5 分 （2）( ) |( )|F xf x 2 lnx xa x ，1,ex 令 ln ( ),1,e, x t xa x x 则 2 1 ln ( ) x t x x ， 当1,ex时，( )0t x， 故( )t x在1,e上单调递增 于是(1)( )(e)tt xt，即 1 ( ) e at xa . 要进“5000G网课视频
8、共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页） （i）当0a ，即0a 时，( )0t x ， 于是 2 ( )ln,1,eF xxxaxx， 则( )ln1 20,F xxax 从而( )F x在1,3上单调递增， 所以，( )F x在1,e上无极值点 （ii）当 1 0 e a，即 1 e a 时，( )0t x ， 于是 2 ( )ln ,1,eF xaxx x x， 则( )2ln1F xaxx, 1 2Fxa x ， 因为 11 ,1 ex ， 当21a ，即 1 2 a 时，( )0Fx， 故(
9、)F x在1,e单调递增， 又因为(1)210Fa ， 故( )F x在1,e上单调递增， 所以，( )F x在1,e上无极值点 当 1 e 1 2 a时，由 1 ( )20Fxa x 得 1 2 ex a ， 于是( )F x在 1 1, 2a 单调递减，在 1 ,e 2a 单调递增 又因为(1)210,(e)220eFaFa , 故 0 1,ex使得 0 ()0F x， 因此，( )F x在 0 (1,)x上单调递减，在 0 (,ex上单调递增， 所以，( )F x在1,e上有一个极小值点 10 分 （iii）当 1 e a 时， e 2 ( )ln1xxxF，由 21 (0 e )Fx
10、x 得 e 2 x ， 于是( )F x在 e 1, 2 上单调递减，在 e ,e 2 上单调递增， 又 2 (1)10, e (e)0FF ，从而 0Fx在1,e上恒成立， 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 参考答案及评分标准 （第 5 页 共 5 页） 所以，( )F x在1,e上无极值点 （iv）当 1 0 e a时，因为( )t x在1,e单调递增， 于是 0 1,ex，使得 0 0 lnx a x ， 因此，当 0 1,xx时，( )0t x ，当 0 ,exx时，( )0t x ， 从而 2 0 2 0 l
11、n 1 ,e ( ) ln axx x,xx F x x xaxxx ， 于是 0 0 21 ln ,1 ln1 2e, axxxx Fx xax xx ， 令 2 ( )ln ,1,ek xaxx x x，则( )2ln1k xaxx 下面证明( )0k x，即证 ln1 2ln1,2 x axxa x ， 又 2 ln1ln ()0 xx xx ，故 min ln12 () e x x 即证 1 e a ，所以结论成立，即( )0k x， 注意到 0 (1,)1,ex，故( )F x在 0 1,)x单调递减，在 0 (,ex单调递增 因此， 0 x为( )F x的极小值点. 15 分 综上所述，当 1 0 e a或 1 e 1 2 a时， ( )F x在1,e上有极小值点 20 分 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）
