1、 1 1 阅读理解问题阅读理解问题 例 1我们把 1，1，2，3，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数 为半径作 90圆弧 P1P2 ， P2P3 ， P3P4 ， 得到斐波那契螺旋线， 然后顺次连结P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ， 得到螺旋折线（如图） ，已知点P1 （0，1） ，P2 （1，0） ，P3 （0，1） ，则该折线上的点P9 的坐标为 （ ） A （6，24） B （6，25） C （5，24） D （5，25） 同类题型同类题型 1.1 定义x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.42，33函数y x的图象如图所示，则方程x 1
2、2x 2 的解为（ ） A0 或 2 B0 或 2 C1 或 2 D 2 或 2 同类题型同类题型 1.2 对于函数yx nxm，我们定义 ynx n1mxm1（m、n 为常数） 例如yx 4x2，则 y4x 32x 已知：y1 3x 3（m1）x2m2x （1）若方程y0 有两个相等实数根，则m的值为 ； （2）若方程ym1 4有两个正数根，则 m的取值范围为 例 2将一枚六个面的编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷 出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 axby3 x2y2 有正数解的概率为_ 同类题型同类题型 2.1 六
3、个面上分别标有 1，1，2，3，4，5 六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这 个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标则 得到的坐标落在抛物线y2x2 x上的概率是（ ） A2 3 B1 6 C1 3 D1 9 同类题型同类题型 2.2 把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两 个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数yx2 mxn的图象与x轴没有公共点的概率是_ 同类题型同类题型 2.3 如图，正方形ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时 滑动
4、如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图 中所示方向按BCDAB滑动到B止点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所 经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P（ ） 2 2 A4 4 B 4 C1 4 D1 4 同类题型同类题型 2.4 从1，1，2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y2x a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为1 4 ，且使关于 x的不等式组 x2a 1x2a 有解的概率为 _ 例 3若f（n）为n21（n是任意正整数）的各位数字之和，如142 1197，19717，则f（14） 17，
5、 记f1 （n） f（n） ，f2f（f1（n） ）fk1fk （f（n） ） ，k是任意正整数则f2016 （8） （ ） A3 B5 C8 D11 同类题型同类题型 3.1 将 1，2，3，100 这 100 个自然数，任意分为 50 组，每组两个数，现将每组的两个数中 任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式1 2 (|ab|ab)中进行计算，求出其结果，50 组数代入后 可求得 50 个值，则这 50 个值的和的最大值是_ 同类题型同类题型 3.2 规定：x表示不大于x的最大整数， （x）表示不小于x的最小整数，x）表示最接近x的 整数 （xn0.5，n为整数） ， 例如： 2.32，
6、 （2.3） 3， 2.3） 2 则下列说法正确的是_ （写 出所有正确说法的序号） 当x1.7 时，x（x）x）6； 当x2.1 时，x（x）x）7； 方程 4x3（x）x）11 的解为 1x1.5； 当1x1 时，函数yx（x）x的图象与正比例函数y4x的图象有两个交点 同类题型同类题型 3.3 设x表示不大于x的最大整数，x表示不小于x的最小整数，x表示最接近x的整数 （xn0.5，n为整数） 例如3.43，3.44，3.43则方程 3x2xx22（ ） A没有解 B恰好有 1 个解 C有 2 个或 3 个解 D有无数个解 同类题型同类题型 3.4 对于实数p，q，我们用符号minp，q
7、表示p，q两数中较小的数，如min1，21，因此， min 2， 3_；若min（x1）2，x2 1，则x_ 例 4已知点A在函数y11 x（x0）的图象上，点 B在直线y2 kx1k（k为常数，且k0）上若 A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点” 请问这两个函数图象上的 “友好点”对数的情况为（ ） A有 1 对或 2 对 B只有 1 对 C只有 2 对 D有 2 对或 3 对 同类题型同类题型 4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： 点A，B都在函数yf（x）的图象上； 点A，B关于原点对称，则称A，B为函数yf（x）的一个“黄金点对” 则函数f（
