1、第八节：第八节：多元函数的极值多元函数的极值一元一元函数函数 y=f(x)的极值概念：的极值概念：1x 1x 1x2xxy0)(xfy),(1xUx 总有总有,)()(1xfxf,1称为极小值点称为极小值点x ,)(1称为极小值称为极小值xf),(),(1111 xxxx（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若（极值存在的必要条件）若 f(x)在极值点在极值点处可导，则导数一定为处可导，则导数一定为 0，反之不成立。，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）（
2、驻点为极值点的充分条件）设设,0)(0 xf存在，则有存在，则有)(0 xf（1）如果）如果0)(0 xf)(0 xf（3）如果）如果0)(0 xf，则，则为为 f(x)的极小值；的极小值；（2）如果）如果0)(0 xf)(0 xf，则，则为为 f(x)的极大值；的极大值；，定理失效。，定理失效。（一）二元函数的极值一）二元函数的极值定义定义：设：设 z=f(x,y)的定义域为的定义域为 D，DyxP),(000总有总有),(),(00yxfyxf 总有总有是是 D 的一个内点，的一个内点，则则称称),(00yxf是是 f(x,y)的极大值；的极大值；则则称称),(00yxf是是 f(x,y)
3、的极小值。的极小值。),(),()(01PUyx 当当若若存在点存在点 的一个去心邻域的一个去心邻域0PDPPyxPPU|),()(000),(),()(02PUyx 当当),(),(00yxfyxf 极大值和极小值统称为极值极大值和极小值统称为极值；使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元函数同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念极值也是一个局部概念(1)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 极值点必是极值点必是 D 的内点的内点；利用点函数的概念，上述二元函数利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以极值的概念可以
4、 推广到推广到 n 元函数的情形元函数的情形(2)例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数),(00 xyz 因为在点因为在点(0,0)处，函数值为处，函数值为 0，而在而在点点(0,0)的任何邻域内的任何邻域内，即有使函数值大于，即有使函数值大于0 的点，的点，也有使函数值小于也有使函数值小于 0 的点。的点。xy 0 定理定理 1:（极值存在的必要条件）如果（极值存在的必要条件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在点在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：问题：什么点可能成
5、为极值点？什么点必定是极值点？什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？000),(yxfy),(0yx),(yx证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为因为 f(x,y)在点在点0P有有极大值极大值),(000yxP),(0PU,)(),(时时当当0PUyx),(),(00yxfyxf,时时特特别别当当00 xxyy ),(),(000yxfyxf 定理定理 1:（极值存在的必要条件）如果（极值存在的必要条件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在点在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有处有极值，且两个一阶偏导数存
6、在，则有问题：问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？000),(yxfy),(0yx),(yx证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似),(000yxP,时时特特别别当当00 xxyy ),(),(000yxfyxf 这这表明一元函数表明一元函数),(0yxf在点在点0 xx 处处取得极大值，取得极大值，因此因此000),(yxfx同理可证同理可证000),(yxfy 凡是能使凡是能使 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。但驻点不一定是极
7、值点。同时成立的点同时成立的点 称为函数的驻点称为函数的驻点。),(00yx,),(000 yxfx000),(yxfy 极值点也可能是使偏导数极值点也可能是使偏导数 不存在的点。不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数极值点只可能在驻点或使偏导数 不存在的点不存在的点中产生。中产生。例例1：1),(22 xyyxf解：解：,02 xfx得驻点得驻点)0,0(,1)0,0(f,0,0时时当当 xy11)0,(2 xxf,0,0时时当当 yx11),0(2 yyf,1)0,0(不不是是极极值值 f该该函数无极值。函数无极值。)0,(x),0(yxy0)0,0(f)0,0(f,02 yfy定理定理
8、 2:（极值存在的充分条件）如果（极值存在的充分条件）如果 ),(yxf),(00yx,),(000 yxfx（1）（2）在点在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当时具有极值，且当 A 0 时，有极小值；时，有极小值；02 BAC时没有是极值；时没有是极值；（3）02 BAC时可能有极值，也可能没有极值，时可能有极值，也可能没有极值，还需另作还需另作讨论。讨论。具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数 f(x,y)的极值的求法：的极值的求法：第一步：第一步：解方程组解方程组求出求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。所有实数解，即求得函数
