1、第六章 分类资料的假设检验第 六 章 分类资料的假设检验6.1 分类数据与列联表分类数据与列联表 6.2 拟合优度拟合优度 检验检验6.3 独立性检验独立性检验6.4 c c2分布的期望值准则分布的期望值准则6.5 Fisher确切概率法确切概率法学习目标1.解释列联表解释列联表2.进行进行 c c2 检验检验拟合优度检验拟合优度检验独立性检验独立性检验3.3.c c2分布的期望值准则分布的期望值准则4.了解了解Fisher确切概率法确切概率法案例与背景案例与背景 研究三种药物的致癌性，现在对两组白鼠进行实验。分别在其身上注射不同的药物。实验结果见表6-1，问三种药物的致癌性有无差别？表6-1
2、处理发癌老鼠未发癌老鼠合计发癌率（%）注射A24477133.80注射B16213743.24注射C8394717.02合计4810715530.97数据的类型与列联分析数数 据据定量数据定量数据(数值型数据数值型数据)定性数据定性数据(品质数据品质数据)离散数据离散数据连续数据连续数据列联分析列联分析分类数据1.分类变量的结果表现为类别例如：性别(男,女)2.各类别用符号或数字代码来测度3.使用分类或顺序尺度你吸烟吗?1.是；2.否你赞成还是反对这一改革方案?1.赞成；2.反对4.对分类数据的描述和分析通常使用列联表5.可使用c检验6.1 分类数据与列联表一.一.分类数据分类数据二.二.列联
3、表的构造列联表的构造三.三.列联表的分布列联表的分布列联表的构造列联表(contingency table)1.由两个以上的变量交叉分类的频数分布表2.行变量的类别用 r 表示，ri 表示第 i 个类别3.列变量的类别用 c 表示，cj 表示第 j 个类别4.每种组合的观察频数用 fij 表示5.表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表6.一个 r 行 c 列的列联表称为 r c 列联表列联表的结构(2 2 列联表)列列(cj)合计合计j=1j=2i=1f11f12f11+f12i=2f21f22f21+f22合计合计f11+f21f12+f22n列联表的结构(r c 列联表的
4、一般表示)列列(cj)合计合计j=1j=2i=1f11f12r1i=2f21f22r2:合计合计c1c2n列联表(例题分析)一分公司二分公司三分公司四分公司合计合计赞成该方案赞成该方案68755779279反对该方案反对该方案32453331141合计合计10012090110420【例【例6.1】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表观察值列联表的分布1.边缘分布行边缘分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有279人，
5、反对改革方案的141人列边缘分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，90人，110人2.条件分布与条件频数变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下变量 X 的分布每个具体的观察值称为条件频数观察值的分布(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计合计赞成该方案赞成该方案68755779279反对该方案反对该方案32453331141合计合计10012090110420百分比分布(概念要点)1.条件频数反映了数据的分布，但不适合对比2.为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为百分比分布百分比分布行百分比：行的每一个观察频数除以相
6、应的行合计数(fij/ri)列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列合计数(fij/cj)总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数(fij/n)百分比分布(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计合计赞成该方案赞成该方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%16.2%17.8%13.6%18.8%反对该方案反对该方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%7.6%10.7%7.9%7.4%合计合计23.8%28.6%21.4%26.2%100%总百分比总百分比列百分比列百分比行百分比行百分比
7、期望频数的分布1.假定行变量和列变量是独立的2.一个实际频数 fij 的期望频数 eij，是总频数的个数 n 乘以该实际频数 fij 落入第 i 行 和第j列的概率，即jijiijcrcrennnn 期望频数的分布(例题分析)由于观察频数的总数为n，所以f11 的期望频数 e11 应为6643.66420100279111111 ncrncnrnencnr11 例如，第1行和第1列的实际频数为 f11,它落在第1行的概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数 n，即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数之和c1除以总频数的个数 n，即：c1/n。根据概率的乘法公式，该频数落在第
