1、 第第 1 节节 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第第 1 课时课时 坐标系坐标系 最新考纲 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图 形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位 置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极 坐标方程 知 识 梳 理 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 : x x(0), y y(0) 的作用 下,点 P(x,y)对应到点 P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系
2、的概念 在平面内取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox,同时确定一个长度单位和计算 角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点 O 称为极点, 射线 Ox 称为极轴.平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(,)称为点 M 的极坐标. 称为点 M 的极径, 称为点 M 的极角.一般认为 0.当极角 的取 值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)(0)建立一一对应 的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径 0,极角 可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M
3、为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(,).由图可知下面的 关系式成立: xcos , ysin 或 2x2y2, tan y x(x0), 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 r(00) 的作用下的变换方程的求法是将 x x , yy 代入 yf(x),得y f x ,整理之后得到 yh(x),即为所求变换之后的 方程 易错警示 应用伸缩变换时,要分清变换前的点坐标(x,y)与变换后的点坐标(x, y) 【训练 1】 在同一坐标系中,求将曲线 y1 2sin 3x 变为曲线 ysin x 的伸缩变换
4、 公式. 解 将曲线 y1 2sin 3x经过伸缩变换变为 ysin x,即 ysin x, 设伸缩变换公式是 xx, yy (0,0), 把伸缩变换关系式代入式得:ysin x 与式的系数对应相等得到 2, 3, 所以,变换公式为 x3x, y2y. 考点二 极坐标与直角坐标的互化 【例 2】 (2019 德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的原点,极 轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线 C 的参数方程为 x1 2cos , y1 2sin ( 为参数),直线 l 过点(1,0),且斜率为1 2,射线 OM 的极 坐标方程为 3 4 . (1)求曲线 C
5、 和直线 l 的极坐标方程; (2)已知射线 OM 与曲线 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,则线段 PQ 的 长. 解 (1)曲线 C 的参数方程为 x1 2cos , y1 2sin ( 为参数), 曲线 C 的普通方程为(x1)2(y1)22, 将 xcos ,ysin 代入整理得 2cos 2sin 0, 即曲线 C 的极坐标方程为 2 2sin 4 . 直线 l 过点(1,0),且斜率为1 2, 直线 l 的方程为 y1 2(x1), 直线 l 的极坐标方程为 cos 2sin 10. (2)当 3 4 时,|OP|2 2sin 3 4 4 2 2, |OQ| 1 2
6、2 2 2 2 2 3 , 故线段 PQ 的长为 2 2 2 3 5 2 3 . 规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;x cos ,ysin ,2x2y2,tan y x(x0) 2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意 , 的取值范围及其影响; 要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法 和平方法等技巧. 【训练 2】 (1)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知点 A 的极坐标为 2, 4 ,直线的极坐标方程为 cos 4 a, 且点 A 在直线上,求 a 的值及直线的直角坐标方程. (
7、2)把曲线 C1:x2y28x10y160 化为极坐标方程. 解 (1)点 A 2, 4 在直线 cos 4 a 上, a 2cos 4 4 2, 所以直线的方程可化为 cos sin 2, 从而直线的直角坐标方程为 xy20. (2)将 xcos , ysin 代入 x2y28x10y160, 得 28cos 10sin 160, 所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160. 考点三 曲线极坐标方程的应用 【例 31】 (2019 太原二模)点 P 是曲线 C1:(x2)2y24 上的动点,以坐标 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点 O 为中点,将点 P
8、 逆 时针旋转 90 得到点 Q,设点 Q 的轨迹为曲线 C2. (1)求曲线 C1,C2的极坐标方程; (2)射线 3(0)与曲线 C1,C2 分别交于 A,B 两点,定点 M(2,0),求MAB 的面积. 解 (1)由曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24可得曲线C1的极坐标方程为 4cos . 设 Q(,),则 P , 2 , 则有 4cos 2 4sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 4sin . (2)M 到射线 3(0)的距离 d2sin 3 3, |AB|BA4 sin 3cos 3 2( 31), 所以 SMAB1 2|AB|d 1 22( 31) 33 3. 【例 32】
