1、 第第 1 节节 归纳与类比归纳与类比 最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解 合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本 模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系 和差异. 知 识 梳 理 1.合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性， 推断该类事物中每一个都有这种属性.我 们将这种推理方式称为归纳推理 由部分到整体、由个 别到一般 类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征， 在此基础上，根据一类对象的其他特征， 推断另一类对象也具有类似的其他特征， 我们把这种
2、推理过程称为类比推理 由特殊到特殊 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新 结论的推理过程.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 微点提醒 1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其 正确性，则需要证明. 2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机 械类比的错误. 3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式 是正确的，
3、结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的， 但所得结论是错误的. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确. (3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的
4、结论一定正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 2-2P7 习题 1-1T2 改编)数列 2，5，11，20，x，中的 x 等于_. 解析 由 523，1156，20119，推出 x2012，故 x32. 答案 32 3.(选修 2-2P7 练习 1 改编)将正整数 1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角 形数组，则第 10 行左数第 10 个数为_. 解析 由三角形数组可推断出，第 n 行共有 2n1 个数，且最后一个数为 n2，所 以第 10 行共 19 个数，最后一个数为 100，左数第 10 个数是 91. 答案 91 4.(2019 淄博一模)有一段“三段论”推理
5、是这样的：对于可导函数 f(x)，若 f(x0) 0，则 xx0是函数 f(x)的极值点，因为 f(x)x3在 x0 处的导数值为 0，所以 x 0 是 f(x)x3的极值点，以上推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 解析 大前提是“对于可导函数 f(x)， 若 f(x0)0， 则 xx0是函数 f(x)的极值点”， 不是真命题，因为对于可导函数 f(x)，如果 f(x0)0，且满足在 x0附近左右两侧 导函数值异号，那么 xx0才是函数 f(x)的极值点，所以大前提错误.故选 A. 答案 A 5.(2019西安二模)对于任意正整数 n，2n与 n2的大小
6、关系为( ) A.当 n2 时，2nn2 B.当 n3 时，2nn2 C.当 n4 时，2nn2 D.当 n5 时，2nn2 解析 当 n2 时，2nn2；当 n3 时，2nn2；归纳判断，当 n4 时，2nn2.故选 C. 答案 C 6.(2018大连模拟)在等差数列an中，若 a100，则有 a1a2ana1a2 a19n(n0)外，过点 P0 作该椭圆的两条切线，切点 分别为 P1， P2， 则切点弦 P1P2所在直线的方程为x0x a2 y0y b2 1.那么对于双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为_. 解析 (1)令 1 1 1 1
7、1 x(x0)，即 11 xx，即 x 2x10，解得 x1 5 2 (x1 5 2 舍)，故 1 1 1 1 1 1 5 2 ，故选 C. (2)若点 P0(x0，y0)在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)外，过点 P0 作该双曲线的两条切 线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2所在直线的方程为x0x a2 y0y b2 1. 答案 (1)C (2)x0x a2 y0y b2 1 规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类 比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列
8、与等 比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. 【训练 2】 (1)(2018 孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测 度(面积)Sr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V 4 3r 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度 V8r3，则其四维 测度 W( ) A.2r4 B.3r4 C.4r4 D.6r4 (2)在平面上，设 ha，hb，hc是ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到 相应三边的距离分别为 Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：Pa ha Pb hb Pc hc1.把它类 比到空间， 则三棱锥中
9、的类似结论为_. 解析 (1)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，(r2) 2r，三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V4 3r 3， 4 3r 3 4r2，四维空间中，“超球”的三维测度 V8r3， (2r4)8r3， “超球”的四维测度 W2r4，故选 A. (2)设 ha，hb，hc，hd分别是三棱锥 ABCD 四个面上的高，P 为三棱锥 ABCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论： Pa ha Pb hb Pc hc Pd hd1. 答案 (1)A (2)Pa ha Pb hb Pc h
10、c Pd hd1 考点三 演绎推理 多维探究 角度 1 与逻辑推理有关的问题 【例 31】 (1)(2018 南昌一模)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是 体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体 委比乙的年龄小.据此推断班长是_. (2)2019 年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆 心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时， 甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海； 乙说：我没去过茶卡天空之境； 丙说：我们三人去过同一个地方. 由此可判断乙去过的地方为_. 解析 (1)根据“甲与体委的年龄不同，体委
