1、第第 2 课时课时 定点、定值、探索性问题定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例 1】 (2019 咸阳二模)已知 A(2，0)，B(2，0)，点 C 是动点，且直线 AC 和 直线 BC 的斜率之积为3 4. (1)求动点 C 的轨迹方程； (2)(一题多解)设直线 l 与(1)中轨迹相切于点 P，与直线 x4 相交于点 Q，判断以 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上一定点. 解 (1)设 C(x，y).由题意得 kAC kBC y x2 y x2 3 4(y0). 整理，得x 2 4 y2 31(y0). 故动点 C 的轨迹方程为x 2 4 y2 31(y0). (2)法一 易知直线
2、 l 的斜率存在，设直线 l：ykxm. 联立得方程组 ykxm， x2 4 y2 31. 消去 y 并整理，得 (34k2)x28kmx4m2120. 依题意得 (8km)24(34k2)(4m212)0， 即 34k2m2. 设 x1，x2为方程(34k2)x28kmx4m2120 的两个根，则 x1x28km 34k2， x1x24km 34k2. P 4km 34k2， 3m 34k2 ，即 P 4k m ， 3 m . 又 Q(4，4km)， 设 R(t，0)为以 PQ 为直径的圆上一点，则由RP RQ 0， 得 4k mt， 3 m (4t，4km)0. 整理，得4k m(t1)t
3、 24t30. 由 k m的任意性，得 t10 且 t 24t30，解得 t1. 综上可知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点(1，0). 法二 设 P(x0，y0)，则曲线 C 在点 P 处的切线 PQ：x0x 4 y0y 3 1. 令 x4，得 Q 4，33x 0 y0 . 设 R(t，0)为以 PQ 为直径的圆上一点，则由RP RQ 0，得(x0t) (4t)33x0 0， 即 x0(1t)t24t30. 由 x0的任意性，得 1t0 且 t24t30，解得 t1. 综上可知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点(1，0). 规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法
4、：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的 量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量 无关. 【训练 1】 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点 A(1，2)为抛物线 C 上一点. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若点 B(1， 2)在抛物线 C 上， 过点 B 作抛物线 C 的两条弦 BP 与 BQ， 如 kBP kBQ 2，求证：直线 PQ 过定点. (1)解 若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2ax，代入点 A(1，2)，可 得 a4，所以抛物线方程为 y24x. 若抛物线的焦
5、点在 y 轴上，设抛物线方程为 x2my，代入点 A(1，2)，可得 m1 2， 所以抛物线方程为 x21 2y. 综上所述，抛物线 C 的方程是 y24x 或 x21 2y. (2)证明 因为点 B(1，2)在抛物线 C 上，所以由(1)可得抛物线 C 的方程是 y2 4x. 易知直线 BP，BQ 的斜率均存在，设直线 BP 的方程为 y2k(x1)， 将直线 BP 的方程代入 y24x，消去 y，得 k2x2(2k24k4)x(k2)20. 设 P(x1，y1)，则 x1（k2） 2 k2 ，所以 P （k2）2 k2 ，2k4 k . 用2 k替换点 P 坐标中的 k，可得 Q(k1)
6、2，22k)，从而直线 PQ 的斜率为 2k4 k 22k （k2）2 k2 （k1）2 2k34k k42k34k4 2k k22k2， 故直线 PQ 的方程是 y22k 2k k22k2 x(k1) 2. 在上述方程中，令 x3，解得 y2， 所以直线 PQ 恒过定点(3，2). 考点二 定值问题 【例 2】 (2019 河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 4y 21，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆 C 上两个动点，直线 OP，OQ 的斜 率分别为 k1，k2，若 m x1 2，y1 ，n x2 2，y2 ，m n0. (1)求证：k
7、1 k21 4； (2)试探求OPQ 的面积 S 是否为定值，并说明理由. (1)证明 k1，k2均存在，x1x20. 又 m n0，x1x2 4 y1y20，即x1x2 4 y1y2， k1 k2y1y2 x1x2 1 4. (2)解 当直线 PQ 的斜率不存在，即 x1x2，y1y2时， 由y1y2 x1x2 1 4，得 x21 4y 2 10. 又点 P(x1，y1)在椭圆上，x 2 1 4y 2 11， |x1| 2，|y1| 2 2 .SPOQ1 2|x1|y1y2|1. 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykxb. 联立得方程组 ykxb， x2 4y 21， 消
