1、吉林省长春市吉林省长春市 20202020 届高三数学一模考试试题届高三数学一模考试试题 文（含解析）文（含解析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.复数2zi=-，则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 试题分析：复数2zi 的共轭复数为2zi ，在复平面内对应点的坐标为， 所以位于第三象限。选 C 考点：复数的概念及运算 2.已知集合 |2,2Ax xx或或， 2 |30Bx xx ，则AB ( )
2、 A. B. |3,x x 或x2- C. |3,x x 或0x D. |3,x x 或2x 【答案】B 【解析】 【分析】 先将B集合中表示元素x的范围求出，然后再求两个集合的交集. 【详解】 |2,2Ax xx或或， 2 |30 |0,3Bx xxx xx或或 AB |3,x x 或x2- 故选：B. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题. 3.已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 5 15S ， 4 5a ，则 9 S ( ) A. 45 B. 63 C. 54 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】 根据给出条件求出 3 a，利用 3
3、 a， 4 a， 5 a成等差数列计算 5 a，再根据前n项和性质计算 9 S的 值. 【详解】由 5 15S 得 3 3a ， 4 5a , 5 7a 95 963Sa 故选：B. 【点睛】等差数列性质： 2(2 ) mnpqc aaaaa mnpqc ； 等差数列前n项和性质： 121 21 ()(21) (21) 2 n nn aan Sna . 4.已知条件:1p x ，条件:2q x，则p是q的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用集合间的关系推出p q、 之间的关系. 【详解】 |1x x
4、 |2x x ，则p是q的必要不充分条件, 故选：B. 【点睛】p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B： p是q的充分不必要条件则有：A B ； p是q的必要不充分条件则有：B A . 5.2019 年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是 党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书 馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编 号为 2， ，2018 年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进
5、行回归分析） ，得到回归直线13.7433095.7yx，其相关指数 2 R0.9817 ，给出下列结论，其中正确的个数是( ) 公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个 可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据b和 2 R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据b的值判断平均每年增加量； 根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数. 【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又 2 R0.9817 趋近于 1，所以相关
6、性较强，故正确；由回归方程知正确； 由回归方程，当7x 时，得估计值为 3191.93192，故正确. 故选：D. 【点睛】 回归直线方程中的b的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负； 相关系 数 2 R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强. 6.已知直线0xy与圆 22 (1)()2xyb相切，则b ( ) A. 3 B. 1 C. 3或1 D. 5 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解. 【详解】由圆心到切线的距离等于半径，得 22 |1| 2 11 b |1| 2b13bb 或或 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关
7、系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距 离等于半径. 7.已知 3 1 ( ) 3 a ， 1 3 3b ， 1 3 log 3c ，则( ) A. abc B. cba C. cab D. bca 【答案】C 【解析】 【分析】 分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系. 【详解】因为 30 11 ( )( )1 33 a ， 1 0 3 331 ， 11 33 log 3log 10 ， 所以01,1,0abc，cab， 故选：C. 【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多 情况下都会和1作比较） ，在比较的过程中注意各函数单调性的使用.
8、8.已知, ,a b c为直线，, 平面，则下列说法正确的是( ) ,ab，则/ /ab , ，则 / / , / /ab，则/ /ab /,/ ，则/ / A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 可根据线面垂直的性质定理判断；可借助正方体进行判断. 【详解】由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；选取 正方体的上下底面为、以及一个侧面为，则/ /，故错误；选取正方体的上底面 的对角线为ab、，下底面为，则/ /ab不成立，故错误；选取上下底面为、，任意 作一个平面平行上底面为，则有 / /成立，故正确.所以说法正确的有：. 故选：D. 【点睛】对于用符