9、 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为cos 4. (1)设点 M 为曲线 C1上的动点,点 P 在线段 OM 上,且|OM| |OP|16,求点 P 的 轨迹 C2的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 2, 3 ,点 B 在曲线 C2上,求OAB 面积的最大值. 解 (1)设点 P 的极坐标为(,)(0),M 的极坐标为(1,)(10). 由题设知|OP|,|OM|1 4 cos . 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos (0). 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(
10、x0). (2)设点 B 的极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|2,B4cos , 于是OAB 的面积 S1 2|OA| B sinAOB4cos sin 3 2 sin 2 3 3 2 2 3. 当 12时,S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 规律方法 求线段的长度有两种方法方法一,先将极坐标系下点的坐标、曲线 方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后求线段的长度方法 二 , 直 接 在 极 坐 标 系 下 求 解 , 设A(1, 1) , B(2, 2) , 则 |AB| 2122212cos(21);如果直线过极点且与另一曲线相交,求交点之
11、间 的距离时,求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标,则|1 2|即为所求 【训练 3】 (1)在极坐标系中,求直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长. (2)(2019 衡阳二模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x 2cos , ysin ( 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A,B 为 C 上两 点,且 OAOB,设射线 OA:,其中 0 2. ()求曲线 C 的极坐标方程; ()求|OA| |OB|的最小值. 解 (1)由 sin 4 2, 得 2 2 (sin cos )2, 可化为 xy2 20.圆 4 可化为 x2y2
12、16, 圆心(0,0)到直线 xy2 20 的距离 d|2 2| 2 2, 由圆中的弦长公式,得弦长 l2 r2d2242224 3. 故所求弦长为 4 3. (2)()将曲线 C 的参数方程 x 2cos , ysin ( 为参数)化为普通坐标方程为x 2 2y 2 1. 因为 xcos ,ysin , 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 2 1sin2 . ()根据题意:射线 OB 的极坐标方程为 2或 2, 所以|OA| 2 1sin2 , |OB| 2 1sin2 2 2 1cos2 , 所以|OA|OB| 2 1sin2 2 1cos2 4 (1sin2 )(1cos2 ) 2 1si
13、n2 1cos2 2 4 3. 当且仅当 sin2 cos2 ,即 4时,|OA| |OB|取得最小值为 4 3. 思维升华 1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程: 对于简单的我们可以直接代入公式 cos x,sin y,2x2y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平 方,两边同时乘以 等 2.直角坐标(x,y)化为极坐标(,)的步骤: (1)运用 x2y2,tan y x(x0); (2)在0,2)内由 tan y x(x0)求 时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象 限(即 的终边位置) 易错防范 1.确定极坐标方程,极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不 可 2
14、平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的, 但点的极坐标的表示形式不唯一 当 规定 0,02,使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然 不包括极点 3进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点: (1)注意 , 的取值范围及其影响 (2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 基础巩固题组 (建议用时:60 分钟) 1.求双曲线 C:x2y 2 641 经过 : x3x, 2yy 变换后所得曲线 C的焦点坐标. 解 设曲线 C上任意一点 P(x,y), 由上述可知,得 x1 3x, y2y 代入 x2 y2 641, 得x 2 9 4y 2 64 1,化简得x 2 9 y 2
15、161, 即x 2 9 y2 161 为曲线 C的方程, 可见仍是双曲线,则焦点 F1(5,0),F2(5,0)为所求. 2.(2018 武汉模拟)在极坐标系下,已知圆 O:cos sin 和直线 l:sin 4 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 (0,)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆 O:cos sin ,即 2cos sin , 圆 O 的直角坐标方程为:x2y2xy, 即 x2y2xy0, 直线 l:sin 4 2 2 , 即 sin cos 1, 则直线 l 的直角坐标方程为:yx1,即 xy10. (2)由 x 2y2x