11、比乙的年龄小”可得丙是体委； 根据“丙的年龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄丙的年龄学习委 员的年龄，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长. (2)由乙说：我没去过茶卡天空之境，可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里 油菜花海两个地方， 但甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则甲去过陆心之海 青海湖和茶卡天空之境两个地方，乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海 中的一个地方， 再由丙说：我们三人去过同一地方， 可推知乙去过的地方为陆心之海青海湖. 答案 (1)乙 (2)陆心之海青海湖 角度 2 与证明有关的问题 【例 32】 数列an的前 n 项和记为 Sn， 已知
12、 a11， an1n2 n Sn(nN*).证明： (1)数列 Sn n 是等比数列； (2)Sn14an. 证明 (1)an1Sn1Sn，an1n2 n Sn， (n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn. Sn1 n12 Sn n ，又S1 1 10，(小前提) 故 Sn n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知 Sn1 n14 Sn1 n1(n2)， Sn14(n1) Sn1 n14 n12 n1 Sn14an(n2)，(小前提) 又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提) 对于任意正整数
13、n，都有 Sn14an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 规律方法 解决逻辑推理问题的两种方法： (1)假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理. 如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直 到得到符合要求的结论为止. (2)枚举筛选法：即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举，然后对各种 情况逐个检验，排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案. 【训练 3】 (1)(2017 全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞 赛的成绩.老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在
14、给甲看乙、丙的成 绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 (2)学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在结果 揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“C 或 D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A，D 两项作品均未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_. 解析 (1
15、)由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良， 又因为乙看过丙的成绩， 所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优 一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可 以推出自己的成绩，故选 D. (2)若 A 获得一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意； 若 B 获得一等奖，则乙，丙的说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意； 若 C 获得一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意； 若 D 获得一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意. 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B. 答案 (1)D (2)B 思
16、维升华 1.合情推理的过程概括为 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一 般到特殊的推理， 常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来 进行. 易错防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步 严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过 程的严密性，书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.已知数列an中，a11，n2
17、 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4后， 猜想 an的表达式是( ) A.an3n1 B.an4n3 C.ann2 D.an3n 1 解析 a11，a24，a39，a416，猜想 ann2. 答案 C 2.观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在 R 上的函 数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)( ) A.f(x) B.f(x) C.g(x) D.g(x) 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故 g(x)g(x). 答案 D 3.按照图图的规律，第 10 个图中圆点的个数为( ) A.36
18、B.40 C.44 D.52 解析 因为根据图形，第一个图有 4 个点，第二个图有 8 个点，第三个图有 12 个点，所以第 10 个图有 10440 个点.故选 B. 答案 B 4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内 的下列结论( ) 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. A. B. C. D. 解析 垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；垂直于同一条直线的 两条直线不一定平行，也可能是相交直线、异面直线，故不正确；垂直于同一 个平面的两个平
19、面不一定平行，也可能是相交平面，如墙角，故不正确；垂直 于同一条直线的两个平面互相平行，正确.故选 D. 答案 D 5.下面四个推理，不属于演绎推理的是( ) A.因为函数 ysin x(xR)的值域为1， 1， 2x1R， 所以 ysin(2x1)(xR) 的值域也为1，1 B.昆虫都有 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 C.在平面中，对于三条不同的直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac，将此结论 放到空间中也是如此 D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地面的高度 大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上 的字迹距地面