9、号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意 图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数2sin()yx(0,|) 2 的图象 （部分图象如图所示） ， 则其解析式为( ) A. ( )2sin(2) 6 f xx B. ( )2sin() 6 f xx C. ( )2sin(4) 6 f xx D. ( )2sin() 6 f xx 【答案】A 【解析】 【分析】 （1）通过(0,1)以及的范围先确定的取值，再根据 ( )f x过点 11 (,0) 12 计算的取值. 【详解】由2sin(0)1, | 2 , = 6 ， 由 11111124 2sin()0,002 12
10、1261211 kkZT 即2sin(2) 6 yx ， 即为 ( )f x解析式. 【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意： （1）根据周期求解的值； （2） 根据图象所过的特殊点求解的值； （3）根据图象的最值，确定A的值. 10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇 形制作而成， 设扇形的面积为 1 S， 圆面中剩余部分的面积为 2 S， 当 1 S与 2 S的比值为 51 2 时， 扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A. (35) B. ( 51) C. ( 51) D. ( 52) 【答案】A 【解析
11、】 【分析】 根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形 的圆心角. 【详解】 1 S与 2 S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设 1 S与 2 S所在扇形圆心角分别为, ， 则 51 2 ，又2，解得(35) 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式： 2 11 22 Srlr，其 中是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长. 11.已知F是抛物线 2 4yx 的焦点， 则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于,A B（A 在x轴上方）两点，则 | | AF BF 的值为( ) A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【
12、解析】 【分析】 根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将 | | AF BF 表示出来， 然后代入相应值计算即 可. 【详解】| 1cos60 p AF ，| 1cos60 p BF |10.5 3 |10.5 AF BF . 【点睛】焦点在x轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为的直线与抛物线交于,A B两点， 且| |AFBF，则有| 1cos p AF ，| 1cos p BF ， 2 2 | sin p AB . 12.已知函数 1(0) ( ) (0) x ex f x xx ，若存在 0 xR 使得 00 ()(1)1f xm x 成立，则实 数m的取值范围为( ) A. (
13、0,) B. 1,0)(0,) C. (, 11,) D. (, 1 (0,+ ) 【答案】D 【解析】 【分析】 数形结合去分析，先画出 ( )f x的图象，然后根据直线过(1, 1) 将直线旋转，然后求解满足条 件的m取值范围. 【详解】如图, 直线 0 (1)1ym x过定点(1, 1)P,m为其斜率，0m 满足题意， 当0m时，考虑直线与函数1 x ye相切，此时 0 0 0 (1) 11 x x m xe me ，解得 0 1 0 m x ， 此时直线与1 x ye的切点为(0,0)，1m 也满足题意.选 D 【点睛】分段函数中存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，
14、尤其 是直线与曲线的位置关系，这里需要注意： （1）直线过定点； （2）临界位置的切线问题. 二、填空题二、填空题. . 13.已知 1 sincos 225 ，则sin_. 【答案】 24 25 【解析】 【分析】 将所给式子平方，找到sin与sincos 22 的关系. 【详解】 1 sincos 225 平方得 24 2sincos 2225 24 sin 25 . 【点睛】sincos与sincos的关系： 2 (sincos)12sincos ； 14.设变量 , x y满足约束条件 0 34 20 xy xy x ，则3zxy的最小值等于_. 【答案】8 【解析】 【分析】 作出不
15、等式组表示的可行域，采用平移直线法计算对应直线的截距，从而得到z的最值. 【详解】画出可行域如图，3zxy变形为 11 33 yxz， 过点 A（-2，-2） ，z 取得最大值 4，过点 C(-2 2)取得最小值8. 【点睛】本题考查线性规划的内容，难度较易.线性规划问题，如果是线性的目标函数采用平 移直线法是常规的选择；如果是非线性的目标函数，则需要分析目标函数所表示的几何意义. 15.三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC,10PA ,2,2ABAC，则 三棱锥PABC的外接球的表面积为_. 【答案】16 【解析】 【分析】 根据题设位置关系， 可知以,AB AC PA为长、 宽、 高
16、的长方体的外接球就是三棱锥PABC 的外接球，根据这一特点进行计算. 【详解】设外接球的半径为R，则 2222 (2 )16RPAABAC 16S 【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者 长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径. 16.已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 (,)mbc ab,(sin,sinsin)nCAB，且mn，则A _;若ABC的面积为 3，则ABC的周长的最小值为_. 【答案】 (1). 3 (2). 6 【解析】 【分析】 先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解A的值；根据面
