1、线性代数 行列式 向量 线性方程组 矩阵 矩阵的特征值和特征向量第1章 行列式（特定的算式）一、行列式的概念二、行列式的性质三、行列式的计算 第1章 行列式一、行列式的概念1.2阶和3阶行列式22211211aaaa21122211aaaa行列式的元素行列式的主对角线行列式的次对角线例0213.23211.5333231232221131211aaaaaaaaa231231133221332211aaaaaaaaa 共3!项的代数和2.n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211共n!项的代数和 特别：11a.11a一阶行列式233211332112312213aaaaaa
2、aaa 3.几种特殊的行列式 （对角行列式）nnaaa22111122 .nna aa nnnnaaaaaa22211211（上三角行列式）nnnnaaaaaa21222111（下三角行列式）例500020181100210naaa21naaa21naaa2112.na aa (1)2(1)n n 特别：,321321aaaaaa.43214321aaaaaaaa二、行列式的性质 设 的转置行列式：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212222111211TDDD1、TDD 即行列式与其转置行列式相等。2、iniiaaak21iniikakak
3、a21即提公因子。推论：如果行列式中某行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。3、若互换行列式的任意两行（列），则行列式 的值改变符号。jnjjiniiaaaaaa2121iniijnjjaaaaaa2121推论1 若行列式中有两行（列）元素完全相同，则此行列式的值为0。推论2 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为0。例 设行列式,0333231232221131211 Maaaaaaaaa则行列式232221333231131211222222222aaaaaaaaa（）CA.B.C.D.M2M2M8M8（04年）4、行列式中把某一行（列）的 倍加到另一行 对应元素上，行列式的
4、值不变。kjnjjiniiaaaaaa2121jnjjjninjijiaaakaakaakaa212211例245232321.245870321nnbababa2211 5、nnbbbaaa2121（对列也有同样的性质）例 计算行列式10398101110321解 原式310021001100110321321110321100100100110321（多种方法）0111110321100补如果 则,3333231232221131211aaaaaaaaa132313331222123211211131232323aaaaaaaaaaaa 的值为（）.解法一 原式13133312123211
5、1131333aaaaaaaaa132333122232112131232323aaaaaaaaa33231332221231211160aaaaaaaaa3332312322211312116aaaaaaaaaA.B.C.D.69181818 C解法二 132313331222123211211131232323aaaaaaaaaaaa用性质4，把相同的部分抵消掉 132333122232112131232323aaaaaaaaa3323133222123121116aaaaaaaaa3332312322211312116aaaaaaaaa18 补 不恒为零的函数xcxbxaxcxbxaxc
6、xbxaxf333222111)(（）A.没有零点 B.至多有一个零点 C.恰有两个零点 D.恰有3个零点（09年）解法一 iiicba,不确定可排除 C，D若取,1321aaa则 是 的零点。)(xf1x故排除A,选B.B函数 的零点)(xf方程 的根 0)(xf)(xf曲线 与 轴的交点（的横坐标）xxcxbxaxcxbxaxcxbxaxf333222111)(333332222211111acabxaacabxaacabxa（按第一列拆开）333332222211111acabaacabaacaba333322221111111acabacabacabxx)(xf为一次函数，其图像与 轴
7、最多一个交点。x法二 三、行列式的计算 1.化为上三角行列式nnnnaaaaaa22211211（观察上三角行列式列的特点）基本方法有两种化为上三角行列式按某行（列）展开（降阶法）例 计算行列式24523232117140870321解 原式100870321.7例 计算行列式.2321425212113111解 原式14102430410031114100243014103111 提示提示4100180014103111180041001410311133000410014103111.332、按某行（列）展开（降阶法）nnnnijnnaaaaaaaaaa212222111211元素 的余子
8、式：ijaijM元素 的代数余子式：ijaijA(1)ijijM 行列式中每个元素都有余子式、代数余子式.元素 的余子式、代数余子式的值与元素 本身的值无关，而只与 所在的位置有关。ijaijaija n阶行列式中，每个元素的余子式、代数余子式是一个n-1阶行列式。例 求行列式 的第二行第一列元素的210834021代数余子式21A2102或4.nnnnnnaaaaaaaaa212222111211定理 行列式可按任意一行（列)展开。.2211ininiiiiAaAaAa),2,1(ni2、按某行（列）展开（降阶法）（若 ，则 1i.1112121111nnAaAaAa行列式例1 计算行列式.