20、六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 解析 C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D 中的推理都是演绎推理. 答案 C 6.(2019 长春质量监测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的 “筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹 是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如 图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列， 但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位， 十万位数用横式表示，以此类推.例如 3 266 用算筹表示就是，则 8 771 用算筹可表示为(
21、 ) 解析 由题意知 8 771 用算筹可表示为，故选 A. 答案 A 7.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511， 则 a10b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 观察规律，归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右 端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则 a10b10123. 答案 C 8.(2019 武汉一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演雷雨 茶馆 天 籁 马蹄声碎四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧雷雨不能在周 一和周四上演， 茶馆不能在周一和周三上演， 天籁不能在
22、周三和周四上演， 马蹄声碎不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是( ) A.雷雨只能在周二上演 B.茶馆可能在周二或周四上演 C.周三可能上演雷雨或马蹄声碎 D.四部话剧都有可能在周二上演 解析 由题目可知，周一上演天籁 ，周四上演茶馆 ，周三可能上演雷雨 或马蹄声碎 ，故选 C. 答案 C 二、填空题 9.仔细观察下面和的排列规律： ，若依此规律继续下去，得到一系列的和， 那么在前 120 个和中，的个数是_. 解析 进行分组 |， 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)234(n1)n(n3) 2 ，易知 f(14)119， f(15)135，故 n14. 答案 14 10.(2018
23、九江模拟)在等差数列an中，若公差为 d，且 a1d，那么有 aman amn，类比上述性质，写出在等比数列an中类似的性质：_ _. 解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的 性质是“在等比数列an中，若公比为 q，且 a1q，则 am anamn.” 答案 在等比数列an中，若公比为 q，且 a1q，则 am anamn 11.观察下列等式：1312，132332，13233362，13233343102， 根据上述规律，第 n 个等式为_. 解析 观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 1323n3 n(n1) 2 2 n 2(n1)2 4 . 答案
24、 1323n3n 2(n1)2 4 12.(2019 呼和浩特模拟)某煤气站对外输送煤气时，用 15 号 5 个阀门控制，且 必须遵守以下操作规则： (1)若开启 2 号，则必须同时开启 3 号并且关闭 1 号； (2)若开启 1 号或 3 号，则关闭 5 号； (3)禁止同时关闭 4 号和 5 号. 现要开启 2 号，则同时开启的另外 2 个阀门是_. 解析 由题意，若开启 2 号，则关闭 1 号，开启 3 号，开启 4 号，关闭 5 号.故答 案为 3 号和 4 号. 答案 3 号和 4 号 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(2019 广东六校第三次联考)自主招生联盟成形于2
25、009年清华大学等五校联考， 主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高 中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果： 报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；报考“华约”联盟的学 生，也报考了“京派”联盟；报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联 盟；不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟. 根据上述调查结果，下列结论错误的是( ) A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生 B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟 解析 设该校报考“北约”联盟，“
26、华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟 的学生分别为集合 A， B， C， D， 报考自主招生的总学生为 U， 则由题意， 知 AB ，BC，DC，UDB，AD，BC，BD.选项 A，BD， 正确；选项 B，BC，正确；选项 C，AD，正确，故选 D. 答案 D 14.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1，x2，xn， 都有f(x 1)f(x2)f(xn) n f x1x2xn n .若 ysin x 在区间(0，)上是凸函 数，那么在ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值是_. 解析 由题意知，凸函数满足 f(x1)f(x2)f(xn) n
27、 f x1x2xn n ， 又 ysin x 在区间(0，)上是凸函数， 则 sin Asin Bsin C3sin ABC 3 3sin 3 3 3 2 . 答案 3 3 2 15.(2018 赣州联考)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出 五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而 税一.并五关所税， 适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关， 第 1 关收税金1 2，第 2 关收税金为剩余的 1 3，第 3 关收税金为剩余的 1 4，第 4 关收税金 为剩余的1 5，第 5 关收税金为剩余的 1 6，5 关所收税金之和，恰好重 1 斤
28、，问原来 持金多少？”若将“5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？”改成 “假设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关”，则第 8 关所收税金为 _x. 解析 第 1 关收税金：1 2x；第 2 关收税金： 1 3 11 2 xx 6 x 23；第 3 关收税金： 1 4 11 2 1 6 x x 12 x 34；第 8 关收税金： x 89 x 72. 答案 1 72 16.(2019 成都诊断)正整数数列an满足 an1 1 2an，an是偶数， 3an1，an是奇数， 已知 a72， an的前 7 项和的最大值为 S，把 a1的所有可能取值按从小到大排成一个新数列 bn，bn所有项的和为 T，则 ST_. 解析 正整数数列an满足 an1 1 2an，an是偶数， 3an1，an是奇数， 故可采用逆推的方法求 解，如图所示： 则an的前 7 项和的最大值 S248163264128254，bn所有项的 和 T23162021128190，故 ST25419064. 答案 64