8、1行和第1列的概率应为期望频数的分布(例题分析)一分公司一分公司二分公司二分公司三分公司三分公司四分公司四分公司赞成该赞成该方案方案实际频数实际频数68755779期望频数期望频数66806073反对该反对该方案方案实际频数实际频数32453331期望频数期望频数344030376.2 拟合优度检验一一.c c 统计量统计量二.二.拟合优度检验拟合优度检验c 统计量1.用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性2.用于测定两个分类变量之间的相关程度 3.计算公式为2211()(1)(1)rcijijijijfijijeijijfeercc列联表中第 行第 列类别的实际频数列联表中第 行第 列类别的
9、期望频数其自由度为式中：c 统计量(例题分析)实际频数实际频数(fij)期望频数期望频数(eij)fij-eij(fij-eij)2(fij-eij)2f687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.97300319.3)(22eefcSPSS计算卡方值列联表对方案的态度*分公司 Crosstabulation对方案的态度*分公司 Crosstabulation6875577927966.479.759.873.1279.024.4%26.9
10、%20.4%28.3%100.0%68.0%62.5%63.3%71.8%66.4%16.2%17.9%13.6%18.8%66.4%3245333114133.640.330.236.9141.022.7%31.9%23.4%22.0%100.0%32.0%37.5%36.7%28.2%33.6%7.6%10.7%7.9%7.4%33.6%10012090110420100.0120.090.0110.0420.023.8%28.6%21.4%26.2%100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%23.8%28.6%21.4%26.2%100.0%CountExp
11、ected Count%within 对方案的态度%within 分公司%of TotalCountExpected Count%within 对方案的态度%within 分公司%of TotalCountExpected Count%within 对方案的态度%within 分公司%of Total赞成反对对方案的态度Total一分公司二分公司三分公司四分公司分公司Total品质数据的假设检验品质数据品质数据比例检验比例检验独立性检验独立性检验Z 检验检验一个总体c c 检验检验Z 检验检验c c 检验检验两个以上总体两个总体拟合优度检验(goodness of fit test)1.检验多
12、个比例是否相等2.检验的步骤提出假设H0：1=2=j；H1：1,2,j 不全相等 计算检验的统计量进行决策根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值c2若c2c2，拒绝H0；若c25.99)。因此，数据显示：当显著水平=0.05时，我们应当拒绝 。也就是说，样本数据显示：观众在观看完两种不同版本的商业广告片之后，其反应类型会有明显的差异。20.05,25.99c0H6.3 独立性检验(test of independence)1.检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立2.检验的步骤为提出假设H0：行变量与列变量独立H1：行变量与列变量不独立计算检验的统计量进行决策根据显著性水平和自
13、由度(r-1)(c-1)查出临界值c2若c2c2，拒绝H0；若c2c29.448，拒绝H0独立性检验(例题分析)H0:地区与原料等级之间独立H1:地区与原料等级之间不独立 =0.05df=(3-1)(3-1)=4临界值临界值(s):统计量统计量:在 =0.05的水平上拒绝H0地区和原料等级之间存在依赖关系 决策决策:结论结论:c c 019.829.488 =0.0582.19)(1122ricjijijijeefc6.4 c c2分布的期望值准则分布的期望值准则 准则准则1：总频数：总频数n应较大，即样本容量较大，应至应较大，即样本容量较大，应至少大于少大于50，大于，大于100更好。更好。
14、准则准则2：各组的理论频数和不得小于：各组的理论频数和不得小于n。准则准则3：每个单元（组）的理论频数，即组内理论：每个单元（组）的理论频数，即组内理论频数，必须大于等于频数，必须大于等于5。若某单元（组）的理论频。若某单元（组）的理论频数小于数小于5，则可将相邻的若干组合并，直至合并后，则可将相邻的若干组合并，直至合并后的理论频数大于的理论频数大于5为止。为止。准则准则4：若有两个以上单元（组），并且有：若有两个以上单元（组），并且有20的的组的理论频数小于组的理论频数小于5，则不能用，则不能用c c2检验检验。c2分布的期望值准则Test StatisticsTest Statistics