16、y0, xy10, 得 x0, y1, 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 1, 2 . 3.以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线 的极坐标方程为 2 1sin . (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P,Q,若|OP|3|OQ|,求直线 l 的极坐标方程. 解 (1) x2y2,sin y, 2 1sin 化为 sin 2,得 2(2sin )2, 曲线的直角坐标方程为 x24y4. (2)设直线 l 的极坐标方程为 0(R), 根据题意 2 1sin 03 2 1sin(0), 解得 0 6或
17、0 5 6 , 直线 l 的极坐标方程 6(R)或 5 6 (R). 4.(2019 安阳二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x 3y5 3,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 4sin . (1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)射线 OP: 6与圆 C 的交点为 O,A,与直线 l 的交点为 B,求线段 AB 的长. 解 (1)因为 xcos ,ysin ,直线 l:x 3y5 3, 所以直线 l 的极坐标方程为 cos 3sin 5 3, 化简得 2sin 6 5 3,即为直线 l 的极坐标方程. 由 4si
18、n ,得 24sin , 所以 x2y24y,即 x2(y2)24, 即为圆 C 的直角坐标方程. (2)由题意得 A4sin 62, B 5 3 2sin 6 6 5, 所以|AB|AB|3. 5.(2019 福州四校期末联考)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 x2cos , y2sin ( 为参数),直线 C2的方程为 y 3x.以坐标原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1和曲线 C2的极坐标方程; (2)若直线 C2与曲线 C1交于 A,B 两点,求 1 |OA| 1 |OB|. 解 (1)由曲线 C1的参数方程为 x2cos ,
19、y2sin ( 为参数),得曲线 C1的普通方程 为(x2)2(y2)21, 则 C1的极坐标方程为 24cos 4sin 70, 由于直线 C2过原点,且倾斜角为 3,故其极坐标方程为 3(R). (2)由 24cos 4sin 70, 3 得 2(2 32)70,设 A,B 对应的极 径分别为 1,2, 则 122 32,127, 1 |OA| 1 |OB| |OA|OB| |OA| |OB| 12 12 2 32 7 . 6.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 x 2cos , ysin (其中 为参数),曲 线 C2:x2y22y0.以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极
20、轴建立极坐标系,射线 l:(0)与曲线 C1,C2分别交于点 A,B(均异于原点 O). (1)求曲线 C1,C2的极坐标方程; (2)当 0 2时,求|OA| 2|OB|2 的取值范围. 解 (1) x 2cos , ysin , x 2 2y 21,由 xcos , ysin , 得曲线 C1的极坐标方程为 2 2 1sin2 ; x2y22y0, 曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (2)设 A,B 对应的极径分别为1,2,则由(1)得 |OA|221 2 1sin2,|OB| 22 24sin2 , |OA|2|OB|2 2 1sin24sin 2 2 1sin2 4(1sin 2
21、)4, 0 2,11sin 22, 6 2 1sin24(1sin 2)9, |OA|2|OB|2的取值范围为(2,5). 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 7.在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 x 32cos , y12sin ( 为参数).以平面 直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)过原点 O 的直线 l1, l2分别与曲线 C 交于除原点外的 A, B 两点, 若AOB 3, 求AOB 的面积的最大值. 解 (1)曲线 C 的普通方程为(x 3)2(y1)24, 即 x2y22 3x2y0, 所以,曲
22、线 C 的极坐标方程为 22 3cos 2sin 0,即 4sin 3 . (2)不妨设 A(1,),B 2, 3 , 2, 2 . 则 14sin 3 ,24sin 2 3 , AOB 的面积 S1 2|OA| |OB|sin 3 1 212sin 3 4 3sin 3 sin 2 3 2 3cos 2 33 3. 所以,当 0 时,AOB 的面积取最大值 3 3. 8.(2018 厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 x1cos , ysin ( 为参数);在以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中,曲线 C2的极坐标方程为 cos2 si
23、n . (1)求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)若射线 l:ykx(x0)与曲线 C1,C2的交点分别为 A,B(A,B 异于原点),当 斜率 k(1, 3时,求|OA| |OB|的取值范围. 解 (1)曲线 C1的直角坐标方程为(x1)2y21,即 x22xy20,将 xcos , ysin 代入并化简得曲线 C1的极坐标方程为 2cos . 由 cos2 sin 两边同时乘 ,得 2cos2 sin ,结合 xcos , ysin 得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y. (2)设射线 l:ykx(x0)的倾斜角为 ,则射线的极坐标方程为 ,且 ktan (1, 3. 联立 2cos , , 得|OA|A2cos , 联立 cos2 sin , , 得|OB|B sin cos2 , 所以|OA| |OB|A B2cos sin cos2 2tan 2k(2,2 3,即|OA| |OB|的取值 范围是(2,2 3.