9、的所有驻点。第二步：第二步：对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx第三步：第三步：定出定出),(00yxf计算二阶偏导数值计算二阶偏导数值 A、B、C。的符号，按定理的符号，按定理 2 判定判定是否是极值，是极大值还是极小是否是极值，是极大值还是极小值值 ,),(,),(000000yxfyxfyx2BAC 例例2：求求 的极值的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03),(23（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。,66 xfA
10、xx,0 yxfB,yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断2BAC 的的符号符号,|)(),(072012 BAC,|),(01201 A且且所以所以(1,0)为极小值点，为极小值点，501 ),(f为为极小值。极小值。),(|)(212BAC所以点所以点(1,2)和和(3,0)不是函数的极值点。不是函数的极值点。),(|)(032 BAC072 例例2：求求 的极值的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21
11、),(03),(23,66 xfAxx,0 yxfB,yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断2BAC 的的符号符号（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。,|)(),(072232 BAC所以所以(3,2)是极大值点。是极大值点。,|),(01223 A且且3123 ),(f为为极大值。极大值。例例2：求求 的极值的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03),(23,66 xfAxx,0
12、yxfB,yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断2BAC 的的符号符号（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。例例4、求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导04222 xxzzzx解解得得驻驻点点为为)1,1(P,04222 yyzzzy 又在驻点处必有又在驻点处必有,0 yxzz所以所以022 x022 y 04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)(将将上述方程组
13、两边上述方程组两边分别再对分别再对 x,y 求偏求偏导数，得导数，得解解例例4、求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值 解解得得驻驻点点为为)1,1(P,在驻点处必有在驻点处必有,0 yxzz04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)(021 xxzz)(0 yxz021 yyzz)()(2z在驻点处在驻点处,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(|)(zBACP所以驻点所以驻点(1,1)为极值点为极值点例例4、求由方程求由方程yxzyx222
14、22 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值 得得驻驻点点为为)1,1(P,解解在驻点处必有在驻点处必有,0 yxzz,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(|)(zBACP所以驻点所以驻点(1,1)为极值点为极值点将将)1,1(P代代入入原原方方程程,01242 zz,21 z62 z,时时当当21 zPxxzA|,041 所以所以2 z为极小值；为极小值；,时时当当62 zPxxzA|,041 所所以以6 z为为极极大大值值；（二）最大值和最小值（二）最大值和最小值 如果如果 f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续，则它在上
15、连续，则它在 D 上上 必定取得最大值和最小值。必定取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在 D 的的 内部，也可能在内部，也可能在 D 的边界上。的边界上。假定函数在假定函数在 D 上连续、在上连续、在 D 的内部可微且仅有有限的内部可微且仅有有限 个驻点，这时如果函数在个驻点，这时如果函数在 D 的内部取最大或最小值，的内部取最大或最小值，则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点 上取得。上取得。求函数最大值和最小值的一般方法：求函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在求函数
16、在 D 内的所有驻点；内的所有驻点；（2）求函数在求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上上 的最大值，最小者就是最小值。的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在内只有一个驻点，则该驻
17、点就是函数在 D 上的最大或上的最大或 最小值点。最小值点。例例1：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：24cmxxx224 x224 梯形的上底长为梯形的上底长为x224 cosx2 高为高为 sinx sin)()cos(xxxxA 22242224其中其中,120 x,20 例例1：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能
18、使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：sin)()cos(xxxxA 22242224 sin)sincos(sinxx2422 问题转化为求面积函数问题转化为求面积函数 A=A(x,)在区域在区域 D20120 ,x上的上的最大值最大值（1）求）求 A=A(x,)在在 D 内的驻点内的驻点02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 例例1：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形
