1、第一部分第一部分 系统复习系统复习专题15 二次函数的综合运用2 考点解读 存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件，可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.方法提炼 解决存在性问题通常分为三大步：一分类二画图三计算 平行四边形的存在性问题分为两类：三定一动和两定两动 三定一动的常用方法：过三个顶点分别作对边的平行线，三条直线的交点即要找的第四个点；两定两动常用方法：平移两定点所确定的线段，平移方向：左下、右下、左上、右上方法提炼 1 1在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各种判定定理的联系
2、和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法 2 2平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的联系：(1)在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角”或“对角线相等”，可得到矩形；(2)在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”，可得到菱形；方法提炼 (3)在平行四边形的基础上，要证该平行四边形是正方形，可以先证明它是矩形，再证明它是菱形，或先证明它是菱形，再证明它是矩形，即可得到正方形 3 3解决特殊四边形的存在性问题常用两种方法：几何法与代数法 几何法就是上面讲到的通过平移确定点的坐标 代数法：设动点的坐标，利用特殊四边形的对角线的交点是两对角线
3、的中点性质建立方程组，再加特殊四边形的边或者角的特点建立方程组，求解方程组即可.课堂精讲 例1(2019包头节选)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；(2)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由课堂精讲 【分析】(1)将点A(1，0)，B(3，0)代入yax2bx2即可；(2)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，
4、M，N为顶点的四边形是平行四边形课堂精讲【解】(1)将点 A(1，0)，B(3，0)代入 yax2bx2，可得a23，b43，抛物线的解析式为 y23x243x2，对称轴 x1.(2)存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，设 N(1，n)，M(x，y)，四边形 CMNB 是平行四边形时，123x2，x2.M2，103；课堂精讲四边形 CNBM 时平行四边形时，321x2，x2.M(2，2)；四边形 CNMB 时平行四边形时，132x2，x4.M4，103.综上，M 点的坐标为(2，2)或4，103或2，103.课堂精讲例2(2019齐齐哈尔)综合与探究 如图，抛物线y
5、x2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA2，OC6，连接AC和BC.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为_ (3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由课堂精讲 【分析】(1)由OA2，OC6得到A(2，0)，C(0，6)，用待定系数法即求得抛物线解析式；(2)由点D在抛物线对称轴上运动且A，B关于对称轴对称可得，ADBD，所以当点C，D，B在同一直线上时，ACD周长最小求出直线BC解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D纵坐标；(
6、3)以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N的坐标课堂精讲【解】(1)OA2，OC6，A(2，0)，C(0，6)抛物线 yx2bxc 过点 A，C，42bc0，c6.解得b1，c6.抛物线解析式为 yx2x6.(2)12，5 课堂精讲(3)存在点 N，使以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是菱形 A(2，0)，C(0，6)，AC 22622 10.若 AC 为菱形的边长，如图 1，则 MNAC 且 MNAC2 10.N1(2，2 10)，N2(2，2 10)，N3(2，0)图 1课堂精讲若 AC 为菱形的对角线，如图 2，则 AN4CM4，AN4CN
7、4.设 N4(2，n)，n 22（n6）2，解得 n103.N42，103.综上，点 N 坐标为(2，2 10)或(2，2 10)或(2，0)或2，103.图 2 【方法归纳】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程(组)的解法，菱形的性质，勾股定理第(3)题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算课后精练 1 1(2019周口二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4与x轴交于A，B两点(点A在原点左侧，点B在原点右侧)，与y轴交于点C，已知OA1，OCOB.设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线
8、交抛物线于另一点F，过点E作EHx轴于点H，再过点F作FGx轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长 第1题图课后精练2 2已知，如图，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(3，7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C.若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，满足条件的点P的坐标为_ _第2题图（6,-16）或课后精练3 3(2019高新区二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2bx3的图象经过点 A(1，0)，C(2，0)，与 y 轴交于点 B，其对称轴
