1、第第5章章 非理想流动非理想流动 5.1 概概 述述 PFR中，所有流体质点在反应器内的停留时间都相等，严格按照先进先出的规律循序而进，相邻两截面之间没有混合;CSTR中，刚进入的新鲜物料立即和釜内原有物料充分混合均匀，此种返混达到极大。实际连续流动反应器的流动状况介于两者之间，其反应的结果也介于两者之间。凡是偏离平推流和全混流的所有流动状态均称为非理想流动。几个概念 返混：不同停留时间的流体质点间的混合 停留时间（寿命）：从流体质点进入反应器开始到离开反应器时为止，质点在反应器中所经历的时间相对反应器出口处而言的 年龄：从流体质点进入反应器后到离开反应器之前的某一时刻所经历的时间指整个反应器
2、内部而言5.2 停留时间（寿命）分布函数停留时间（寿命）分布函数 在稳定的流动体系中，某个质点在反应器中的停留时间是一个0 之间的随机变量，但是大量质点的集体运动，其停留时间却有一个确定的分布。跟踪某个质点在反应器中的运动路径和计算其寿命或年龄没有实际意义，但了解大量质点的停留时间分布，求得其统计平均值对于预测反应器得实际转化率是有用的。5.2.1 停留时间（停留时间（寿命）分布密度函数寿命）分布密度函数E（t）如图5.2-1所示，t=0时瞬间进入的N个流体质点中，寿命介于t t+dt之间的质点数dN所占总质点数N的分率dN/N=E(t)dt，E(t)dt为一微分的分率，E(t)=dN/N d
3、t，其量纲为时间-1，称为停留时间（寿命）分布密度函数。或者说：在一流动达到定常态的容器的出口处收集到的N个流体质点中，寿命介于t到t+dt之间的质点数为dN个，所占的分率dN/N=E(t)dt，E(t)=dN/N dt。停留时间（停留时间（寿命）分布密度函数寿命）分布密度函数E（t）性质：性质：1)E(t)0，是一个实数值，量纲为时间-1 2)E(t)dt=dN/N是一个无因次的百分率 3)又称为E(t)函数的归一性，因为同时进入稳定流动容器的N个质点最终都会离开此容器，各个寿命段所占分率的总和必为1 5.2-2 寿命分布积累函数寿命分布积累函数F(t)在一稳定流动体系中，t=0时同时进入反
4、应器的N个流体质点中，停留时间（寿命）介于0 t之间（或者寿命小于t）的质点数N所占总数N个的分率N/N=F（t），F(t)称为寿命分布积累函数，F(t)函数显然是0 t 这段时间中各寿命段的分率总和，即：当t时，t0同时进入反应器的N个质点全部流出反应器，故有：停留时间分布积累函数F(t)有以下性质：t=0时，F(t)=0；t=时，F(t)=1，所以，0F(t)1，即，F(t)是一个单调不减函数；dF(t)/dt=E(t)，F(t)为一无因次数dttEtdFtEdttdFdttEtFt)()()()(1)()(0或E(t)函数和F(t)函数互为微分积分关系5.2.3 年龄分布密度函数年龄分布
5、密度函数I（t）在整个反应器中的N个流体质点中，年龄介于t t+dt之间质点数dN所占分率为dN/N=I(t)dt，I(t)=dN/N dt称为年龄分布密度函数。反应器内所有年龄段的粒子所占分率的总和应为1，故类似于E(t)函数 有归一性 且0I（t）。1)(0dttI5.2.4 年龄分布积累函数年龄分布积累函数Y（t）年龄分布积累函数在整个反应器中的N个流体质点中，年龄小于t(或介于0 t之间)的质点数N所占的分率N/N=Y（t）性质 0Y（t）1，为单调不减函数。Y（t）=tdttI0)(5.3停留时间分布的实验测定停留时间分布的实验测定 干扰干扰-响应技术响应技术 脉冲示踪法 阶跃示踪法
6、5.3.1脉冲示踪法脉冲示踪法 实验方法：在容器内流动达定常态后某时刻t=0，瞬间向容器进口处注入Q（g）示踪剂，并立即在容器出口处检测流出的示踪剂浓度C(t)，记录不同时间t时所对应的C(t)值，直到足够长时间后，C(t)降为0为止，获得C(t)t对应的数据。取样可以连续跟踪进行，也可以隔一段时间取一次，前者是连续型，后者为离散型。注意：选择的示踪剂应该在流经容器过程中其质量守恒，不影响物料的流动状态，其浓度检测容易准确。脉冲示踪法的数据处理：脉冲示踪试验需待容器内流体流动达到定常态后进行，流体流速不变，在t=0时刻加入Q克示踪剂，在tt+dt时间间隔中在出口处收集到的示踪剂分率为E(t)d