19、的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：x 0D sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 注意到注意到00 sin,x得得唯一驻点唯一驻点,38 x,),(34838 A例例1：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:x
20、D得得唯一驻点唯一驻点,38 x,),(34838 A（2）在）在 D 的边界上的边界上,:1202 xD ,),(22242xxxA 04242 xxAx),(,6 x x0D 例例1：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：sin)sincos(sinxxA2422 得得唯一驻点唯一驻点,38 x,),(34838 A（2）在）在 D 的边界上的边界上,:1202 xD ,),(22242xxxA ,6 x7226)
21、,(Ax 0D 348 所以当所以当,时时38 x断面的面断面的面积最大。积最大。例例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解：解：设箱子的长、宽、高分别为设箱子的长、宽、高分别为 x,y,z,容积容积为为 V ,表面积为表面积为 S，则则,zyxV )(2xzzyyxS ,yxVz 或或)(2yVxVyx 0,0|),(yxyxD,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy解解上述方程组得唯一驻点上述方程组得唯一驻点),(33VV 根据实际问题可知根据实际问题可知 S 一定存在最小值
22、一定存在最小值，并且，并且一定在一定在 D 的内部取得，的内部取得，所以驻点所以驻点),(33VV即当即当33,VyVx yxVz ,时时3V 表面积表面积 S 取得最小值取得最小值，此时用料最省。，此时用料最省。)(2xzzyyxS )(2yVxVyx ,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy是使是使 S 取得最小值的点取得最小值的点（三）条件极值与拉格朗日乘数法三）条件极值与拉格朗日乘数法例：例：求表面积为求表面积为2a解：解：设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积体积为为 V ,则则问题可描述为：问题可描述为：求求体积体积 zyxV 在在约束条件约
23、束条件2)(2axzzyyx 下的下的最大值最大值解解出出由由2)(2axzzyyx )(222yxyxaz zyxV 所所以以 yxyxayx222转化为无条件极转化为无条件极值问题。值问题。而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。假设假设),(00yx为一极值为一极值点，则点，则000),(yx 又又进一步假设进一步假设 (x,y)在在),(00yx的某一邻域内的某一邻域内具有一阶连续偏导数，且具有一阶连续偏导数，且000),(yxy 则则
24、(x,y)=0 确定了一个隐函数确定了一个隐函数)(xy 代入代入目标函数目标函数 z=f(x,y)中得中得)(,xxfz 它在它在0 xx 处处取得极值，故必有取得极值，故必有00 xxdxdz000000 xxyxdxdyyxfyxf),(),(假设假设),(00yx为一极值为一极值点，则点，则000),(yx 则则 (x,y)=0 确定了一个隐函数确定了一个隐函数)(xy 000000 xxyxdxdyyxfyxf),(),(又由隐又由隐函数求导公式有函数求导公式有),(),(00000yxyxdxdyyxxx 所以所以000000000 ),(),(),(),(yxyxyxfyxfyx
25、yx 问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。假设假设),(00yx为一极值为一极值点，则点，则000),(yx 所以所以000000000 ),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx ,),(),(0000yxyxfyy 令令则有则有00000 ),(),(yxyxfxx 00000 ),(),(yxyxfyy 000),(yx 此即为此即为问题问题1 在在处处),(00yx取极值的取极值的必要必要条件条件问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)
26、=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。00000 ),(),(yxyxfxx 00000 ),(),(yxyxfyy 000),(yx ,),(),(),(yxyxfyxL 引入辅助函数引入辅助函数则则),(00yxLx00000 ),(),(yxyxfxx ),(00yxLy00000 ),(),(yxyxfyy ),(00yxL000 ),(yx 问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。拉格朗日拉格朗日函数函数拉格朗日乘子拉格朗日乘子拉格朗日拉格朗日乘数法：乘数
27、法：（1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：),(),(),(yxyxfyxL 其中，其中，为参数，称之为拉格朗日乘子。为参数，称之为拉格朗日乘子。（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。),(yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),(yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),(yxL0 ),(yx （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往
28、往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。问题问题 2：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 (x,y,z)=0,(x,y,z)=0 下的条件极值。下的条件极值。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL 其中其中 ，称为拉格朗日乘数。称为拉格朗日乘数。（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 2 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。xL0 xxxf yL0 yyyf L0 ),(zyx zL0 zzzf L0 ),(zyx（3）进一步确定所）进一步确定所求点是否为极值点，求点是否为极值点，在实际
