1、第第 3 节节 圆与圆与圆的方程圆的方程 最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 知 识 梳 理 1.圆的定义和圆的方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方 程 标准 (xa)2(yb)2 r2(r0) 圆心 C(a，b) 半径为 r 一般 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 充要条件：D2E24F0 圆心坐标： D 2， E 2 半径 r1 2 D2E24F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外； (2)
2、|MC|rM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上； (3)|MC|rM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内. 微点提醒 1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2y2r2. 2.以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1) (xx2)(yy1)(yy2) 0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆.( ) (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆.( ) (4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是
3、AC0，B0， D2E24AF0.( ) 解析 (2)当 a0 时，x2y2a2表示点(0，0)；当 a0 时，表示半径为|a|的圆. (3)当(4m)2(2)245m0，即 m1 4或 m1 时表示圆. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P82 练习 1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3 B.(2，3)， 3 C.(2，3)，13 D.(2，3)， 13 解析 圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13. 答案 D 3.(必修 2P82 练习 2 改编)过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆
4、心在直线 xy20 上的圆的方程是( ) A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24 解析 设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 C 在直线 xy20 上，所 以 b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24. 答案 C 4.(2018 汉中调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范 围是( ) A.(1，1) B.(0，1) C.(，1)(1，) D.a 1 解析 因为点(1，
5、1)在圆的内部， 所以(1a)2(1a)20)，则圆心(a，b)到直线 xy3 0 的距离 d|ab3| 2 ， r2（ab3） 2 2 6 2 2 ，即 2r2(ab3)23. 由于所求圆与直线 xy0 相切，(ab)22r2. 又圆心在直线 xy0 上，ab0. 联立，解得 a1， b1， r 2， 故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心为 D 2， E 2 ，半径 r 1 2 D2E24F， 圆心在直线 xy0 上，D 2 E 20，即 DE0， 又圆 C 与直线 xy0 相切， D 2 E 2 2 1 2 D2E24F， 即(D
6、E)22(D2E24F)， D2E22DE8F0. 又知圆心 D 2， E 2 到直线 xy30 的距离 d D 2 E 23 2 ， 由已知得 d2 6 2 2 r2， (DE6)2122(D2E24F)， 联立，解得 D2， E2， F0， 故所求圆的方程为 x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22. 答案 (1)x2y22x0 (2)(x1)2(y1)22 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法， 通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时， 常用到的圆 的三个性质： 圆心在过切点且垂直切线的直线上； 圆心在任
7、一弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 【训练 1】 (1)(2019 新乡模拟)若圆 C：x2 y 1 2m 2 n 的圆心为椭圆 M：x2 my21 的一个焦点， 且圆 C 经过 M 的另一个焦点， 则圆 C 的标准方程为_. (2)(2018 九江模拟)已知圆 M 与直线 xy0 及 xy40 都相切，且圆心在直 线 yx2 上，则圆 M 的标准方程为_. 解析 (1)圆 C 的圆心为 0， 1 2m ， 1 m1 1 2m，m 1 2.又圆 C 经过 M 的 另一个焦点，则圆 C 经过点(0，1)，从而 n4.故圆
8、 C 的标准方程为 x2(y1)2 4. (2)圆 M 的圆心在 yx2 上， 设圆心为(a，2a)， 圆 M 与直线 xy0 及 xy40 都相切， 圆心到直线 xy0 的距离等于圆心到直线 xy40 的距离， 即|2a2| 2 |2a2| 2 ，解得 a0， 圆心坐标为(0，2)，圆 M 的半径为|2a2| 2 2， 圆 M 的标准方程为 x2(y2)22. 答案 (1)x2(y1)24 (2)x2(y2)22 考点二 与圆有关的最值问题 多维探究 角度 1 斜率型、截距型、距离型最值问题 【例 21】 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10. (1)求y x的最大值和最小值； (2
9、)求 yx 的最大值和最小值； (3)求 x2y2的最大值和最小值. 解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆. (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y xk，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2k0| k21 3，解得 k 3(如图 1). 所以y x的最大值为 3，最小值为 3. (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵 截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b| 2 3，解得 b2 6(如图 2). 所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.
10、 (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3). 又圆心到原点的距离为 （20）2（00）22， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3. 规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数 形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如 myb xa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如 maxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题， 可转化为两点间距离的
11、平方的最值问题. 角度 2 利用对称性求最值 【例 22】 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M， N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( ) A.5 24 B. 171 C.62 2 D. 17 解析 P 是 x 轴上任意一点， 则|PM|的最小值为|PC1|1， 同理|PN|的最小值为|PC2| 3， 则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点 C1(2， 3). 所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|52，即|PM|PN|PC1|PC2| 45 24. 答案
12、A 规律方法 求解形如|PM|PN|(其中 M， N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的最 值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对 称性解决. 【训练 2】 (1)设点 P 是函数 y 4（x1）2图像上的任意一点，点 Q 坐标 为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_. (2)已知 A(0，2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆 C：x2y24x2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_. 解析 (1)函数 y4（x1）2的图像表示圆(x1)2y24 在 x 轴
13、及下方的 部分，令点 Q 的坐标为(x，y)，则 x2a， ya3，得 y x 23，即 x2y60，作出 图像如图所示， 由于圆心(1，0)到直线 x2y60 的距离 d |1206| 12（2）2 52，所以直线 x2y60 与圆(x1)2y24 相离，因此|PQ|的最小值是 52. (2)因为圆 C：x2y24x2y0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r 5的圆. 设点 A(0， 2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m， n)， 故 m0 2 n2 2 20， n2 m01， 解得 m4， n2， 故 A(4，2). 连接 AC 交圆 C 于 Q，由对称性可知 |PA|PQ
14、|AP|PQ|AQ|AC|r2 5. 答案 (1) 52 (2)2 5 考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 已知圆 x2y24 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上 的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2，2y). 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2). (2)设 PQ 的中点为 N(x，y). 在 RtPBQ 中，|PN|BN|.
15、设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 【训练 3】 已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求
16、线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. 解 (1)由 x2y26x50 得(x3)2y24， 所以圆 C1的圆心坐标为(3，0). (2)设 M(x，y)， 因为点 M 为线段 AB 的中点， 所以 C1MAB， 所以 kC1M kAB1，当 x3 时可得 y x3 y x1，整理得 x3 2 2 y29 4， 又当直线 l 与 x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线 l 的方程为 ykx，与 x2y26x50 联立， 消去 y 得：(1k2)x26x50. 令其判别式 (6)24(1k2)50，得 k24 5，此时方程为 9 5x 26x50， 解上式得 x5 3
17、，因此 5 30)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3， 2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y 0x05， （x01）2（y 0x01）2 2 16. 解得 x 03， y02 或 x 011， y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.
