1、第第 2 节节 不等式选讲不等式选讲 第第 1 课时课时 绝对值不等式绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等 号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，b，cR)；2.会利 用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|x b|a. 知 识 梳 理 1.绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab| |a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立； 定理 2： 如果 a， b， c 是实数， 那么|ac|ab|bc|， 当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立. 2.绝对值不等式的解
2、法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a0 a0 aa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc. 3.|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想. 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 微点提醒 1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问 题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解， 要掌握分类讨论的标 准，做到不
3、重不漏. 2.绝对值三角不等式|a b|a|b|， 从左到右是一个放大过程， 从右到左是缩小过 程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与 绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值 不等式的条件. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.( ) (2)不等式|x1|x2|2 的解集为.( ) (3)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立.( ) (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.( ) (5)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立.(
4、) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(选修 45P19 习题 T9 改编)若关于 x 的不等式|a|x1|x2|，存在实数解， 则实数 a 的取值范围是_. 解析 由于|x1|x2|(x1)(x2)|3， |x1|x2|的最小值为 3，要使原不等式有解， 只需|a|3，即 a3 或 a3. 答案 (，33，) 3.(选修 45P20 习题 T7 改编)不等式 3|52x|0 的解集； (2)设 g(x)|x7|3m，若关于 x 的不等式 f(x)0，解得 x2， 当 x0，解得 x2 或 x3. 故实数 m 的取值范围是(3，). 6.(2019 东北三省三校模拟)已知不等式
5、|2x5|2x1|ax1. (1)当 a1 时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为 R，求 a 的取值范围. 解 (1)令 f(x)|2x5|2x1|， 则 f(x)|2x5|2x1| 4x4，x 1 2， 6，1 25 2， 因为 a1，所以当 x1 2时，由4x4x1，解得 x 1 2， 当1 2x 5 2时，由 6x1，解得 1 2x 5 2， 当 x5 2时，由 4x4x1，解得 x 5 2. 综上得，所求不等式的解集为 R. (2)由(1)作函数 f(x)的图像，点 A 5 2，6 ，令 yax1，则其过定点 P(0，1)，如 图所示，由不等式|2x5|2x1|ax1 的解集为
6、 R，可得4a6(1) 5 20 ， 即4a14 5 .所以，所求实数 a 的取值范围为 4，14 5 . 考点一 绝对值不等式的解法 【例 11】 (2018 全国卷)已知 f(x)|x1|ax1|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 x(0，1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围. 解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， 即 f(x) 2，x1， 2x，11 2 . (2)当 x(0，1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0，1)时|ax1|0，|ax1|2； 综上可知，原不等式的解集为 x|x2 . (2)当 a1 时，f(x) 2
7、x4，x1， 2，12. 可得 f(x)0 的解集为x|2x3. f(x)1 等价于|xa|x2|4. 又|xa|x2|a2|，且当 x2 或 xa 时等号成立.故 f(x)1 等价于|a 2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2. 所以 a 的取值范围是(，62，). 考点二 绝对值不等式性质的应用 【例 2】 (1)若对于实数 x，y 有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值. (2)若 a2，xR，证明：|x1a|xa|3. (1)解 由|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，得|2x3y1|的 最大值为 7. (2)证明 因为|x1a|xa|(x1a)