8、x） |x4|，x0 1 x，x0 的“黄金点对”的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 同类题型同类题型 4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的 路径长称为P，Q的“实际距离” 如图，若P（1，1） ，Q（2，3） ，则P，Q的“实际距离”为 5，即PS SQ5 或PTTQ5环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具设A，B，C三个小区 的坐标分别为A（3，1） ，B（5，3） ，C（1，5） ，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实 际距离”相等，则点M的坐标为_ 3 3 同类题型同类题型 4.3 经过三
9、边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形， 如果其中一个是 等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线” 如图， 线段CD是ABC的“和谐分割线” ，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A46，则ACB的度 数为_ 专题专题 09 阅读理解问题阅读理解问题 例 1我们把 1，1，2，3，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数 为半径作 90圆弧 P1P2 ， P2P3 ， P3P4 ，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ， 得到螺旋折线（如图） ，已知点P1 （0，1
10、） ，P2 （1，0） ，P3 （0，1） ，则该折线上的点P9 的坐标为 （ ） A （6，24） B （6，25） C （5，24） D （5，25） 解：由题意，P5 在P2 的正上方，推出P9 在P6 的正上方，且到P6 的距离21526， 所以P9 的坐标为（6，25） ， 选 B 同类题型同类题型 1.1 定义x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.42，33函数y x的图象如图所示，则方程x 1 2x 2 的解为（ ） A0 或 2 B0 或 2 C1 或 2 D 2 或 2 解：当 1x2 时，1 2x 2 1，解得x1 2 ，x2 2 ； 当x0，1 2x 2 0，x0
11、； 当1x0时，1 2x 2 1，方程没有实数解； 4 4 当2x1 时，1 2x 2 2，方程没有实数解； 所以方程x1 2x 2 的解为 0 或 2 选 A 同类题型同类题型 1.2 对于函数yx nxm，我们定义 ynx n1mxm1（m、n 为常数） 例如yx 4x2，则 y4x 32x 已知：y1 3x 3（m1）x2m2x （1）若方程y0 有两个相等实数根，则m的值为 ； （2）若方程ym1 4有两个正数根，则 m的取值范围为 解：根据题意得yx 22（m1）xm2， （1）方程x 22（m1）xm20 有两个相等实数根， 2（m1） 24m20， 解得：m1 2； （2）ym1
12、 4，即 x 22（m1）xm2m1 4， 化简得：x 22（m1）xm2m1 40， 方程有两个正数根， 2(m1)0 m 2m1 40 2(m1) 24(m2m1 4)0 ， 解得：m3 4且 m1 2 例 2将一枚六个面的编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷 出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 axby3 x2y2 有正数解的概率为_ 解：当 2ab0 时，方程组无解； 当 2ab0 时，方程组的解为由a、b的实际意义为 1，2，3，4，5，6 可得 易知a，b都为大于 0 的整数，则两式联合求解可得x62b 2ab
13、，y 2a3 2ab ， 使x、y都大于 0 则有x62b 2ab 0，y 2a3 2ab 0， 解得a1.5，b3 或者a1.5，b3， a，b都为 1 到 6 的整数， 可知当a为 1 时b只能是 4，5，6；或者a为 2，3，4，5，6 时b为 1 或 2， 这两种情况的总出现可能有 31013 种； （1，4） （1，5） （1，6） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 5 5 又掷两次骰子出现的基本事件共 6636 种情况，故所求概率为13 36 同类题型同类题型 2.1 六个面上分别标有 1，1，2
14、，3，4，5 六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这 个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标则 得到的坐标落在抛物线y2x2 x上的概率是（ ） A2 3 B1 6 C1 3 D1 9 解：掷一次共出现 6 种情况，根据图形可知 1，2，3 所对应的数分别是 1，5，4， 在抛物线上的点为： （1，1） ，只有两种情况，因此概率为：2 6 1 3 选 C 同类题型同类题型 2.2 把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两 个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数yx2 mxn的图象与x
