1、山西省阳泉市山西省阳泉市 2019201920202020 学年度第一学期期末考试试题学年度第一学期期末考试试题 高三文科数学高三文科数学 第第卷卷（选择题共 60 分） 一一. . 选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。合题目要求的。 1.1.已知集合|110 ,PxNx 2 |60 ,QxR xx则PQ等于 A. 1,2,3 B. 2,3 C. 1,2 D. 2 2.2.复数 43 1 2 i z i 的虚部为 A. i B. i C. 1 D. 1
2、3 3. .若 , x y满足 20 40 0 xy xy y ， ， ， ，则 1 2 zxy的最大值为 A. 5 2 B. 7 2 C. 3 D.4 4.4.已知向量 3 1 33 62 ab ，则向量a与2b的夹角是 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5.5.已知数列 n a为各项均为正数的等比数列， n S是它的前n项和，若 2 4 4a，且 43 6aa，则 5 S= A. 31 B. 32 C. 30 D. 29 6.6.程大位是明代著名的数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著 作 卷八中第 33 问：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该
3、问题的程 序框图 执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为 A120 B84 C56 D28 7.7.若双曲线 22 2 10 9 yx a a 的一条渐近线与直线 1 3 yx垂直，则此双曲线的实轴长为 A1B2 C9 D18 8.8.函数 1 ln 1 x f x x 的大致图像为（） A B C D 9.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 1 3 B. 2 3 C1 D. 4 3 10.10.设ABC的内角A BC， ，所对的边分别为abc， ，且3 cos4aCcsin A，已知 ABC的面积等于10，4b，则a的值为 A. 23 3 B. 28 3 C. 26
4、 3 D. 25 3 11.11.关于函数( )cos? 22 3sin cosf xxxx，有下列命题： 对任意x1，x2R R，当x1x2 时，f(x1)f(x2)成立；f(x)在区间, 6 3 上单调 递增； 函数f(x)的图象关于点,0 12 对称； 将函数f(x)的图象向左平移 5 12 个单位长度后所 得到的图象与函数y2sin 2x的图象重合其中正确的命题是 A. B. C. D. 12.12.已知函数 1 lnf xmx x 有两个零点，则实数m的取值范围是 A, e B 1 e ，C0,eD 1 0 e ， 第第 IIII 卷卷（非选择题共 90 分） 二填空题：本大题共二填
5、空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，请将答案填在答题卡上分，请将答案填在答题卡上. . 13.13.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下 雨的概率，用骰子点数来产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现 1 点和 2 点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。得到的 10 组随机数如 下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。则在此次随机模拟试验中，每 天下雨的概率的近似值是 ； 三天中有两天下雨的概率的近似值为 . （第一问 2 分，第
6、二问 3 分） 14.14.已知函数 2 2 4 ,4, log ,4, x xx x f x x 若函数 yf x在区间,1a a上单调递增，则实 数a的取值范围是 . 15.15.已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 点 00 ,2 2 2 p M xx 是抛物线C上一 点，以点M为圆 心3为半径的圆与直线 2 p x 交于E，G两点，若2 2EG ，则抛物线C的方程 是 . 16.16.已知四面体ABCD内接于球O， 且2,2A BB CA C， 若四面体ABCD的体积为 2 3 3 ，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共
7、6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.17.（本小题满分 12 分）数列 n a中， 1 1 2 a ， 1 1 2 2 n nn aa * ()nN，数列 n b满 足2n nn ba * ()nN （1 1）求证：数列 n b是等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2 2）设 2 log n an n c ，求数列 1 2 nn c c 的前n项和 n T 18.18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAC为正三角形，M为棱PA的 中点，ABAC， 1 2 ACBC， 平面PAB 平
8、面PAC （1 1）求证：AB 平面PAC； （2 2）若2AC ，求三棱锥PBMC体积 1919 （本小题满分 12 分）近年来，新高考改革打破文理分科的“3 3”模式，其中语、数、 外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目。选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不 直接用， 而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分， 假定 A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分 别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省 某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排
9、名） ，已 知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎 叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分 （1 1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分； （2 2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值； （3 3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此 次考试选考科目包括化学的概率 20.20.（本小题满分 12 分）已知 12 2,0 ,2,0FF是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的两个 焦点，M是椭圆C上一点， 当 112 MFFF时，有 21 3MFMF . （
10、1 1）求椭圆C的标准方程； （2 2）设过椭圆右焦点 2 F的动直线l与椭圆交于,A B两点，试问在x铀上是否存在与 2 F不 重合的定点T，使得 22 ATFBTF 恒成立？若存在，求出定点T的坐标，若不存在， 请说明理由. 21.21.（本小题满分 12 分）已知函数 1 1ln x f xea xx (aR，e是自然对数的 底数). （1 1）设 g x fx (其中 fx 是 f x的导数)，求 g x的极小值； （2 2）若对1,x，都有 1f x 成立，求实数a的取值范围 选考题：共选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，按
11、所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计 分分 22.22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y （ 为参数） ，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin. （1 1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2 2）已知曲线 3 C的极坐标方程为(0,)R ，点A是曲线 3 C与 1 C的交点， 点B是曲线 3 C与 2 C的交点，A，B均异于原点O，且4 2AB ，求的值. 23.23.（本小题满分 10 分）已知( )221f xxx的最小值为t.