7、t，所以在tdt时间间隔中流出容器的示踪剂量为：QE(t)dt，作示踪剂的物料衡算，可得：C(t)dt=QE(t)dt 这两项均表示dt时间内流出示踪剂的量0000)()()()(1dttCdttCdttQEdttEQQQ所以式中 用于表示C(t)t连续型数据0)(dttC在实验中，可以用水为流体，流经一容器，向其入口处注入KCL溶液，立刻在出口处测定流出液的电导值，在电导仪中转变成电信号，通过记录仪记录电导率随时间的变化曲线，因为在低浓度时电导率与示踪剂KCL浓度成正比，而后者又与E(t)值成正比，故电导率曲线即相当于E(t)曲线，由此曲线也可求得F(t)曲线。相应地：若实验结果为离散型数据
8、则应把积分式变为加和式t例5.3-1 用脉冲示踪法测得一连续流动体系出口示踪剂浓度-时间对应值如下：求停留时间分布的E(t).F(t)函数。解：已知的C(t)t对应数据是等时间间隔的值，ti相等，可以移到和号的外面。如果 ti不相等，ti就不能从加和号中取出。36)(00281284201)()()()()()(00tCtCtCttCttCtCtEi36)()()()()()(00000ttitittCttCtttCttCtF计算结果列表如下：5.3.2 阶跃示踪法 上图，容器的入口流体有A、B两种。A为非示踪流体，B为示踪流体。两种流体具有相同的流动性能，浓度相同，两者任意比例的混合流体总浓
9、度与单一流体相同，即CA0=CB0=CA+CB=C0。当系统流动达定常态后，t=0时刻瞬间切换为示踪流体B，并且立即在出口处检测流出物中示踪流体所占分率CB/C0。测得不同时间t的CB/C0对应值，直到CB(t)/C0=1,即流出物全为示踪流体为止。在阶跃示踪试验中，A、B流体的质点会相互进入对方，故出口处开始检测到示踪流体后，非示踪流体还会继续流出一段时间。但总的趋势是A质点逐渐减少，B质点逐渐增加，最后全是B质点。时刻t时在出口处收集到的流体质点中，寿命大于t 全部为A，而寿命小于t的全部为B，根据寿命分布积累函数F(t)的定义可得：可见在阶跃示踪试验中，出口物料中示踪流体所占分率即为寿命
10、分布积累函数F(t)。相同的流动状态，不论用何种示踪测定方法，所得到的E(t)，F(t)曲线应是相同的。根据E（t）函数和F(t)函数互为微分和积分的关系，可以由E(t)曲线得到F(t)曲线，也可以由F(t)曲线得到E(t)曲线。E(t)F(t)互为微分积分关系5.3.3由F(t)函数推算I(t)函数 年龄分布密度函数I(t)与年龄分布积累函数Y(t)是对整个反应器来说的，一般不易直接测定，可由F(t)函数推算之，在使用阶跃法测定停留时间分布时：0t时间内流入的示踪流体量：0t时间内流出的示踪流体量：整个反应器中，年龄小于等于t的流体占总流体的分率为 而反应器中流体总量为VRC0,包括示踪与非
11、示踪流体。容器中示踪流体的积累量：ttCdtC000tdttC0)(tdttI0)(tRdttICV00)(作稳态流动时示踪流体物料衡算流入量=流出量+积累量各项均除以C0得：其中：ttRdttICVdttCtC0000)()(tttdttIdtCtCdt0000)()(1)(1 1)()()(1)()(000tFtIdttIdttFVtFCtCttR由实验测得F(t)t曲线后，可由此式求得I(t)t的对应值，给出I(t)t曲线后，可以进一步用积分法求得年龄分布积累函数Y(t)t曲线。故不论用脉冲法或阶跃法示踪法均可以测得4个停留时间分布函数。5.4 停留时间分布的特征 用示踪实验方法测得的停
12、留时间分布函数曲线比较形象和直观，但曲线难于进行定量比较，也难于把实验得到得曲线通过回归方法得到一个满意的数学方程，只有数字才能对流动状态和返混程度作定量描述。流体质点的停留时间是一个随机变量，大量质点的停留时间则有一个确定的分布，符合概率统计的规律，可以用概率特征的两个参数平均停留时间（即数学期望）和方差来描述之。5.4.1 平均停留时间（平均寿命）、数学期望平均停留时间（平均寿命）、数学期望 数学期望：设连续型随机变量t的概率密度为E(t)，若积分 绝对收敛（即|t|时积分存在），则该积分值称为随机变量t的数学期望。在停留时间分布中，数学期望也就是平均停留时间，记作 ,数学期望的概念可以用