17、积以及在余弦定 理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）. 【详解】由m n 得(,) (sin,sinsin)()sin()(sinsin)0m nbc abCABbcCabAB ()()()0bc cab ab得 222 abcbc, 222 1 cos 22 bca A bc 3 A ； 1 sin3 2 SbcA4bc 又 22222 4abcbcbc 所以 22 42426abcbcbcbcbc （当且仅当2bc时等号成立） 【点睛】 （1） 1122 ( ,),(,)ax ybx y，若ab垂直，则有： 1212 0x xy y； （2） 22 2(0,0)aba
18、b ab取等号的条件是：ab. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知数列 n a中， 1 2a ， 1 1 22n nn aa ，设 2 n n n a b . （）求证：数列 n b是等差数列； （）求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n S. 【答案】 （）见证明； （） 1 1 1 n S n 【解析】 【分析】 （1）证明 1nn bbc （c为常数）即可； （2）将 1 1 nn b b 采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解 n S. 【详解】 （）证明：当2n时， 11 1 1
19、2 1 222 nnnn nn nnn aaaa bb 1 1b ，所以 n b是以为1首项，为1公差的等差数列. （）由（）可知， n bn，所以 +1 111 1 nn b bnn ， 所以 111111 11 22311 n S nnn . 【点睛】常见的裂项相消形式： （1） 111 (1)1n nnn ； （2） 111 11nnnn ； （3） 1111 () (21)(21)2 2121nnnn ； （4） 11 2 311 (31)(31)3131 n nnnn . 18.环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单
20、位内行车里程（单位：公里）的测试结果. （）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组； （）用分层抽样的方法从行车里程在区间38,40)与40,42)的新车模型中任取 5 辆，并从 这 5 辆中随机抽取 2 辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在40,42)内的概率. 【答案】 （）图略，中位数在区间36,38).（） 3 5 【解析】 【分析】 （1）画出频率分布直方图后，找到频率总和为0.5时对应的分组区间； （2）先利用分层抽样计算每组内抽取的辆数，然后对车辆进行标记，利用古典概型计算目标 事件的概率. 【详解】 （）由题意可画出频率分布直方图如图所示： 前3组频率总和为
21、2(0.030.050.1)0.36，第4组频率为2 0.150.3，且 0.360.30.5 ，则由图可知，中位数在区间36,38). （）由题意，设从38,40)中选取的车辆为, ,A B C，从40,42)中选取的车辆为, a b， 则从这 5 辆车中抽取 2 辆的所有情况有 10 种，分别为 ,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab， 其中符合条件的有 6 种，,Aa Ab Ba Bb Ca Cb，所以所求事件的概率为 3 5 . 【点睛】中位数计算方法： （1）找到频率总和为0.5所在的区间段； （2）计算前几组频率总和，记为a，频率总和为0.5所在的区间段的频率
22、记为b； （3）计算 0.5a b 组距，记为c； （4）频率总和为0.5所在的区间段的左端点值c得到的结果即为中位数. 19.在三棱柱 111 ABCABC中，平面ABC、平面 1 ACC A、平面 11 BCC B两两垂直. （）求证： 1 ,CA CB CC两两垂直； （）若 1 CACBCCa，求三棱锥 11 BABC 的体积. 【答案】 （）见证明； （） 31 6 a 【解析】 【分析】 （1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证 1 ,CA CB CC中任意一条直线垂直于另外 两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线； （2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计
23、算体积. 【详解】 （）证明：在ABC内取一点P，作,PDAC PEBC， 因为平面ABC 平面 11 ACC A，其交线为AC，所以PD 平面 11 ACC A， 1 PDCC， 同理 1 PECC，所以 1 CC 平面ABC， 11 ,CCAC CCBC， 同理ACBC，故 1, ,CC AC BC两两垂直. （）由（）可知，三棱锥 11 ABCB的高为 11 ACa， 1 2 1 11 22 BCB SBC BBa ，所以三棱锥 11 BABC 的体积为 31 6 a. 【点睛】 （1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直； （2）计算棱锥的体积
24、时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a 20.已知点( 1,0),(1,0)MN ，若点( , )P x y满足| 4PMPN （）求点P的轨迹方程； （）过点(3,0)Q 的直线l与（）中曲线相交于,A B两点，O为坐标原点， 求AOB 面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】 （） 22 1 43 xy ； （） AOB面积的最大值为 3，此时直线l的方程为 6 3 3 xy . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义求解轨迹方程； （2）设出直线方程后，采用 1 | 2 ABd（d表示原点到直线AB的距离）表示面积，最后 利用基本不等式求解最值. 【详解】解： （）由定义法
