1、 第第 1 节节 不等式的性质与一元二次不等式不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系， 了解不等式(组) 的实际背景； 2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型； 3.通过函数图 像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二 次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图. 知 识 梳 理 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)abab0； (2)abab0； (3)a0，m0，则b a bm am(bm0). (2)若 ab0，且 ab1 a0，求解时不要忘记 a0 时的情形. 3.当 0(a0
2、)的解集为 R 还是，要注意区别. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)abac2bc2.( ) (2)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0.( ) (3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0(aabb2 解析 c0 时，A 项不成立； 1 a 1 b ba ab 0，选项 B 错； b a a b b2a2 ab （ba）（ba） ab b2.D 正确. 答案 D 5.(2019 河北重点八所中学模拟)不等式 2x2x30 的解集为_. 解析 由 2x2x30，得(x1)(2x3)0， 解得 x3 2或
3、x0 的解集为 x|x3 2或x3 2或xcb C.cba D.acb (2)(一题多解)若1 a 1 b0，给出下列不等式： 1 ab 1 ab；|a|b0；a 1 a b1 b；ln a 2ln b2.其中正确的不等式是( ) A. B. C. D. 解析 (1)cb44aa2(a2)20，cb. 又 bc64a3a2，2b22a2，ba21， baa2a1 a1 2 2 3 40， ba，cba. (2)法一 因为1 a 1 b0，故可取 a1，b2. 显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2 ln 40，所以错误.综上所述，可排除 A，B，
4、D. 法二 由1 a 1 b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以 1 ab0， 1 ab 0.故有 1 ab 1 ab，即正确； 中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误； 中，因为 ba0，又1 a 1 b0，则 1 a 1 b0， 所以 a1 ab 1 b，故正确； 中，因为 ba0，根据 yx2在(，0)上为减函数，可得 b2a20，而 y ln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误.由以上分析， 知正确. 答案 (1)A (2)C 角度 2 利用不等式变形求范围 【例 12】 (一题多解)设 f(x)ax2bx，若 1f(
5、1)2，2f(1)4，则 f(2) 的取值范围是_. 解析 法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab) n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b. 于是得 mn4， nm2，解得 m3， n1. f(2)3f(1)f(1). 又1f(1)2，2f(1)4. 53f(1)f(1)10， 故 5f(2)10. 法二 由 f（1）ab， f（1）ab， 得 a1 2f（1）f（1）， b1 2f（1）f（1）， f(2)4a2b3f(1)f(1). 又1f(1)2，2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10. 法三 由 1ab2， 2
6、ab4 确定的平面区域如图阴影部分所示， 当 f(2)4a2b 过点 A 3 2， 1 2 时， 取得最小值 43 22 1 25， 当 f(2)4a2b 过点 B(3，1)时， 取得最大值 432110， 5f(2)10. 答案 5，10 规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法 2.与充要条件相结合问题， 用不等式的性质分别判断 pq 和 qp 是否正确， 要注 意特殊值法的应用. 3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常 采用特殊值验证的方法. 4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取 到，会导致范围扩大. 【训练 1
7、】 (1)(2019 东北三省四市模拟)设 a，b 均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2018 天一测试)已知实数 a(1，3)，b 1 8， 1 4 ，则a b的取值范围是_. 解析 (1)a|b|能推出 ab，进而得 a3b3；当 a3b3时，有 ab，但若 b|b|”是“a3b3”的充分不必要条件. (2)依题意可得 4x 的解集用区间表示为_. (2)已知不等式 ax2bx10 的解集是x|1 2x 等价于 x0， x22xx或 xx， 解得 x3 或32y B.lg xlg y C
8、.1 x 1 y D.x2y2 解析 因为 2x2yxy，所以“2x2y”是“xy”的充要条件，A 正确； lg xlg yxy0，则“lg xlg y”是“xy”的充分不必要条件，B 错误； “1 x 1 y”和“x 2y2”都是“xy”的既不充分也不必要条件. 答案 A 3.不等式|x|(12x)0 的解集为( ) A.(，0) 0，1 2 B. ，1 2 C. 1 2， D. 0，1 2 解析 当 x0 时，原不等式即为 x(12x)0，所以 00，则( ) A. 1 mf(x)，则实数 x 的取值范围是 ( ) A.(，1)(2，) B.(，2)(1，) C.(1，2) D.(2，1)
9、 解析 易知 f(x)在 R 上是增函数，f(2x2)f(x)， 2x2x，解得22 24，D 错误；由 ab12 ab，得 ab2mmt2对任意实数 t 恒成立mt24t2m0 对任意实 数 t 恒成立 m0， 168m20m(， 2). 答案 A 13.已知1xy4，2xy3，则 3x2y 的取值范围是_. 解析 设 3x2ym(xy)n(xy)， 则 mn3， mn2， m5 2， n1 2. 即 3x2y5 2(xy) 1 2(xy)， 又1xy4，2xy3， 5 2 5 2(xy)10，1 1 2(xy) 3 2， 3 2 5 2(xy) 1 2(xy) 23 2 ， 即3 23x2
10、y 23 2 ， 3x2y 的取值范围为 3 2， 23 2 . 答案 3 2， 23 2 14.(2019 济南质检)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)ex.若对 任意 xa，a1，恒有 f(xa)f(2x)成立，求实数 a 的取值范围. 解 因为函数 f(x)是偶函数， 故函数图像关于 y 轴对称，且在(，0上单调递减，在0，)上单调递增. 所以由 f(xa)f(2x)可得|xa|2|x|在a，a1上恒成立， 从而(xa)24x2在a，a1上恒成立， 化简得 3x22axa20 在a，a1上恒成立， 设 h(x)3x22axa2， 则有 h（a）00， h（a1）4a30，解得 a 3 4. 故实数 a 的取值范围是 ，3 4 .