29、问题中往往可在实际问题中往往可根据问题本身的性质根据问题本身的性质来判断。来判断。例例1：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积2a解：解：设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积体积为为 V ,则则问题可描述为在约束条件问题可描述为在约束条件22axzzyyx )(下，求体积函数下，求体积函数zyxV )0,0,0(zyx的的最大值。最大值。（1）构造拉格朗日函数）构造拉格朗日函数),(zyxLzyx)222(2axzzyyx （2）联解方程组）联解方程组xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )
30、(yx 例例1：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积2a（1）构造拉格朗日函数）构造拉格朗日函数),(zyxLzyx)222(2axzzyyx （2）联解方程组）联解方程组xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )(yx 解：解：02222 axzzyyxL 由由对称性知，对称性知，x=y=z，代入代入最后一个方程解得最后一个方程解得zyx a66 这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。所以最大值
31、就在这个唯一可能的极值点处取得。例例1：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积2a解：解：zyx a66 这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。结论：结论：表面积为表面积为2aa663636aV 的长方体中，以棱长为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为的正方体的体积最大，且最大体积为例例2：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的的最近点和
32、最远点。最近点和最远点。解：设解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到则该点到平面的距离为平面的距离为222)1(12|62|zyxd6|62|zyx问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。由于由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数262)(),(zyxzyxf的的最大最小值。最大最小值。222)1(12|62|zyxd6|62|zyx问题问题1：在约束条件在约束条件下，求
33、距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作）作拉格朗日拉格朗日函数函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx)(02622 yzyxLy)(（2）联解方程组）联解方程组（1）作）作拉格朗日拉格朗日函数函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx)(02622 yzyxLy)(（2）联解方程组）联解方程组02622 zzyxLz)(012222 zyxL 求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M对应的距离为对应的距离为|62
34、121212|611 d632 6342 d例例2：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的的最近点和最远点。最近点和最远点。解：解：问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d对应的距离为对应的距离为,6342 d（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为,6321 d最远距离为最远距离为
35、,6342 d例例3：求求xyzu 在在条件条件解：解：azyx1111 下的极下的极值，值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。（1）作）作拉格朗日拉格朗日函数函数)(),(azyxxyzzyxL1111 （2）联解方程组）联解方程组,02 xyzLx 02 yzxLy,02 zyxLz 01111 azyxL 由由对称性知，对称性知，x=y=z，代入代入最后一个方程解得最后一个方程解得这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,azyx3 例例3：求求xyzu 在在条件条件解：解：azyx1111 下的极下的极值，值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这
36、是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：）判断：设设条件条件azyx1111 所所确定的隐函数为确定的隐函数为),(yxz 代入代入目标函数中得目标函数中得),(yxyxu 它有它有唯一驻点唯一驻点(3 a,3 a),经计算可得经计算可得,|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 ,02722 aBAC,06 aA且且例例3：求求xyzu 在在条件条件解：解：azyx1111 下的极下的极值，值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：）判断：),(yxyxu 它有它有
37、唯一驻点唯一驻点(3 a,3 a),|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 ,02722 aBAC,06 aA且且所以，所以，(3a,3a)是函数是函数 u=x y (x,y)的极小值点的极小值点从而原条件极值问题有极小值点从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a)对应的极小值为对应的极小值为.327au 多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元