25、可得，P点的轨迹为椭圆且24a ，1c . 因此椭圆的方程为 22 1 43 xy . （）设直线l的方程为3xty与椭圆 22 1 43 xy 交于点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，联立直线与椭圆的方程消去x可得 22 (34)6 330tyty ， 即 12 2 6 3 34 t yy t ， 12 2 3 34 y y t . AOB面积可表示为 2 121212 11 | |3()4 22 AOB SOQyyyyy y 2222 2222 16 3332 36 3()493431 2343423434 t ttt tttt 令 2 31tu ，则1u，上式可化为 2
26、 66 3 3 3 u u u u ， 当且仅当 3u ，即 6 3 t 时等号成立， 因此AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为 6 3 3 xy . 【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题： （1）已知点(,0),( ,0)McN c ，若点( , )P x y满足| 2PMPNa且22ac，则P的轨 迹是椭圆； （2）已知点(,0),( ,0)McN c ，若点( , )P x y满足| 2PMPNa且22ac，则P的 轨迹是双曲线. 21.设函数 1 ( )ln x f xx x . （）求函数 ( )f x的极值； （）若(0,1)x时，不等式 1 ln2 (1) x x
27、 ax 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （） ( )2f x 极小值 ，无极大值； （）01a 【解析】 【分析】 （1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值； （2）对所给不等式进行变形，将lnx分离出来便于求导，同时构造新函数 2 (1) ( )ln (01) 1 a x g xxx x ，分析(0,1)x时，( )0g x恒成立时a的范围. 【详解】解： （）令 2 1 ( )0 x f x x ，1x x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 + ( )f x 极小值 ( )= (1)2f xf 极小值 ，无极大值； （II）由题意可知，0a ，则原不等式等价于 2
28、(1) ln0 1 a x x x ， 令 2 (1) ( )ln (01) 1 a x g xxx x ， 2 2 (24 )1) ( ) (1) xa x g x x x ， 当01a时， 2 (24 )10xa x ，( )0g x ，( )g x在(0,1)上单调递减， ( )(1)0g xg，成立； 当1a 时， 2 000 (0,1),(24 )10xxa x ， 使得当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x单调递减， 当 0 (,1)xx时，( )0g x，( )g x单调递增，故当 0 (,1)xx时，( )(1)0g xg，不成立； 综上所述，01a. 【点睛】根
29、据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法： （1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析） ； （2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）. 22.在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ， 以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 2 4cos3. （）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （）直线l与圆C交于,A B两点，点(1,2)P，求| |PAPB的值. 【答案】（） 直线l的普通方程为30xy， 圆C的直角坐标方程为 22 430xyx. （）2
30、 【解析】 分析】 （1） 求直线l的普通方程， 消去参数t即可； 求圆的直角坐标方程利用 cos sin x y 互化即可. （2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t的几何意义求解| |PAPB的值. 【详解】解： （）直线l的普通方程为30xy， 圆C的直角坐标方程为 22 430xyx. （）联立直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程可得 22 222 (1)(2)4(1)30 222 ttt， 化简可得 2 3 220tt . 则 1 2 | | | 2PAPBt t. 【点睛】 （1）直角坐标和极坐标互化公式： cos sin x y ； （2）直线过定点P，与圆锥曲线的交点为AB
31、、，利用直线参数方程中t的几何意义求解： | | |ABPAPB、，则有 12 | |ABtt， 1 2 | | |PAPBt t. 23.已知函数( ) |3|1|f xxx . （）解关于x的不等式( )1f xx ； （） 若函数 ( )f x的最大值为M， 设0 ,0ab ， 且(1 ) (1 )abM， 求ab的最小值. 【答案】 （）(, 5 1,3 ； （）最小值为 2 【解析】 【分析】 （1）采用零点分段的方法解不等式； （2）计算出 ( )f x的最大值，再利用基本不等式求解 ab的最小值. 【详解】 （）由题意 (3)(1),34,3 ( )(3)(1), 3122, 3
32、1 (3)(1),14,1 xx xx f xxxxxx xxxx 当3x 时，41x，可得5x ，即5x . 当31x 时，221xx，可得1x ，即11x . 当1x 时，41x，可得3x ，即13x 综上，不等式( )1f xx 的解集为(, 5 1,3 . （）由（）可得函数 ( )f x的最大值 4M ，且14abab ， 即 2 3()() 2 ab abab ，当且仅当ab时“=”成立， 可得 2 (2)16ab，即2ab，因此ab的最小值为 2. 【点睛】 （1） 解绝对值不等式， 最常用的方法就是零点分段： 考虑每个绝对值等于零时x的值， 再逐段分析； （2）注意利用| |xaxbab，| |xaxbab求解最值.