13、下例来说明。tdtttE0)(t 例如某一次的考试成绩分布如下：则平均成绩M=MiXi=60*5%+70*15%+80*65%+90*15%=79可见平均成绩是各级成绩的加权平均值。流体质点在反应器中的停留时间可能值为0，停留时间为t的流体质点所占的分率为E(t)dt，故：平均停留时间 为避免实验结果带来的系统误差，对于离散型数据可以除于00)()(tttEdtttEt0)(ittE000000)()()()()()(tCttCtEttEttEtttEtitii脉冲示踪法相同 如果在容器的进口和出口处，都没有与主流体流动方向相反的流动，即容器为闭式，则有：5.4.2 方差（散度）方差（散度）方
14、差表示随机变量t与其平均值 之间偏差的平均大小，即偏差平方的平均值，其定义式为：展开可得：t）（时间量纲为54.5)()(2202dttEttt)64.5()()()(2)(202020022tdttEtdttEtdttEttdttEtt 离散型数据，则方差：相同的数学期望而方差不同，则离散程度不同，表示的流动状态也不同。例如平均考试成绩同为79分，一种情况为9060；另一种的情况为7583，显然两种情况下学生的学习状况是不同的。脉冲示踪法得到连续型C(t)-t数据时，可以取相同时间间隔下的数值同上处理，求得 和 。也可以根据定义式，将数据列表：t2ttC(t)tC(t)t2C(t)例5.4-
15、1 按表中数据计算此流动系统的平均寿命和方差：解：脉冲示踪法得到等时间间隔数据 min722.300281284200807268512483422100)()(00tCttCt2222222220022min534.1722.328128422685124834221)()(ttCtCtt5.4.3 用对比时间表示的停留时间分布函数 容器体积大小不同，流体流量不同，都会影响流体质点的停留时间。由于停留时间的平均值和方差的数值大小并不能反映出流体的返混程度大小，因此要引入对比时间的概念。对比时间又称无因次时间，记作，定义式为：用对比时间表示的流体质点寿命分布积累函数F()定义：在0时，进入流动
16、是定常态的容器中的N个流体质点中，寿命小于的质点数N0所占的分率。即：用F()和F(t)来表示停留时间分布积累函数，其比例是一样的。这正如两种固体混合物，不论用公制、市制或英制单位来衡量，某一种固体的重量分率都是相同的。E()d也表示寿命为d的质点数dN占同时进入容器总质点数N的分率，E()d=dN/N,或E()=dN/N d，由F()=F(t)可推导得到:d F()=d F(t);E()d=E(t)dt；=t/，故d=1/dt,可知E()=E(t)。1)(0dE 用无因次时间表示的寿命分布平均值为：用无因次时间表示的寿命分布的方差为：）（闭式容器114.5)(1)()(00tdttEtdE0
17、222202022)()()(1)()(无因次）（）（tdttEttdttEttdE在平推流中所有流体质点的寿命t均等于p，故t2=0,2=0；在全混流中，返混达到极大，其方差t2=2（待后证明），故2=t2/2=1。非理想流动的返混程度介于平推流和全混流之间，故有021，2值的大小就表示了流动的返混程度。5.5流动模型 在均相反应器设计中可以看出，尽管PFR和CSTR具有相同的体积，处理相同的物料，但它们所实现的转化率是有差别的，其原因即是返混程度不同，可见返混大小也是影响反应器性能的因素之一。对于一定的流动状态，就有确定的停留时间分布及相应的平均停留时间和方差。但是同一种停留时间分布，却可