9、与 x 轴交于点 D.(1)求二次函数的表达式及其顶点的坐标；(2)若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求12PBPD的最小值；(3)M(x，t)为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有 个 第3题图课后精练解：(1)二次函数 yax2bx 3的图象经过点 A(1，0)，C(2，0)，ab 30，4a2b 30，解得a32，b32.二次函数的表达式为 y32x232x 3.y32x232x 332x122983，抛物线的顶点坐标为12，983.课后精练(2)如图，连接 AB，作 DHAB 于 H，交 OB 于 P，
10、此时12PBPD 最小 理由：OA1，OB 3，tanABOOAOB33.ABO30.PH12PB.12PBPDPHPDDH.此时12PBPD 最短(垂线段最短)在 RtADH 中，AHD90，AD32，HAD60，DHADsin 603 34.12PBPD 的最小值为3 34.答案图课后精练(3)以 A 为圆心，AB 为半径画弧，因为 ABAD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且 AMAB，即 M 点存在两个，所以满足条件的 N 点有两个；以 B 为圆心，AB 为半径画弧，因为 AB12，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且 BMAB，即 M 点有两个，所以满足条件的 N 点有两个；线段 AB 的
11、垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AMBM，因为 M 点有一个，所以满足条件的 N 点有一个 综上，满足条件的 N 点共有 5 个 故答案为：5.课后精练 4 4(2019武汉模拟)如图1，抛物线yax22axc与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C，ABC的面积为6，抛物线顶点为M.(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，直线ykxk3与抛物线交于P，Q两点(P点在Q点左侧)，问在y轴上是否存在点N，使四边形PMQN为矩形？若存在，求N点坐标，若不存在，请说明理由图 1图 2课后精练解：(1)抛物线对称轴为直线 x2a2a1，A(3，0)，B(1，0)AB4.SABC12ABO
12、C6，OC3.C(0，3)，c3.将 B(1，0)代入 yax22ax3，得 3a30，解得 a1，抛物线的解析式为 yx22x3.课后精练(2)y 轴上存在点 N，使四边形 PMQN 为矩形 连接 PN，MN，MN 交 PQ 于点 S，设 N(0，n)，四边形 PMQN 为矩形，MNPQ，SPSQSMSN.点 M(1，4)，点 N 在 y 轴上，S12，n42.由yx22x3，ykxk3，整理得 x2(2k)xk0，设方程两根为 xP，xQ，则 xPxQk2，S12，n42也为 PQ 中点，12(xPxQ)12.课后精练xPxQ1，即 k21，解得 k1.直线 PQ 的解析式为 yx2.解方
13、程组yx22x3，yx2，得x1512，y1552，或x2512，y2552，P512，552，Q512，552.n45525525.n1.点 N 坐标为(0，1)时，四边形 PMQN 为矩形 答案图课后精练 5 5(2019长安区一模)如图，抛物线yax2bx4(a0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作PEx轴于点E，交BC于点D，连接PC.(1)求抛物线的解析式；(2)将PCD沿直线CP翻折，点D的对应点为Q.试问四边形CDPQ是否能为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标；如果不能，请说明理由第5题图课后精练解：(1)
14、将 A(1，0)，B(4，0)两点代入 yax2bx4，得 ab40，16a4b40，解得a1，b3.抛物线解析式为 yx23x4.课后精练(2)四边形 CDPQ 能为菱形，如图 1，当点 Q 落在 y 轴上时，四边形 CDPQ 是菱形 理由：由轴对称的性质知 CDCQ，PQPD，PCQPCD，当点 Q 落在 y 轴上时，CQPD，PCQCPD.PCDCPD.CDPD.CDDPPQQC.四边形 CDPQ 是菱形 图1课后精练过 D 作 DGy 轴于点 G，易知直线 BC 的解析式为 yx4.设 P(n，n23n4)，则 D(n，n4)，G(0，n4)，在 RtCGD 中，CD2CG2GD24(
15、n4)2n22n2，而|PD|n23n4(n4)|n24n|，PDCD，n24n 2n，n24n 2n.解方程，得 n4 2或 0(不符合条件，舍去)，解方程，得 n4 2或 0(不符合条件，舍去)，课后精练当 n4 2时，P(4 2，5 22)，如图 1；当 n4 2时，P(4 2，5 22)，如图 2.综上所述，四边形 CDPQ 能为菱形，此时点 P 的坐标为(4 2，5 22)或(4 2，5 22)图1图2课后精练6 6(2019铜仁节选)如图，已知抛物线 yax2bx1 与 x 轴的交点为 A(1，0)，B(2，0)，且与 y 轴交于 C 点(1)求该抛物线的表达式；(2)已知点 P
16、是直线 y12x1 上的动点，点 Q为抛物线上的动点，点 C1为点 C 关于 x 轴的对称点，当以 C，C1，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 P 和点 Q 的坐标 第6题图课后精练解：(1)将 A(1，0)，B(2，0)分别代入抛物线 yax2bx1 中，得ab1，4a2b1，解得a12，b12.该抛物线的表达式为 y12x212x1.课后精练(2)由题意，C(0，1)，C1(0，1)，以 C，C1，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：C1C 为边，则 C1CPQ，C1CPQ，设 Pm，12m1，Qm，12m212m1，12m212m1 12m12，解得 m14，m22，m32，m40(舍去)P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(2，0)，Q2(2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)课后精练C1C 为对角线，C1C 与 PQ 互相平分，C1C 的中点为(0，0)，PQ 的中点为(0，0)，设 Pm，12m1，则 Qm，12m212m1.12m1 12m212m1 0，解得 m10(舍去)，m22.P4(2，0)，Q4(2，0)综上所述，点 P 和点 Q 的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或 P2(2，0)，Q2(2，2)或 P3(2，2)，Q3(2，0)或 P4(2，0)，Q4(2，0)