8、(xa)|2a1|，又 a2，故|2a 1|3，即|x1a|xa|3 成立. 规律方法 绝对值不等式性质的应用 利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b，cR)，通过 确定适当的 a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可 以证明不等式 【训练 2】 对于任意实数 a， b， 已知|ab|1， |2a1|1， 且恒有|4a3b2|m， 求实数 m 的取值范围. 解 因为|ab|1，|2a1|1， 所以|3a3b|3， a1 2 1 2， 所以|4a3b2|(3a3b) a1 2 5 2| |3a3b|a1 2| 5 23 1 2 5 26， 则|
9、4a3b2|的最大值为 6， 所以 m|4a3b2|max6，m 的取值范围是6，). 考点三 绝对值不等式的综合应用 【例 31】 (2018 全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|. (1)画出 yf(x)的图像； (2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值. 解 (1)f(x) 3x，x1，当 x(1，1)时，f(x)m1， 不等式 f(x)x2mx3，即 mx2mx2， m(1x)x22，mx 22 1x ， 令 g(x)x 22 1x (1x) 22(1x)3 1x (1x) 3 1x2， 0a. (2)f(x)a 恒成立f(x)mina. (3)f(x)a 恰在(c
10、，b)上成立c，b 是方程 f(x)a 的解 【训练 3】 (1)已知函数 f(x)|xa|x3a|. 若 f(x)的最小值为 2，求 a 的值； 若对任意 xR，存在 a1，1，使得不等式 m2|m|f(x)9； 设关于 x 的不等式 f(x)|x4|的解集为 A，BxR|2x1|3，如果 AB A，求实数 a 的取值范围. 解 (1)|xa|x3a|(xa)(x3a)|2a|， 当且仅当 x 取介于 a 和 3a 之间 的数时，等号成立，故 f(x)的最小值为 2|a|，所以 a 1. 由知 f(x)的最小值为 2|a|，故存在 a1，1， 使 m2|m|9，解得 x3； 当5x9，得 7
11、9，此时不等式无解； 当 x9，得2x39，解得 x9 的解集为xR|x3. 因为 ABA，所以 BA. 又 BxR|2x1|3xR|1x2， 关于 x 的不等式 f(x)|x4|的解集 为 A， 所以当1x2 时，f(x)|x4|恒成立. 由 f(x)|x4|得|xa|2. 所以当1x2 时，|xa|2 恒成立，即2xa2x 恒成立. 所以实数 a 的取值范围为1，0. 思维升华 1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法 2不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决 易错防范 1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|a b|a|b|求函数最值， 要注意其
12、中 等号成立的条件 2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏. 基础巩固题组 (建议用时：60 分钟) 1.(1)求不等式|x1|x2|5 的解集； (2)若关于 x 的不等式|ax2|2 时，g(x)5. 综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)f(x5)m， 即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，即 g(x)minm， 则 m 的取值范围为(，5. 法二 (1)同法一. (2)当 a2 时，f(x)|x2|，设 g(x)f(x)f(x5). 由|x2|x3|x2x3|5， 当且仅当3x2 时等号成立，得 g(x)的最小值为 5， 从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一
13、切实数 x 恒成立. 则 m 的取值范围为(，5. 6.(2018 石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直 角距离”为 L(P，Q)|x1x2|y1y2|，已知 A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三点. (1)若 L(A，B)L(A，C)，求 x 的取值范围； (2)当 xR 时，不等式 L(A，B)tL(A，C)恒成立，求 t 的最小值. 解 (1)由定义得|x1|1|x5|1， 则|x1|x5|，两边平方得 8x24，解得 x3. 故 x 的取值范围为(3，). (2)当 xR 时，不等式|x1|x5|t 恒成立，也就是 t|x1|x5|
14、恒成立， 即 t(|x1|x5|)max， 因为|x1|x5|(x1)(x5)|4，当且仅当 x5 时等号成立，所以 t4， tmin4. 故 t 的最小值为 4. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 7.(2019 江西分宜中学等九校联考)已知函数 f(x)|2x|x3|. (1)若对于任意的实数 x，都有 f(x)2m27m 成立，求 m 的取值范围； (2)若 g(x)ax，方程 f(x)g(x)有两个不同的实数根，求 a 的取值范围. 解 (1)由于 f(x)|2x|x3| 3x(x0)， 所以 f(x)的最小值为 f(0)3. 又因为对任意的实数 x，都有 f(x)2m27m 成
15、立，所以只需 2m27m3，即 2m27m30，解得1 2m3， 故 m 的取值范围为 1 2，3 . (2)方程 f(x)g(x)有两个不同的实数根，即函数 yf(x)与 yg(x)的图像有两个不 同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a 的取值范围是(1，1) 2. 8.(2018 西安模拟)已知函数 f(x)|x2|，g(x)|x1|x. (1)解不等式 f(x)g(x)； (2)若存在实数 x，使不等式 mg(x)f(x)x(mR)成立，求实数 m 的最小值. 解 (1)原不等式 f(x)g(x)化为|x2|x|x1|， 当 x(x1)， 解得 x3，即3x1，解得 x3，即 x3. 综上所述，不等式 f(x)g(x)的解集为x|3x3. (2)由 mg(x)f(x)x(mR)可得 m|x2|x1|， 由题意知 m(|x2|x1|)min， |x2|x1|x2(x1)|3，当且仅当1x2 时取等号， m3，故实数 m 的最小值是 3.