18、能有不止一种流动状态。如图5.5-1所示的两种流动状态，其E(t)曲线相同，一种为晚混，另一种为早混。建立流动模型的基本思想就是根据实测的停留时间分布，假设一种流动状态，令这种流动状态下的停留时间分布与实测结果一致，并根据假设的流动状态的模型参数，结合在其中进行反应的特征参数，计算或预测非理想流动状态下反应实际可达到的转化率。建立模型的过程就象一只黑匣子，黑匣子里的变化规律并不知道，但可以根据输入输出数据来假设一个变化过程，例如，向黑匣子输入5，就输出3，则可以假定:x+y=8，x-y=2，3x-2y=9到底那个正确，可以由另外的数据作出判断在停留时间分布研究方面，可以由实验结果建立流动模型，
19、求出模型参数，再结合动力学模型和传递模型，进行实际反应器的设计。其设计思路见图5.5-2。5.5.1平推流模型 虽然严格的平推流流动并不存在，但当管式反应器的管径较小、较长，物料在其中的流速较快时，返混程度很小。此时可近似按平推流进行分析与设计。平推流的寿命分布密度函数E(t)与寿命分布积累函数F(t)分别为：其曲线见图平推流中所有质点的寿命均为p，故t=p,且t2=0,而无因次方差2=t2/2=0；无因次平均停留时间=t/p=1 5.5.2全混流模型 如连续流动体系搅拌充分，在容器内达到完全均匀的混合，容器内的参数就等于出口处的参数，可作为全混流处理，如图5.5-4所示。设全混釜的有效体积为
20、Vc，入口流量为v，在t=0时将非示踪流体切换为示踪流体，其浓度为C0，在出口处测示踪流体的浓度C（t）。若作全釜dt时间示踪流体的物料衡算，则有变换得 积分得 阶跃示踪时，寿命分布积累函数由此可得全混流时 全混釜内流体质点年龄分布函数 全混流的寿命分布函数与年龄分布函数相同，说明了容器内与出口处的组成是相同的，这是全混流特有的性质。全混流用无因次时间表示的停留时间分布函数为：上述两表达式中已不包含，故与全混流容器的大小及流量无关，其分布曲线见图 全混流的平均停留时间 全混流的方差：上述计算过程中均用到了函数的计算方法，其一般式为：故全混釜的无因次寿命平均值而它的无因次方差为：比较平推流的无因
21、次方差，可见2的数值范围为0 1，2的大小表征了连续流动系统的返混程度。5.5.3串联全混釜模型（串联全混釜模型（N-CSTR模型）模型）在全混流串联反应器系统，当串联釜的数目N趋于无穷大时，串联釜的性能就相当于平推流反应器。调节釜数N就可以在全混釜与平推流反应器之间确定某一种性能状态，非理想连续流动的返混程度介于两种流动之间，本模型把一个非理想流动的实际反应器设想为N个体积相同的全混釜串联而成，釜内达到完全混合，釜间没有返混，釜数N的变化，物料的流动状态就在PFR和CSTR之间变化，因此，可以把实际非理想流动反应器的停留时间分布等价为釜数为N的串联全混釜的停留时间分布。实际反应器的体积为VR
22、，每个小全混釜的体积Vi=VR/N,每个小釜的空时s=/N 模型参数N的求取 根据模型的假设，反应器由N个体积相同的全混釜串联而成，设t=0时向第一个釜的进口处切换为示踪流体，可以逐釜作示踪物料的物料衡算，为简便起见，设流体的初始浓度C0=1。对第一小釜作物料衡算得：对第二小釜作示踪流体的物料衡算，有：因Vs/v=s，整理可得：此一阶常微分方程可用积分因子法求解 对第三釜作物料衡算，可得：此一阶常微分方程可用积分因子法求解 依次类推，最后一釜出口处的F（t）函数为：出口处的E（t）函数 132)!1(1!31!2111)()(NsssstNNtNtttetCtFs 用无因次时间表示的E（）函数
23、为：无因次平均停留时间 无因次方差：故模型参数 非理想流动反应器的返混特征数为2，就可以将其等价为N=1/2个体积均为VR/N的全混流反应器串联而成。即多釜串联模型的模型参数N，可以以停留时间分布测定求得，用脉冲示踪法或阶跃示踪法测得反应器出口处示踪物浓度与时间得对应值C(t)t，再计算出平均停留时间与方差，求得无因次方差2，其倒数即为N。串联全混釜系统在相同流动状态下的反应转化率xAf就可以作为实际反应器出口转化率的预期值。N 作为一个虚拟值，不一定是个整数。用N-CSTR模型求算一级不可逆反应的转化率，可直接引用公式：或查图3.4-3，由一级不可逆反应的k值和串联釜釜数N，读取其交点横坐标