8、去 y 并整理得(4k21)x28kbx4b240， 其中 (8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即 b20). SPOQ1 2 |b| 1k2|PQ| 1 2|b| （x1x2） 24x1x22|b| 4k21b2 4k21 1. 综合，POQ 的面积 S 为定值 1. 规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 引起变量法：其解题流程为 变量 选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 函数 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 定值 把得到的函
9、数化简，消去变量得到定值 【训练 2】 (2019 长春质量监测)已知直线 l 过抛物线 C：x22py(p0)的焦点，且 垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为 2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若点 P(2，2)，过点(2，4)的直线 m 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1和 k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值. (1)解 由题意可知，2p2，解得 p1，则抛物线的方程为 x22y. (2)证明 由题易知直线 m 的斜率存在，设直线 m 的方程为 y4k(x2)，A(x1， y1)，B(x2，y2)， 则 k1y 12
10、x12 k（x12）2 x12 ，k2y 22 x22 k（x22）2 x22 ， k1k2k（x 12）2k（x22）2 （x12）（x22） k 2x1x22（x1x2）42k（x1x24）4 x1x22（x1x2）4 ， 联立抛物线 x22y 与直线 y4k(x2)的方程消去 y 得 x22kx4k80，其 中 4(k24k8)0 恒成立， 可得 x1x22k，x1x24k8，则 k1k21. 因此 k1k2为定值，且该定值为1. 考点三 探索性问题 【例 3】 (2019 福州四校联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F1，F2，短轴的一个端点为 P
11、，PF1F2内切圆的半径为b 3，设过点 F2 的直线 l 与 被椭圆 C 截得的线段为 RS，当 lx 轴时，|RS|3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)在 x 轴上是否存在一点 T，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴 对称？若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由内切圆的性质，得1 22cb 1 2(2a2c) b 3，得 c a 1 2. 将 xc 代入x 2 a2 y2 b21，得 y b2 a ，所以2b 2 a 3. 又 a2b2c2，所以 a2，b 3， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)当直线
12、l 垂直于 x 轴时，显然 x 轴上任意一点 T 都满足 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称. 当直线 l 不垂直于 x 轴时，假设存在 T(t，0)满足条件，设 l 的方程为 yk(x1)， R(x1，y1)，S(x2，y2). 联立方程 yk（x1）， x2 4 y2 31， 得 (34k2)x28k2x4k2120， 由根与系数的关系得 x1x2 8k2 34k2， x1x24k 212 34k2 ， 其中 0 恒成立， 由 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，得 kTSkTR0(显然 TS，TR 的斜率存在)， 即 y1 x1t y2 x2t0. 因为 R，S 两点在直线
13、yk(x1)上， 所以 y1k(x11)，y2k(x21)，代入得 k（x11）（x2t）k（x21）（x1t） （x1t）（x2t） k2x1x2（t1）（x1x2）2t （x1t）（x2t） 0， 即 2x1x2(t1)(x1x2)2t0， 将代入得 8k224（t1）8k22t（34k2） 34k2 6t24 34k20， 则 t4， 综上所述，存在 T(4，0)，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称. 规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设 条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应 先求出结论
14、的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 【训练 3】 (2019 上饶检测)已知动点 P 到定点 F(1，0)和到直线 x2 的距离之比 为 2 2 ， 设动点 P 的轨迹为曲线 E， 过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A， B 两点，直线 l：ymxn 与曲线 E 交于 C，D 两点，与 AB 相交于一点(交点位 于线段 AB 上，且与 A，B 不重合). (1)求曲线 E 的方程； (2)当直线 l 与圆 x2y21 相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值？若有， 求出其最大值及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由. 解 (1)设点 P(x，