38、函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念（四）（四）最小二乘法最小二乘法问题描述：问题描述：通过实验、测量或调查，得到自变通过实验、测量或调查，得到自变量量 x 和因变量和因变量 y 之间的之间的 n 对数据对数据,),(111yxA,),(22
39、2yxA,),(nnnyxA从而可用从而可用 y=f(x)作为作为 x 和和 y 之间函数关系的之间函数关系的近似表达式，称之为经验公式。近似表达式，称之为经验公式。要求寻找一个适当类型的函数要求寻找一个适当类型的函数 y=f(x)，使使nxxx,21)(,)(,)(21nxfxfxf与与实际观测值实际观测值nyyy,21在在某种尺度意义下某种尺度意义下“最接近最接近”它在观测点它在观测点的函数值的函数值建立经验公式常用的方法就是最小二乘法。建立经验公式常用的方法就是最小二乘法。首先将首先将 n 对观测数据对观测数据看作直角坐标系中的看作直角坐标系中的 n 个点，并将其描出个点，并将其描出如果
40、这些点几乎分布在一条直线附近，就认为如果这些点几乎分布在一条直线附近，就认为 x 和和 y 之间存在线性关系，如图所示之间存在线性关系，如图所示xy0,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA1A1x2x2AiAixnAL直线直线 L 的方程即为所的方程即为所求经验公式。求经验公式。bxay 其中其中 a,b 为待定参数。为待定参数。nx设设 L 的方程为：的方程为：xy01A1x2x2AiAixnAL设设直线直线 L 的方程为：的方程为：bxay 其中其中 a,b 为待定参数。为待定参数。,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA直线上与点直线上与点),2
41、,1(niAi 横坐标相同的点设为横坐标相同的点设为),2,1(niBi 1B2BiBnB,(11xB,)1bxa,(22xB,)2bxa),(bxaxBiii),(,bxaxBnnn:的的距距离离为为与与iiBA id|iiybxa nx:的的距距离离为为与与iiBA id|iiybxa 叫作叫作实测值与理论值的误差，实测值与理论值的误差，id问题：问题：确定一组参数确定一组参数 a,b，使误差的平方和使误差的平方和 niidS12 niiiybxa12)(最小。最小。这种方法叫作最小二乘法。这种方法叫作最小二乘法。注意：在上式中，注意：在上式中，ixiy 故上述问题即为求一个二元函数的最小
42、值问题故上述问题即为求一个二元函数的最小值问题和和是已知的，所以是已知的，所以 S是参数是参数 a 和和 b 的二元函数。的二元函数。niidS12 niiiybxa12)(aS niiiixybxa1)(20 bS niiiybxa1)(20 niixa12 niixb1 niiiyx1 niixa1bn niiy1 从标准方程中从标准方程中解解出出a 和和 b代如直线方程代如直线方程bxay 即得即得经验公式经验公式例例1：两个相依的量两个相依的量 与与 ，由由 确定，经确定，经 6 次测试，得数据如下表次测试，得数据如下表 81012141618 81010.43 12.7814.416
43、试建立试建立 依赖依赖 的线性关系的线性关系:niixa12 niixb1 niiiyx1 niixa1bn niiy1 解：根据解：根据标准方程标准方程ba 986.48108471.6178288230.4178.92125.161006432425619614410064654321i1614.412.7810.4310818161412108i i 2i ii niia12 niib1 niii1 niia1 bn nii1 a1084b78 48.986 a78b6 61.71 6186.1,7936.0 ba6186.17936.0 02-03第二学期期中自测题第二学期期中自测题
44、本套自测题内容包括第七章：无穷级数、本套自测题内容包括第七章：无穷级数、第八章（第八章（1 8 节），要求同学在节），要求同学在 120 分钟分钟内以闭卷的方式独立完成。内以闭卷的方式独立完成。一、一、试解下列各题（每小题试解下列各题（每小题 8 分，共分，共 56 分）分）1.设设 z=x+y+f(x y)，若当若当 y=0 时，时，求函数，求函数 f 及及 z。2xz 2.求极限求极限yxyxyx42lim00 3.求函数求函数 的全微分。的全微分。)(ln2yxeyxz 4.设设,2222yxyxvyxueuzv 其其中中.yzxz 和和求求5.函数函数 z=z(x,y)由方程由方程 所
45、确定，求所确定，求yxzxln.,yxzz7.将函数将函数 展开成展开成(x 1)的幂级数的幂级数，并指出其收敛区间。并指出其收敛区间。121)(xxf6.判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。1)13(lnnnn二、二、10分分 求幂级数求幂级数 nnaxnaxa1221的的收敛区间及和函数。收敛区间及和函数。三、三、12分分 某公司通过电台及报纸两种方式做某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入入R（万元）与电台广告费用万元）与电台广告费用 （万元）及报（万元）及报纸广告费用纸广告费用 （万元）之间的关系为（万元）之间
46、的关系为1x2x222121211028321415xxxxxxR （2）若提供的广告费用为若提供的广告费用为 1.5 万元，求相应万元，求相应的最优广告策略。的最优广告策略。（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告在广告费用不限的情况下，求最优广告策略。策略。五、五、7 分分 设设 )0,0(),(0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf 试证明试证明 f(x,y)在原点在原点(0,0)处偏导数存在处偏导数存在，但不可微。，但不可微。四、四、8 分分 函数函数 z=z(x,y)由方程由方程0)()()(zyxzzyxyzyxx 所所确定，其中确定，其中 ，有连续导数，求有连续导数，求 d z 六、六、7 分分 已知已知,)()(1yxyyxfxz f,具有连续的二阶偏导数，求具有连续的二阶偏导数，求.2yxz （完）（完）