15、3.5085.622Chi-SquareadfAsymp.Sig.VAR000011 cells(16.7%)have expected frequencies less than5.The minimum expected cell frequency is 4.0.a.类别类别2826.02.04947.02.01823.0-5.064.02.09288.04.02025.0-5.0213ABCDEFTotalObserved NExpected NResidual将理论频数小将理论频数小于于5的组合并计的组合并计算卡方值。算卡方值。c2分布的期望值准则合并后的计算结果：合并后的计算结果：
16、Test StatisticsTest Statistics1.7544.781Chi-SquareadfAsymp.Sig.类别0 cells(.0%)have expected frequencies less than5.The minimum expected cell frequency is 25.0.a.类别类别2826.04947.02427.09288.02025.0213ABCDETotalObserved NExpected Nc2分布的期望值准则Test StatisticsTest Statistics14.0086.030Chi-SquareadfAsymp.Sig
17、.类别3 cells(42.9%)have expected frequencies less than5.The minimum expected cell frequency is 1.0.a.类别类别3032.0-2.0110113.0-3.08687.0-1.02324.0-1.052.03.054.01.041.03.0263ABCDEFGTotalObserved NExpected NResidual理论频数过小会理论频数过小会导致计算的卡方导致计算的卡方值过大，从而导值过大，从而导致检验失效。致检验失效。c2分布的期望值准则 合并后的结果：合并后的结果：Test Statist
18、icsTest Statistics7.2584.123Chi-SquareadfAsymp.Sig.类别0 cells(.0%)have expected frequencies less than5.The minimum expected cell frequency is 7.0.a.类别类别3032.0-2.0110113.0-3.08687.0-1.02324.0-1.0147.07.0263ABCDETotalObserved NExpected NResidual6.5 精确概率法精确概率法 四格表 值的校正 分布原来是正态变量的一种分布，界值表就是根据这种连续性分布而计算出来
19、的。但是分类资料是间断性的，由此计算的 值不连续，尤其是自由度为1的四格表，其P值可能偏小，此时要对值作连续性校正。2c2c2c2c 校正条件：1T5 且 n40 校正公式：（6.6）（6.7）22(0.5)ATTc22(/2)adbcnnabcdacbdc四格表 检验的应用条件1.当n40 且所有T5时，用四格表 检验；2.当n40但有1T5时，用校正四格表 检验；3.当n40或有T1时，不能用 检验，改用确切概率法。2c2c2c2c 四格表卡方检验输出结果有卡方值,校正卡方值和精确概率值,当卡方值较大时,这三种结果较一致,优选用精确概率值,当卡方值在界值附近时,宜用四格表确切概率法计算所得
20、的精确概率值。Fisher确切概率法 Fisher确切概率(Fisher probabilities in 22 table)法是由R.A.Fisher提出的，其理论依据是超几何分布，并非 检验的范畴，但实际应用中常用它作为四格表资料假设检验的补充。在四格表周边合计数固定不变的条件下，计算表内4个实际频数变动时的各种组合之概率 ；再按检验假设用单侧或双侧的累计概率 ，依据所取的检验水准 做出推断。各组合概率，服从超几何分布，其和为1。在四格表周边合计数不变的条件下计算 2ciPPiP()!()!()!()!ia bc da cb dPa b c d n单、双侧检验累计概率 的计算方法 设现有样
21、本四格表中的交叉积差 ，其概率为 ，其余情况下的组合四格表的交叉积差记为 ，概率记为 。（1）单侧检验若现有样本四格表中 ，须计算满足 和 条件的各种组合下四格表的累计概率。若 ，则计算满足 和 条件的各种组合下四格表的累计概率。Pa db cD PiDiP0DiDDiPP0DiDDiPP（2）双侧检验计算满足 和 条件的各种组合下四格表的累计概率。若遇到 或 时，四格表内各种组合的序列呈对称分布，此时按单侧检验规定条件只计算单侧累计概率，然后乘以2即得双侧累计概率。iDDiPPa b c d a c b d 检验步骤.，即两组具有相同的概率 ，即两组概率不等.计算现有样本四格表的 和 及各组