15、y)，由题意，可得 （x1）2y2 |x2| 2 2 ，得x 2 2y 21. 曲线 E 的方程是x 2 2y 21. (2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由条件可得|AB| 2. 当 m0 时，显然不合题意. 当 m0 时，直线 l 与圆 x2y21 相切， |n| m211，得 n 2m21. 联立 ymxn， x2 2y 21，消去 y 得 m21 2 x22mnxn210， 则 4m2n24 m21 2 (n21)2m20， x1x2 4mn 2m21，x1x2 2（n21） 2m21 ， S四边形ACBD1 2|AB| |x1x2| 2|m| 2m21 2 2|m| 1 |
16、m| 2 2 ， 当且仅当 2|m| 1 |m|，即 m 2 2 时等号成立， 因为直线 l 与线段 AB 有交点，所以当 m 2 2 时，n 6 2 ； 当 m 2 2 时，n 6 2 . 经检验可知，直线 y 2 2 x 6 2 和直线 y 2 2 x 6 2 都符合题意. 思维升华 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ykxb，然后利用条件建立 b，k 等 量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
17、(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域 确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性 质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标 函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 易错防范 1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意 特殊关系、特殊
18、位置的应用. 3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的 特殊情况. 4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2019 石家庄模拟)已知 P 为双曲线 C：x 2 9 y2 161 上的点，点 M 满足|OM |1， 且OM PM 0，则当|PM |取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( ) A.9 5 B.12 5 C.4 D.5 解析 由OM PM 0，得 OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为 求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点 P 的位置为双曲线的顶点( 3
19、，0)，而 双曲线的渐近线为 4x 3y0，所求的距离 d12 5 . 答案 B 2.(2018 陕西重点中学联考)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率 e2，过双 曲线上一点 M 作直线 MA，MB 交双曲线于 A，B 两点，且斜率分别为 k1，k2，若 直线 AB 过原点，则 k1 k2的值为( ) A.2 B.3 C. 3 D. 6 解析 由题意知，ec a 1b 2 a22b 23a2，则双曲线方程可化为 3x2y2 3a2， 设 A(m， n)， M(x0， y0)(x0 m)， 则 B(m， n)， k1 k2 y0n x0m y0n x0m y20n2 x2
20、0m2 3x 2 03a23m23a2 x20m2 3. 答案 B 3.直线 l 与抛物线 C：y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的 斜率分别为 k1，k2，且满足 k1k22 3，则直线 l 过定点( ) A.(3，0) B.(0，3) C.(3，0) D.(0，3) 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 k1k22 3，所以 y1 x1 y2 x2 2 3.又 y 2 12x1，y222x2， 所以 y1y26.设直线 l：xmyb，代入抛物线 C：y22x 得 y22my2b0，所 以 y1y22b6，得 b3，即直线 l 的方程为 xmy3
21、，所以直线 l 过定点为 (3，0). 答案 A 4.(2019 成都诊断)设点 Q 是直线 l：x1 上任意一点，过点 Q 作抛物线 C：y2 4x 的两条切线 QS，QT，切点分别为 S，T，设切线 QS，QT 的斜率分别为 k1， k2，F 是抛物线的焦点，直线 QF 的斜率为 k0，则下列结论正确的是( ) A.k1k2k0 B.k1k22k0 C.k1k22k0 D.k1k22k0 解析 设点 Q(1，t)，由过点 Q 的直线 ytk(x1)与抛物线 C：y24x 相切， 联立方程得 y 24x， ytk（x1），整理得k 2x22(k2kt2)x(kt)20， 则4(k2 kt2)
22、24k2(kt)20，化简得 k2tk10.显然 k1，k2是关于 k 的方程 k2tk 10 的两个根，所以 k1k2t.又 k0 t 2，故 k1k22k0. 答案 D 5.已知 O 为坐标原点，设 F1，F2分别是双曲线 x2y21 的左、右焦点，P 为双 曲线左支上任一点， 过点 F1作F1PF2的平分线的垂线， 垂足为 H， 则|OH|( ) A.1 B.2 C.4 D.1 2 解析 如图所示， 延长 F1H交PF2于点Q， 由 PH为F1PF2的平分线及 PHF1Q， 可知|PF1|PQ|， 根据双曲线的定义， 得|PF2|PF1|2， 从而|QF2|2， 在F1QF2 中，易知
