1、JILIN UNIVERSITY工程力学2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.1附录A平面图形的几何性质2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.2附录A 平面图形的几何性质A.1 静矩和形心A2 惯性矩、惯性半径、惯性积A.3 平行移轴公式A.4 转轴公式、主惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.3拉压 扭转、与受力、截面有关，、则与受力、截面、材料有关。NN,FFAEA可见，构件的尺寸和形状是影响构件承载能力的最重要因素之一。maxmaxppp,xxxMMMIWGI问题提出2020
2、.Weiyuan,JLU.All rights reserved.4事实表明，对弯曲而言，其应力不仅与截面的大小、形状有关；而且还与截面如何放置有关，所以要全面研究平面图形的几何性质。横截面平面图形 式中A、IP、Wp、均为与横截面大小和形状有关的几何量.问题提出2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.5A.1 静矩和形心oyzyzdA一、静矩面积对轴的一次方矩定义：dzASy AdyASz AyCzzAyA二、形心形心坐标：,yzSSyzAA2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.61.量纲：长度3 2.静矩S与面积的大小、
3、分布均有关3.与参考轴的位置有关讨论4.S =0 轴过形心 A.1 静矩和形心oyzyzdAyCz2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.zdy7 例A1 求直径为d的半圆形的形心解:取z轴为对称轴Czdz22202d2ddzzz0 ySyzAdyASz A312d23dz A.1 静矩和形心2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.8三、组合图形的静矩和形心静矩：形心：A.1 静矩和形心ziiSA yyiiSAziiiA yyAiiiAzzA2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.9例A-2
4、求形心坐标A.1 静矩和形心zy I II1402020100C1 C2 CyCzC14020 80100200 140201002046.7mm121212 CCCA zA zzAA解:取坐标轴如图0 Cy 2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.yzOdA10A.2 惯性矩、惯性半径、惯性积一、惯性矩面积对轴的二次方矩定义：zy2dyAIzA特点：1、I y,I z 恒大于02、量纲：长度42dzAIyA2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.11二、惯性半径定义：22 yyzzIAiIAiyyIiAA.2 惯性矩、惯性半
5、径、惯性积zzIiAyzOdAzy2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.yzO12三、极惯性矩定义：2pdAIA22()dAyzAA.2 惯性矩、惯性半径、惯性积dAzypzyIIIy1z111yzII结论：图形对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和等于它对该两轴交点的极惯性矩。2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.13四、惯性积定义：dyzAIyz A特点：1.量纲:长度42.Iyz0A.2 惯性矩、惯性半径、惯性积yzOdAzy2.两个坐标轴中只要一个为图形的对称轴，则必有 Iyz=01.惯性积一定是对一对互相垂直坐标轴而言
6、。注意2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.五、常用图形、i的计算2dyAIzA同理：312zhbI 例A-3 已知h和b，求：Iy Iz 解:A.2 惯性矩、惯性半径、惯性积312bhyczzbhdzyczd4p264zyIdII42464 4yyzIddiiAd解:例A-4 已知直径d,求：Iy Iz iy iz2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.15解:4p4(1)264yzIDII例A-5 已知直径 D、d,求：Iy Iz iy izdDA.2 惯性矩、惯性半径、惯性积yczyyzIiiA214D2020.Wei
7、yuan,JLU.All rights reserved.oyzcdA16A.3 平行移轴公式cyyb2dyAIzA2()dAczaA22d2ddAcAcAzAazAaA上式中的三个积分为：2dcAcyzAId0cAcyzASdAAAycyzczbayczcczza由以上关系可知22ccc cyyzzyzy zIIa AIIb AIIabA2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.17结论：对所有平行轴而言，对形心轴的惯 性矩 取最小值。应用:1 可计算平行轴的惯性矩、惯 性积；2 可计算组合图形的惯性矩、惯性积。22ccc cyyzzyzy zIIa AIIb
8、 AIIabAA.2 惯性矩、惯性半径、惯性积2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.oyzbhc18例A-6 已知 b,h,求:Iy Iz 解:32()122ybhhIbh02 2yzh bIbh33bh224b hA.2 惯性矩、惯性半径、惯性积yczc2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.19例A-7 求Iyc 解：取坐标轴如图1 12212A zA zzAA46.7mmA.2 惯性矩、惯性半径、惯性积zcy I II1402020100C1 C2 CyCzCI32120 140(8046.7)20 14012cyI4
9、44769 10 mm769cmII3211002046.71002012cyI444443 10 mm443cmIIIcccyyyIII76944341212cm2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.20A.4 转轴公式 主惯性矩1cossinyyz1cossinzzy一.公式推导：已知:Iy Iz Iyz，求：Iy1 Iz1 Iyz1y1yzOdAzyy1z1z1解：1221d(cossin)dyAAIzAzyA2222cosdsind 2sincosdAAAzAyAyz A22cossinsin2yzyzIII2020.Weiyuan,JLU.All
10、rights reserved.21A.4 转轴公式 主惯性矩122cossinsin2yyzyzIIII21cos(1cos2)221sin(1cos2)2代入上式，得把 1cos2sin222yzyzyyzIIIIIIy1yzOdAzyy1z1z1同理1cos2+sin222yzyzzyzIIIIII1 1sin2cos22yzy zyzIIII2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.22两个主惯性矩-一个最大一个最小A.4 转轴公式 主惯性矩y1yzOdAzyy1z1z1二.几个概念：1 主轴-惯性积等于零Iyz1=0的一对相互垂直轴2 主惯性矩-对主轴
11、的惯性矩3 形心主轴-过形心的主轴4 形心主惯性矩-对形心主轴的惯性矩根据主轴的定义，令Iyz1=0，可得：主惯性矩极值惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.23平面图形对坐标原点不变的任何一对正交轴的惯性矩之和为一常数，即11yzyzIIIIC（常数）11yzyzIIIIC可得112(sin2cos2)22(sin2cos2)2yyzyzzyzyzIIIIIIII 由和=0A.4 转轴公式 主惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.24三.总结1 轴轴关系对称轴+垂直轴过形心，Iyz=0 形心轴（过形心）主惯性
12、轴 Iyz=0形心主惯性轴一对轴A.4 转轴公式 主惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.252 轴面关系（1）形心-一个（3）主轴-一般情况过一点只有一对，整 个截面上有无穷对。（2）形心轴-无穷个c.c.A.4 转轴公式 主惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.c.c.c.c.26（4）形心主轴-一般情况下一个截面只有一对，特殊情况下一个截面有无穷对。（一对）（多于一对）A.4 转轴公式 主惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.27可以证明：任何一对形心轴都是形心主 具有三个以上对称轴的截面，惯性轴，而且对这些轴的惯矩均相等。.c.cA.4 转轴公式 主惯性矩2020.Weiyuan,JLU.All rights reserved.28Thank you！