22、合下四格表的 。.计算满足 条件的各组合下四格表的概率 。.计算同时满足 和 条件的四格表的累计概率。.按 检验水准确定拒绝域。012:H112:HDPiDDiDiPiDDiPP【例6-7】某医师为研究乙肝免疫球蛋白预防胎儿宫内感染HBV的效果，将33例HBsAg阳性孕妇随机分为预防注射组和非预防组，结果见下表。问两组新生儿的HBV总体感染率有无差别？组别阳性阴性合计感染率（%）预防注射组4182218.18非预防组561145.45合计9243327.27两组新生儿HBV感染率的比较 各组合概率的计算在四格表周边合计数不变的条件下，表内4个实际频数a,b,c,d变动的组合数共有“周边合计中最
23、小数+1”个。表内4个实际频数变动的组合数共有10个，依次为(1)(2)(3)(4)(5)0221212203194189283746556ad-bc=-198,ad-bc=-165,ad-bc=-132,ad-bc=-99,ad-bc=-66(6)(7)(8)(9)(10)517616715814913473829110011ad-bc=-33,ad-bc=0,ad-bc=33,ad-bc=66,ad-bc=99检验步骤 1.建立假设：H0：12，即两组新生儿HBV的总体感染率相等 H1：12，即两组新生儿HBV的总体感染率不等 2.计算现有样本四格表的D*和P*及各组合下四格表的Di，见下
24、计算表。本例中：D*=-66，P*=0.08763.计算满足条件 的各组合下四格表的概率Pi。4.计算同时满足 和 条件的四格表的累计概率。5.本例P1、P2、P3、P4、P5和P10满足条件，累计概率为：6.P1+P2+P3+P4+P5+P100.1210 结论：P0.05，按=0.05检验水准不拒绝H0，尚不能认为预防注射与非预防的新生儿HBV的总体感染率不等。*iDD66iD*iPPi四格表组合Di=ab-cdPiabcd102292-1980.00000143212183-1650.00009412322074-1320.00197656431965-990.018447855*418
25、56-66*0.08762728*651747-337616380871529339814110660.0912039010913011990.01289752 Fisher确切概率法计算表*为现有样本 案例分析：某公司生产三种类型的饮料：橙汁、苹果汁、番茄汁。为了更好销售，公司研究男性与女性对于三种饮料的偏好是否有差异，如果对饮料的偏好与消费者性别无关，则对公司所有的饮料种类只需做同一广告；如果对饮料的偏好与消费者性别有关，将针对不同的市场目标采取不同的推销策略。检验重点讨论饮料的偏好是否与消费者性别独立的问题。这个检验的假设为：饮料偏好与消费者性别独立 ：饮料偏好与消费者性别不独立0HaH
26、检验设计 检验重点讨论饮料的偏好是否与消费者性别独立的问题。这个检验的假设为：饮料偏好与消费者性别独立 ：饮料偏好与消费者性别不独立0HaH 表6-10可以用于描述上述问题。在确定了所有男性和女性消费者总体之后，可以抽取一个样本，询问其中每个人对此公司饮料的偏好。样本中每个人将被分类到表中6个单元格之一。例如偏好橙汁的女性属于单元格（2，1）等等。我们列出所有可能的饮料偏好与性别组合。因此，表6-10被称为一个列联表。表6-10 饮料偏好与消费者性别的列联表饮料偏好橙汁苹果汁番茄汁性别男性单元格（1，1）单元格（1，2）单元格（1，3）女性单元格（2，1）单元格（2，2）单元格（2，3）假定已
27、经抽取了150名消费者组成一个随机样本。在品尝了每一种饮料后，让样本中每个人陈述其偏好。表6-11男性与女性消费者饮料偏好观察频数饮料偏好橙汁苹果汁番茄汁合计性别男性女性合计2040208030301070507030150 表6-11中的交互分组表汇总了该研究的结果。我们看到，为了得到独立性检验的数据，我们需要每个单元格或类别的数目或频数。表中的数据是6类的观察频数。在饮料与消费者性别独立的假设下，如果我们能确定期望频数，我们就可以用 分布来确定观察频数与期望频数之间是否存在显著差异。根据公式6.1.1，计算期望频数，得到表6-12的数据。表6-12在饮料偏好与消费者性别独立时的期望频数2c
28、rcr cnnTn饮料偏好橙汁苹果汁番茄汁合计性别男性女性合计26.6737.3316.008023.3332.6714.007050.0070.0030.00150 计算自由度（n-1）（m-1），对于2行和3列，我们得到自由度为2。观察上表中的期望频数，我们看到每个类别的期望频数都大于或等于5，因此我们可以进行检验统计量的计算。判定饮料偏好是否与消费者性别所需的 检验统计量的计算结果如下 2c 利用 分布表，我们得到 对应的上侧面积为0.0468，在显著性水平0.05下，0.04680.05，因此，我们拒绝独立性假设，并得出饮料偏好与消费者性别不独立的结论。2c26.12c本章小结1.解释列联表解释列联表2.计算期望频数计算期望频数3.进行进行 c c2 检验检验拟合优度检验拟合优度检验独立性检验独立性检验4.4.c c2分布的期望值准则分布的期望值准则5.Fisher确切概率法确切概率法6.用用SPSS进行进行c c2 检验检验