24、值为未转化率1-xAf 若用相当于N-CSTR串联釜的非理想流动反应器进行二级不可逆反应，则可从第一个釜开始，逐釜计算其出口反应物浓度CAi：或查图3.4-4，由kCA0和N两线的交点读取未转化率1-xAf 5.5.4轴向分散模型轴向分散模型 对于返混程度不很大的管式、塔式或连续流动反应设备(管径大、流速不太快或长径比比较小)，轴向分散模型是较为常用的非理想流动模型。该模型在平推流的基础上叠加上一项反向涡流扩散，涡流扩散的通量为NA=-EzdCA/dl。本模型的基本假定为：（1）流体流动为定常态，且沿流动方向参数是管长的连续函数；（2）与流体流动方向垂直的截面上充分均匀；（3）在平推流的基础上
25、叠加一个反向扩散，其扩散系数不变。1.模型方程 容器中的流动达定常态后，在其入口处输入示踪剂，容器内一定位置l处取一厚度为dl的微层，其两侧的示踪剂浓度分别为C和C+，C是管长l和时间t的二元函数，作示踪剂的物料衡算dllC 流入量=流出量=积累量=反应量=0 物料衡算式化简后得到：dllCClEuCDz24lCEdllCCuDZ24tCdlD24其中Ez、u为常数，故上式为二阶常系数偏微分方程。这一方程的解与所用的示踪方法、返混程度大小、进出口处为开、闭式等条件有关，一般不易求得通解，只在某些条件下有其特解。2、模型参数与无因次方差的关系 在轴向分散模型中，Ez的大小与返混程度有关，一般用E
26、z/uL无因次准数作为模型参数Pe的倒数，其中u为流体的线速度，为容器的管长。Pe时，返混较小，Pe时，返混较大。（）对于返混程度较小的情况，无论系统是开式还是闭式:模型参数Pe和无因次方差2之间的关系为：（2）对于返混较大的情况，Pe0.01流体质点停留时间分布与反应器的开闭式有关，闭式容器 开式容器 开闭式容器 （3）用轴向分散模型计算反应器的转化率 求得轴向分散模型的模型参数Pe后，就可结合反应器内进行反应的动力学特征，建立物料衡算式，得到相应的微分方程。当非理想流动反应器处于定常态操作时，反应器内任已空间位置的物料组成不随时间而变化，即浓度时空间位置的单值函。当反应器内进行一级不可逆反
27、应时 其中Pek41k其中Pe0即为全混流，Pe无穷大即为平推流 二级不可逆反应，由物料衡算得微分方程为：此常系数微分方程没有解析解。可以化成差分式求得其近似解。数值解的结果标绘成图。可见，二级反应未转化率是kCA0和Pe的函数。例5.5-1 脉冲示踪法测得无反应时的连续流动反应器出口示踪剂浓度与时间对应值为:今在同样流动状态下于反应器中进行一级和二级不可逆反应，一级反应k=5，二级反应kCA0=10，用轴向分散模型和多釜串联模型计算反应器出口转化率，并且与平推流及全混流反应器的结果相比较。解：由等时间间隔的脉冲示踪C(t)t数据，可得：min1512455313022542051551035
28、)()(00tCttCt2222222220022min5.471512455313022542051551035)()(ttCtCtt211.0155.472222tt（1）轴向分散模型，设为返混较大的闭式反应器，则有：试差解得 211.0112222peepepe ,65.8pe12.01pe一级反应时，查图5.5-12，的线与 线相交于一点，所对应的纵坐标值为：,故 5k65.8pe045.00AACC955.0Afx二级反应时，查图5.5-14，线与 线相交于一点 ，故 100ACk33.42pe15.00AACC85.015.01Ax(2)多釜串联模型 74.4211.0112N一级反应时，故.033.074.45111174.40NAANkCC967.010AAACCx二级反应时，查图3.4-4，由N=4.74线与 线的交点得对应的横坐标值为故:100ACk13.01Ax87.0Afx（3）平推流模型一级反应时 二级反应时 993.0115eexpkA91.01110,1010AAApAxxxkC（4）全混流模型一级反应时 二级反应时 833.05151ccAkkx73.0,10120AAAAxxxkC上述计算结果列表如下：可见轴向分散模型和多釜串联模型所得结果相近，且介于平推流与全混流之间。
