1、选修2-3 第二章 随机变量及其分布复习课复习课本章知识结构本章知识结构随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量分布列分布列均值均值方差方差正态分布正态分布两点分布两点分布二项分布二项分布超几何分布超几何分布正态分布密度曲线正态分布密度曲线3原则原则条件概率条件概率两事件独立两事件独立定义定义:如果随着实验的结果变化而变化的变量叫做如果随着实验的结果变化而变化的变量叫做随机随机变量变量。1.随机变量的概念随机变量的概念:如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机
2、变量.2.2.离散型随机变量离散型随机变量注注:随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系对应关系,即是映射即是映射.试验结果的范围相当于函数的定义域试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的随机变量的取值相当于函数的值域取值相当于函数的值域.我们的把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域我们的把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.知识点回顾知识点回顾称为随机变量称为随机变量X X的概率分布列，简称的概率分布列，简称X X的分布列的分布列.X X取每一个值取每一个值 的概率的概率 123,ixxxx则称表则称表(1,2,)ix i (
3、)iiPxp 设离散型随机变量设离散型随机变量X可能取的值为可能取的值为3.概率分布列（分布列）概率分布列（分布列）4.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,1 2 3ipi ，123(2)1npppp5.求离散型随机变量的概率分布列的步骤：求离散型随机变量的概率分布列的步骤：(1)(1)找出随机变量找出随机变量X X的所有可能的取值的所有可能的取值(2)(2)求出各取值的概率求出各取值的概率(3)(3)列成表格。列成表格。ABAB6.条件概率的定义条件概率的定义:7.两个事件相互独立的定义两个事件相互独立的定义:设设A,B为两个事件为两个事
4、件,如果如果P(AB)=P(A)P(B),则称则称事件事件A与事件与事件B相互独立相互独立.结论结论:如果事件如果事件A与事件与事件B相互独立相互独立,那么那么A与与B,A与与B,A与与B也相互独立也相互独立.8 8、什么叫、什么叫n n次独立重复试验？次独立重复试验？9 9、什么叫二项分布？、什么叫二项分布？定义：在相同条件下重复做的定义：在相同条件下重复做的n次试验称次试验称为为n次独立重复试验。次独立重复试验。在在n n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A A恰好恰好发生发生k k次的概率是次的概率是knkknppCkXP )1()(,)XB n pX X服从二项分布服从二项分布并
5、称并称p为成功概率为成功概率定义定义:在在n次独立重复试验中次独立重复试验中,设事件设事件A发生的次数发生的次数为为X,在每次试验中事件在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p,那么那么nk,2,1,0 10、离散型随机变量的均值、离散型随机变量的均值1122iinnE Xx px px px pP1xix2x1p2pipnxnpX11、数学期望的性质、数学期望的性质baEXbaXE )(1212、如果随机变量、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，则则E Xp13、如果随机变量、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p），则），则E Xnp13、随机变量的均值与
6、样本的平均数有何区、随机变量的均值与样本的平均数有何区别？别？随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的。随着样本的不同而变化的。14.离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：22211()()()iinnD XxE XpxE XpxE Xp则称则称为随机变量为随机变量X的的方差方差。21()niiixE XpP1xix2x1p2pipnxnpX称称XD X为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度它们都是反映
7、离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。程度越小，即越集中于均值。15.随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的。本的不同而变化的。16.几个常用公式：几个常用公式：2()D aXba D X(1)XD Xpp若 服从两点分布，则(,)(1)XB n pD Xnpp若，则这条曲线这条曲线就是或近似地是就是或近似地是下面函数的图象：下面函数的图
8、象：22()21(),(,)2xxex 其中实数其中实数和和(0)为参数为参数,我们称的图象我们称的图象为正态分布密度曲线为正态分布密度曲线,简称正态曲线简称正态曲线.X落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:ab y,()yx ,()()baP abx dx XX的分布为正态分布的分布为正态分布.X18.正态分布的定义正态分布的定义:注意注意:可以可以近似的认为近似的认为是均值是均值,是标准差是标准差.012-1-2xy-3=-1=0.5（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.19.19.正态
9、曲线的性质正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 2222()21(),(,)2xxex 012-1-2xy-3=0=0.5012-1-2xy-3=1=0.5=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当一定是时一定是时,曲线随着曲线随着的变化而沿的变化而沿x轴平移轴平移
10、.正态曲线的性质正态曲线的性质22()21()2xxe 20.特殊区间的概率特殊区间的概率:-a+ax=9974.0)33(9544.0)22(6826.0)(XPXPXP 例1如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N 之间通过的概率【例2】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等.用表示取出
11、的3个小球上的最大数字,求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布；（3）计分介于20分到40分之间的概率.解 (1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P（A）=方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记B 则事件A和事件B是互斥事件因为P(B)=所以P(A)=1-P(B)=3 1 1 152 2 231023CCCCC1215 2831013CCCC1 213 3(2)由题意，由题意，所有可能的取值为所有可能的取值为2,3,4,52,3,4,5,P(=2)=P(=3)=P
12、(=4)=P(=5)=所以随机变量的概率分布列为 21122222310130C CC CC21124242310215C CC CC21128282310815C CC CC21126262310310C CC CC130215310815(3)“(3)“一次取球所得分介于一次取球所得分介于2020分到分到4040分之间分之间”的事件记为的事件记为C C，则，则P(C)=P(=3)+P(=4)=P(C)=P(=3)+P(=4)=2313151030【例【例3 3】编号】编号1 1，2 2，3 3的三位学生随意入座的三位学生随意入座编号编号1 1，2 2，3 3的三个座位，每位学生坐一个的三个
13、座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是座位，设与座位编号相同的学生人数是X.X.（1 1）求随机变量）求随机变量X X的概率分布列；的概率分布列；（2 2）求随机变量）求随机变量X X的期望与方差的期望与方差.分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=33213A133312CA33116A1312161110131326 2221110 11
14、 13 11326解:X所有取值为0,1,3【例4】A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析，和 的分布列分别为(1)在A、B两个项目上各投资100万元，和 分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D()、D();（2）将x（0 x100）万元投资A项目，（100-x）万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.1X2X1X2X1Y2Y1Y2Y解 （1）由题设可知 和 的分布列分别为 =50.8+100.2=6,=20.2+80.5+120.3=8,(2)f(x)当 时，
15、f(x)=3为最小值.1Y2Y1EY2215 60.81060.24DY 2EY22222 80.28 80.512 80.312DY 221212222222100100100100100100443 10046003 100100100 xxxxDYDYDYDYxxxx 600752 4x 1Y2Y分析 (1)根据题意，利用公式E(aX+b)=aEX+b求出随机变量Y1、Y2的分布列，进而求出方差D 、D .(2)根据题意建立函数关系式，把问题转化为二次函数的最值问题.1Y2Y【例5】(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5次测
16、试就结束，记次测试就结束，记该生参加测试的次数为该生参加测试的次数为X，求，求X的分布列及的分布列及X的的数学期望数学期望【例6】故故X的分布列为的分布列为举一反三举一反三1、某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为 、.若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值E(),D().1213解析：若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9（万元）.P（=0）=,P（=3）=,P（=9）=.的分布列为111221111233111236121316的数学期望为E()=1110392.5236 D()=414答案：B 答案：C 答案：42