15、轴没有公共点的概率是_ 解：二次函数yx2 mxn的图象与x轴没有公共点， 0，即m2 4n0， m2 4n， 列表如下： m、 n 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 共有 36 种等可能的结果，其中满足m2 4n占 17 种， 所以二次函数yx2 mxn的图象与x轴没有公共点的概率17 36 同
16、类题型同类题型 2.3 如图，正方形ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时 滑动如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图 中所示方向按BCDAB滑动到B止点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所 经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P（ ） A4 4 B 4 C1 4 D1 4 6 6 解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为 1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以 1 为半径的四个扇形， 点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去 4 个扇形的面积 而正方形ABC
17、D的面积为 224，4 个扇形的面积为4901 2 360 ， 点M所经过的路线围成的图形的面积为 4， 把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P4 4 选 A 同类题型同类题型 2.4 从1，1，2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y2x a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为1 4 ，且使关于 x的不等式组 x2a 1x2a 有解的概率为 _ 解：当a1 时，y2xa可化为y2x1，与x轴交点为（1 2 ，0） ，与 y轴交点为（0，1） ， 三角形面积为1 2 1 21 1 4 ； 当a1 时，y2xa可化为y2x1，与x轴交点
18、为（1 2 ，0） ，与 y轴交点为（0，1） ， 三角形的面积为1 2 1 21 1 4 ； 当a2 时，y2x2 可化为y2x2，与x轴交点为（1，0） ，与y轴交点为（0，2） ， 三角形的面积为1 2 211（舍去） ； 当a1 时，不等式组 x2a 1x2a 可化为 x21 1x2 ，不等式组的解集为 x3 x3 ，无解； 当a1 时，不等式组 x2a 1x2a 可化为 x21 1x2 ，解得 x1 x1 ，解集为 x1 x1 ，解得x1 使关于x的一次函数y2xa的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为1 4 ，且使关于 x的不等式组 x2a 1x2a 有解的概率为P1 3 例 3若
19、f（n）为n21（n是任意正整数）的各位数字之和，如142 1197，19717，则f（14） 17， 记f1 （n） f（n） ，f2f（f1（n） ）fk1fk （f（n） ） ，k是任意正整数则f2016 （8） （ ） A3 B5 C8 D11 解：82 165，f1 （8）f（8）6511， 同理，由112 1122 得f2 （8）1225；由52 126，得f3 （8）268， 可得f4（8）6511f1 （8） ，f5（8）f2 （8） ， fk3（8）fk （8）对任意kN* 成立 又20163672， f2016（8）f2013（8）f2000（8）f3 （8）8 选 C 同
20、类题型同类题型 3.1 将 1，2，3，100 这 100 个自然数，任意分为 50 组，每组两个数，现将每组的两个数中 任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式1 2 (|ab|ab)中进行计算，求出其结果，50 组数代入后 可求得 50 个值，则这 50 个值的和的最大值是_ 7 7 解：若ab，则代数式中绝对值符号可直接去掉， 代数式等于a， 若ba则绝对值内符号相反， 代数式等于b 由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是a谁是b无关） 既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大， 我们可以枚举几组数，找找规律， 如果 100 和 99 一组，那么 99 就被浪费
21、了， 因为输入 100 和 99 这组数字，得到的只是 100， 如果我们取两组数字 100 和 1 一组，99 和 2 一组， 则这两组数字代入再求和是 199， 如果我们这样取 100 和 99 2 和 1， 则这两组数字代入再求和是 102， 这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大， 由此一来，只要 100 个自然数里面最大的五十个数字从 51 到 100 任意俩个数字不同组， 这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从 51 到 100 的和， 5152531003775 同类题同类题型型 3.2 规定：x表示不大于x的最大整数， （x）表示不