9、765004321解法一（按第一行展开）原式65043750427600.162432820解法二（按第二行展开）原式76324)1814(4.16例2 计算行列式.1013120111311021解 原式101330631131102111336312111360012113216)61(6.42 用此法时，通常先初步选定一个好的行（列），先用行列式的性质把选好的行（列）化为只剩一个元素不为零，然后再按此行（列）展开。三阶行列式的计算一定要非常熟练!总结 例3 计算行列式.16246987181359872解 原式162469871813500011624987813002987813988
10、12)649(2.146例4 计算行列式.10398101110321解法二 原式5981010105215101515055.500例 已知四阶行列式 ，其第3列元素分别为D,2,2,3,1它们对应的余子式分别为 ，则行列式 （）1,1,2,3 DA.B.C.D.5533B解 2231D1123余子式代数余子式11232263D5推论：行列式中某行元素与另一行对应元素的代数 余子式乘积之和等于0.（对列也适合）例 03132123111nnAaAaAa（证明：nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21112112222111211设则0D又 把 按第三行展开 得nnAaAaAaD31321
11、23111D11311232130nna Aa Aa A故补补重重要要设 ，则562321222D333231AAA.0解 法一分别求出,31A,32A.33A法二0222333231AAA0333231AAA法三333231AAA可看成333231111AAA222123=0111两行对应成比例，行列式补补重重要要设 ，则113532121D23222123AAA=（）.A.B.C.D.1234解 23222123AAA232221231AAA11323112145011012145111A法一分别求出,21A,22A.23A法二提示！3、应用公式BABCABCA.|BA 特点：0元素集中在
12、左下角或右上角。nmBACBAnmnmBAC|BA 范德蒙行列式mn)1(范德蒙行列式范德蒙行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaa21311()()()naaaaaa32422()()()naaaaaa1()nnaa补设 ，则1040040330200201DD.解（0元素较多，但不集中）1040040330200201D10403020040302011400320000430021143243212020D例hgfedcbaD000000004A.B.C.D.ghcdabef（）.abefghcdabdcghfeabcdghef解 hgfed
13、cbaD00000000400000000dcfehgbacdefhgba00000000补（）.A.B.C.D.C1276481916413421111416126解 此行列式为范德蒙行列式1276481916413421111)31)(41)(43)(21)(23)(24()2()3()1()1(1212补 方程 ，根的个数 02793118421)1()1(113232xxxxxx为（）.CA.B.C.D.2345解 此行列式转置后为一范德蒙行列式行列式(3)1(2)(2)(5)(3)xxxx 5(3)(3)(2)(2)xx xx 故 方程有4个根.4、其它行列式的计算 例 计算行列式.
14、1111111111114xxxxD 解 特点：每行元素的和都相等每行元素的和都相等xxxx1111111111111)3(原式1000010000101111)3(xxxx.)1)(3(3xx例 方程 的根为（）.A.B.C.D.1,0,11,1,21,1,21,1,1C011011011xxx解 每行元素的和都相等行列式11111011)2(xxx100110011)2(xxx).1)(1)(2(xxx方程的根为 .2,1,1例 行列式11111111111111114xxxxD解 特点：每行元素的和都相等（）.11111111111111114xxxxD0001001001001xxxx
15、4.xA.B.C.D.2x3x4x412xC例 设 是方程 的三个根，解 则行列式 的值等于（）.A.B.C.D.13240 xx1B（05年）,a b cbacacbcba20bacacbcbabacbaaccbacbcba关键求出cba经观察知，是方程 的根2x 3240 xx3224(2)(22)xxxxx不妨设2,a 则另两根的和为：2bc故 0cba从而行列式的值为0.法一法二,a b c是方程 的三个根3240 xx324()()()xxxa xb xc33224()()xxxabc xabacbc xabc比较系数 得0cba故 行列式的值为0.例例 行列式 展开式中的常数项为（
16、）xxxx101011110101D（07年）A.B.C.D.4120解 54233241101011110101axaxaxaxaxxxx设 在上式中，令 得0 x 01010101101010105a0.5a例 行列式 展开式中 的系数xxxxxx10020111212A（03年）A.B.C.D.1214x是（）.2解 法一（解此类题的常用方法）(展开 想象)+xxxxxx11122行列式xxx01112122)2(3xx故 的系数为2.4x法二展开式中含 的项即次对角线上元素的乘积.4x补方程 的实数根的 0533333212241)(xxxxxxxxxxf个数是（）.BA.B.C.D.
17、2301解 行列式533312411x第2、3列均减去第一列，并方程只有一个实根。常数！补方程 的实数根 0532333321222312)(xxxxxxxxxxf的个数是（）.AA.B.C.D.无实数根 231解 第2、3列均减去第一列行列式21331122112xxx11330122012xxx12212xx)222(xxx方程有一个实根。补补当 时，计算 阶行列式 特值代入特值代入法法 选项验证法选项验证法nDn222232222222221的值为（）.AA.B.C.D.n2(2)!n2n(2)!n2(2)!n4(2)!n解 当 时，2n 22212D2经验证 选 A.51写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