23、OH 为中位线，故|OH|1. 答案 A 二、填空题 6.已知动点 P(x， y)在椭圆 x2 25 y2 161 上， 若 A 点坐标为(3， 0)， |AM |1， 且PM AM 0，则|PM |的最小值是_. 解析 PM AM 0，AM PM . |PM |2|AP |2|AM |2|AP |21， 椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小， 故|AP | min2，|PM |min 3. 答案 3 7.(2019 东北三省四校模拟)若双曲线 x2y 2 b21(b0)的一条渐近线与圆 x 2(y 2)21 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_. 解析 双曲线的渐近线方程为 ybx，
24、则有 |02| 1b21，解得 b 23，则 e21 b24，e1，1e2. 答案 (1，2 8.(2019 湘中名校联考)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F， ABC 的顶点都在抛 物线上，且满足FA FBFC0，则1 kAB 1 kAC 1 kBC_. 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F p 2，0 ，由FA FBFC 0，得 y1 y2y30.因为 kABy 2y1 x2x1 2p y1y2，所以 kAC 2p y1y3，kBC 2p y2y3，所以 1 kAB 1 kAC 1 kBC y1y2 2p y 3y1 2p y 2y3 2p 0. 答案
25、 0 三、解答题 9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 xy10 与抛物线 相交于 A，B 两点，且|AB|8 6 11 . (1)求抛物线的方程； (2)在 x 轴上是否存在一点 C，使ABC 为正三角形？若存在，求出 C 点的坐标； 若不存在，请说明理由. 解 (1)设所求抛物线的方程为 y22px(p0)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y 22px， xy10，消去 y，得 x 22(1p)x10， 判别式 4(1p)244p20 恒成立， 由根与系数的关系得 x1x22(1p)，x1x21. 因为|AB|8 6 11 ， 所以 2（x1x2）24
26、x1x28 6 11 ， 所以 121p2242p480， 所以 p 2 11或 p 24 11(舍去). 故抛物线的方程为 y2 4 11x. (2)设弦 AB 的中点为 D，则 D 13 11， 2 11 . 假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0，0). 因为ABC 为正三角形， 所以 CDAB，所以 x015 11， 所以 C 15 11，0 ，所以|CD| 2 2 11 . 又|CD| 3 2 |AB|12 2 11 ， 与上式|CD|2 2 11 矛盾，所以 x 轴上不存在点 C，使ABC 为正三角形. 10.(2019 江西九校联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过
27、 A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知，a2，b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. 因为 c a2b2 3， 所以椭圆 C 的离心率 ec a 3 2 . (2)证明 设 P(x0，y0)(x00)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三 角形，以椭圆 C 的长轴长为直径的圆与直线 xy20 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直
28、线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，探究在 x 轴上是否存在定点 E，使得EA EB为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意知， bc， a|002| 2 ， b2c2a2， 解得 a 2， b1， c1， 则椭圆 C 的标准方程为x 2 2y 21. (2)当直线的斜率存在时，设直线方程为 yk(x1)(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立 x 2 2y 21， yk（x1）， 得(12k2)x24k2x2k220，8k280 恒成立， xAxB 4k2 12k2，xAxB 2k22 12k2. 假设在 x 轴上存在定点 E(x0，0)，使得EA EB为定值. 则EA EB(x Ax0，yA) (xBx0，yB) xAxBx0(xAxB)x20yAyB xAxBx0(xAxB)x20k2(xA1)(xB1) (1k)2xAxB(x0k2)(xAxB)x20k2 （2x 2 04x01）k2（x202） 12k2 . EA EB为定值，EA EB的值与 k 无关， 2x204x012(x202)， 解得 x05 4，此时EA EB7 16为定值，定点为 5 4，0 ， 当直线的斜率不存在时，也满足EA EB7 16为定值，且定点为 5 4，0 . 综上，存在点 E 5 4，0 ，使得EA EB为定值，且定值为7 16.