22、小于x的最小整数，x）表示最接近x的 整数 （xn0.5，n为整数） ， 例如： 2.32， （2.3） 3， 2.3） 2 则下列说法正确的是_ （写 出所有正确说法的序号） 当x1.7 时，x（x）x）6； 当x2.1 时，x（x）x）7； 方程 4x3（x）x）11 的解为 1x1.5； 当1x1 时，函数yx（x）x的图象与正比例函数y4x的图象有两个交点 解：当x1.7 时， x（x）x） 1.7（1.7）1.7） 122 5，故错误； 当x2.1 时， x（x）x） 2.1（2.1）2.1） （3）（2）（2）7，故正确； 4x3（x）x）11， 7x3x）11， 7xx）8， 1
23、x1.5，故正确； 1x1 时， 当1x0.5 时，yx（x）x10xx1， 当0.5x0 时，yx（x）x10xx1， 当x0 时，yx（x）x0000， 当 0x0.5 时，yx（x）x01xx1， 当 0.5x1 时，yx（x）x01xx1， y4x，则x14x时，得x1 3 ；x14x 时，得x1 3 ；当 x0 时，y4x0， 当1x1 时，函数yx（x）x的图象与正比例函数y4x的图象有三个交点，故错误， 答案为 同类题型同类题型 3.3 设x表示不大于x的最大整数，x表示不小于x的最小整数，x表示最接近x的整数 （xn0.5，n为整数） 例如3.43，3.44，3.43则方程 3
24、x2xx22（ ） A没有解 B恰好有 1 个解 8 8 C有 2 个或 3 个解 D有无数个解 】解：当x3 时，3x2xx3323318，当x4 时，3x2xx3424 424， 可得x的大致范围为 3x4， 3x3.5 时，3x2xx3324320，不符合方程； 当 3.5x4 时，3x2xx3324421，不符合方程 选 A 同类题型同类题型 3.4 对于实数p，q，我们用符号minp，q表示p，q两数中较小的数，如min1，21，因此， min 2， 3_；若min（x1）2，x2 1，则x_ 解：min 2， 3 3， min（x1）2，x2 1， 当x0.5 时，x2（x1）2
25、，不可能得出，最小值为 1， 当x0.5 时，（x1）2x2 ， 则（x1）2 1， x11， x11，x11， 解得：x1 2，x2 0（不合题意，舍去） ， 当x0.5 时，（x1）2x2 ， 则x2 1， 解得：x1 1（不合题意，舍去） ，x2 1， 综上所述：x的值为：2 或1 例 4已知点A在函数y11 x（x0）的图象上，点 B在直线y2 kx1k（k为常数，且k0）上若 A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点” 请问这两个函数图象上的 “友好点”对数的情况为（ ） A有 1 对或 2 对 B只有 1 对 C只有 2 对 D有 2 对或 3
26、对 解：设A（a，1 a ） ， 由题意知，点A关于原点的对称点B（a，1 a ）在直线y2 kx1k 上， 则1 a ak1k， 整理，得：ka2 （k1）a10 ， 即（a1） （ka1）0， a10 或ka10， 则a1 或ka10， 若k0，则a1，此时方程只有 1 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有 1 对； 若k0，则a1 或a1 k ，此时方程有 2 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有 2 对， 综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为 1 对或 2 对， 选 A 同类题型同类题型 4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： 点A，B都在函数yf（x）的图象上；
27、点A，B关于原点对称，则称A，B为函数yf（x）的一个“黄金点对” 9 9 则函数f（x） |x4|，x0 1 x，x0 的“黄金点对”的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解：根据题意： “黄金点对” ，可知， 作出函数y1 x （x0）的图象关于原点对称的图象， 同一坐标系里作出函数y|x4|，x0 的图象如右图： 观察图象可得，它们在x0 时的交点个数是 3 即f（x）的“黄金点对”有：3 个 选 D 同类题型同类题型 4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的 路径长称为P，Q的“实际距离” 如图，若P（1，1） ，Q（
28、2，3） ，则P，Q的“实际距离”为 5，即PS SQ5 或PTTQ5环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具设A，B，C三个小区 的坐标分别为A（3，1） ，B（5，3） ，C（1，5） ，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实 际距离”相等，则点M的坐标为_ 解：若设M（x，y） ，则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3x1yy5x15x3 y， 10 10 解得，x1，y2，则M（1，2） 同类题型同类题型 4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形， 如果其中一个是 等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线” 如图， 线段CD是ABC的“和谐分割线” ，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A46，则ACB的度 数为_ 解：BCDBAC， BCDA46， ACD是等腰三角形，ADCBCD， ADCA，即ACCD， 当ACAD时，ACDADC1 2 （18046）67， ACB6746113， 当DADC时，ACDA46， ACB464692， 故答案为 113或 92