12、（1 1）求t的值； （2 2）若实数a，b满足 22 22abt，求 22 14 ab 的最小值. 山西省阳泉市 20192020 学年度第一学期期末考试 高三文科数学参考答案与评分标准高三文科数学参考答案与评分标准 一一. . 选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 D D C C B B C C A A D D B B A A B B D D C C A A 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题
13、，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，分， 13.13. 1 3 , 1 5 （第一问 2 分，第二问 3 分） 14.14. ,14, 15.15. 2 4yx.16.16.16 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分 17.17.（1）由 1 1 2 2 n nn aa ，即 1 1 221 nn nn aa 而2n nn ba， 1 1 nn bb ，即 1 1 nn bb 又 11 21ba，数列 n b是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是1 (1) 1=2n nn bnna ， 2 n n n a .6 分 （2） 22 log
14、log 2n n n n cn a ， 1 2211 2 (1)1 nn c cn nnn . 111111111 21 2233411 n T nnnn 12 2 1 11 n nn 12 分 18.18.（1 1）PACQ为等边三角形，且M为PA的中点，CMPA. 平面PAB 平面PAC，平面PAB平面PACPA，CM 平面PAC， CM平面PAB，AB 平面PAB，ABCM. 又ABAC，CMACCI，AC、CM 平面PAC，AB平面 PAC；.6 分 （2 2）ABAC，且2AC ，24BCAC， 22 2 3ABBCAC . 又PAC是边长为2的等边三角形，且M为PA的中点，则CMP
15、A， 且sin603CMPC o ，PMC的面积为 113 13 222 PMC SPM CM . 因此，三棱锥PBMC的体积为 113 2 31 332 P BMCB PMCPMC VVSAB .12 分 1919 （1） 1 1 10 (0.0050.0150.0250.035)0.1 2 ，100.0050.05， 此次考试物理成绩落在(80,90，(90,100内的频率依次为0.1，0.05， 频率之和为0.15， 且小明的物理成绩为82分，大于80分，处于前15%，小明物理成绩的最后得分为70 分.4 分 （2）因为40名学生中，赋分70分的有40 15%6人，这六人成绩分别为89，
16、91，92， 93，93，96；赋分60分的有40 35%14人，其中包含80多分的共10人，70多分的 有4人，分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明 化学70多分， 所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78，79.8 分 （3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A，a，b，c，d，e，小明的所 有可能选法有( , , )A a b，( , , )A a c，( , , )A a d，( , , )A a e，( , , )A b c， ( , , )A b d，( , , )A b e， ( , , )A c d，( , , )A c e，
17、( , , )A d e共 10 种， 其中包括化学的有( , , )A a b，( , , )A a c，( , , )A a d，( , , )A a e共 4 种， 若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为： 42 105 P .12 分 20 （1 1）由题知，椭圆 22 22 :10 xy ab ab 的半焦距为c=2，又由椭圆的定义可知 21 2MFMFa ，即 1 42MFa ， 2 1 2 2 b MFa a ， 22 4,8ba 椭圆的方程为 22 84 xy 1. 5 分 （2 2）假设存在符合条件的点T满足 22 ATFBTF ，则x轴为 AT
18、B的角平分线，即直 线AT与BT的斜率之和为 0，设T（t，0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设直线l的方程为y k（x2） ， 由 22 28 2 xy yk x ，可得（2k 2+1）x28k2x+8k280， 2 12 2 8 21 k xx k ， 2 12 2 88 21 k x x k ，.8 分 由0 ATBT kk，得 12 12 yy xtxt 0， 12 12 22k xk x xtxt 0， 1212 2240x xtxxt， 解得t4，即T（4， 0） ， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2， 与椭圆的交点坐标分别为（2， 2） ， （2，2 ）
19、，显然满足kAT+kBT0， 存在点T（4，0） ，满足题意.12 分 21.21.() 1 1 0 x g xfxea x x ， 1 2 1 x gxe x . 令 1 2 1 0 x xgxex x ， 1 3 2 0 x xe x ， gx 在0 ，上为增函数， 10 g . 当01x，时， 0gx ；当1x，时， 0gx ， g x的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为1 ， 12g xga 极小 6 分 ()由()知， fx 在1 ，上单调递增，在(0，1)上单调递减， 12fxfa . 当2a时， 0fx ， f x在1 ，上单调递增， 11f xf，满足条件； 当2a 时，
20、 120fa . 又 ln 11 ln10 ln1ln1 a faea aa ， 0 1 ln1xa， 使得 0 0fx， 此时， 0 1xx ， 0fx； 0 ln1xxa， 0fx， f x在 0 1 x，上单调递减， 0 1xx ，都有 11f xf，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为2，12 分 选考题：共选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计 分分 22.22.（1）由 22 2 xcos ysin 消去参数，得 1 C的普通方程为 2 2 24xy. 由4s
21、in，得 2 4 sin，又siny， 222 xy， 所以 2 C的直角坐标方程为 2 2 24xy5 分 （2）由（1）知曲线 1 C的普通方程为 2 2 24xy，所以其极坐标方程为4cos. 设点A，B的极坐标分别为, A ，, B ，则4cos A ，4sin B ， 所以4 cossin4 2 sin4 2 4 AB AB ， 所以sin1 4 ，即 42 kkZ ，解得 3 4 kkZ ， 又0，所以 3 4 10 分 23.23.（1） 31,1 ( )2213, 11 31,1 xx f xxxxx xx ， f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， f（x）minf（1）2，t2；.5 分 （2）由（1）可知 2a 2+2b22，则 a 2+b21， 2222 22 22222222 141444 55+2=9 baba ab abababab ， 当且仅当 22 22 4 = ba ab ，即 2 1 3 a ， 2 2 3 b 时取等号， 故 22 14 ab 的最小值为 9.10 分
