1、 理科数学答案第1页（共 7页） 绵阳市高中 2016 级第三次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 BCDAA CDBCB CA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 131 14 6 1524 16 3 32 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1）由余弦定理 cosC= 222 2 abc ab + ，且 2acosC=2b-c， 得 2a 222 2 abc ab + =2b-c， 即 b2+c2-a2=bc 3 分 cosA= 222 2 bca bc + = 1 2 5 分
2、 A(0，)， A= 3 6 分 （2）在ABD 中，AB=3，BD=13，cosA= 1 2 由余弦定理得 13=9+AD2-3AD， 解得 AD=4(负值舍去) . 9 分 BD 为 AC 边上的中线， D 为 AC 的中点， AC=2AD=8 所以 SABC= 1 2 ABACsinA= 13 3 8 22 =6 3 12 分 18解：（1）设“这三天中转车数都不小于 40”的事件为 A， 则 3 25 3 50 23 ( ) 196 C P A C =. 4 分 理科数学答案第2页（共 7页） （2）设乙公司货车司机中转货车数为 t，则 640 74040. tt X tt = ， ，
3、 则 X 的所有取值分别为 228，234，240，247，254. 其分布列为 日工资 概率 228 234 240 247 254 P 1 10 1 5 1 5 2 5 1 10 于是 11121 ()228234240247254241.8 1055510 E X =+=. 8 分 设甲公司货车司机日工资为 Y，日中转车数为 u，则480Yu=+， 则 Y 的所有可能取值为 232，236，240，244，248. 则分布列为 日工资 概率 232 236 240 244 248 P 1 5 3 10 1 5 1 5 1 10 于是 13111 ( )232236240244248238
4、.8 5105510 E Y =+=.11 分 由()( )E XE Y知， 若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司 12 分 19解：（1）证明：过 P 作 POAD，垂足为 O，连接 AO，BO 由PAD=120 ，可得PAO=60 在 RtPAO 中，PO=PAsinPAO=2sin60 = 3 2 2 =3. 2 分 BAD=120 ， BAO=60 又 PA=AB，PAO=BAO=60 ，AO=AO， PAOBAO(SAS)， BO=PO=34 分 E，F 分别是 PA，BD 的中点， 6 2 EF =， P E D C A B F z x y O 理科数学答案第3页（共 7页）
5、EF 是PBD 的中位线， PB=2EF= 6 2 2 =6 可得 222 PBPOBO=+， 所以 POBO 5 分 ADBO=O， PO平面 ABCD 又 PO平面 PAD， 平面 PAD平面 ABCD 6 分 （2）建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz. A(0，1，0)，P(0，0，3)，B(3，0，0)，D(0，3，0)， E(0， 3 2 ， 3 2 )，F( 3 2 ， 3 2 ，0) 7 分 平面 ABCD 的一个法向量为 n1=(0，0，1) 8 分 设平面 ACE 的法向量为 n2=(x，y，z) 又AE=(0， 1 2 ， 3 2 )，AF=( 3 2 ， 1 2 ，0
6、)， 由 2 2 0 0 AE AF = = ， ， n n 得 13 0 22 31 0 22 yz xy += += ， ， 令 x=1，得 y=-3，z=1. 平面 ACE 的一个法向量为 n2=(1，-3，1) 10 分 设锐二面角 E-AC-D 的平面角大小为 ， 则 cos=|cosn1，n2|=| 12 12 n n n n |= 5 5 ， 锐二面角 E-AC-D 的余弦值为 5 5 12 分 20解：（1） 焦距为2 5，PBBA=， 522 =c，且点 B 为线段 AP 的中点 点 P(0，2 3)，A(a，0)， PA=2PB，(3) 2 a B， 理科数学答案第4页（共
7、 7页） 由题意得5c=，且 2 22 3 1 4 a ab += 2 分 又 222 abc=+，即 22 5ab=+ 联立解得 22 49ba=， 椭圆 E 的方程为 22 1 94 xy += 4 分 （2）由题意，得 PBMPAN SS =6， 5 分 即 11 sin6sin 22 PAPNAPNPBPMBPM= ， 3PNPM=，即3PNPM= 设 11 ()M xy， 12 ()N xy， 则PM=(x1，y1-2 3)，PN=(x2，y2-2 3)， (x2，y2-2 3)=3(x1，y1-2 3)， x2=3x1，即 2 1 3 x x = 于是 2 2 1 1 10 = 3
8、 x x xx +，即 2 2 2 1 1 () 16 = 3 xx x x + 6 分 联立 22 2 3 1 94 ykx xy =+ += ， ， 消去 y，整理得072336)49( 22 =+kxxk 8 分 由 22 =(36 3 )4 (94) 720kk +， 解得 2 8 9 k 49 336 2 21 + =+ k k xx， 12 2 72 94 x x k = + 9 分 代入，可解得 2 32 9 k =，满足 2 8 9 k ， 4 2 3 k = . 11 分 即直线 l 的斜率 4 2 3 k = 12 分 21解：（1）( )lnfxxax=， 理科数学答案第
9、5页（共 7页） 要使( )f x有两个不同的极值点转化为( )=0fx有两不等根 令( )lng xxax=，则( )1(0) axa g xx xx = = 当 a0 时，得( )g x0，则 g(x)在(0)+，上单调递增， 所以 g(x)在(0)+，上不可能有两个零点 3 分 当 a0 时，由( )g x0，解得 xa；由( )g x0，解得 0xa 则 g(x)在(0)a，上单调递减，在()a +，上单调递增 要使函数 g(x)有两个零点，则 g(a)=a-alnae 5 分 （2）由 x1，x2是 g(x)=x-alnx=0 的两个根， 则 22 11 ln ln axx axx
10、= = ， ， 两式相减，得 2121 (lnln)axxxx=， 即 2121 2 21 1 = lnln ln xxxx a x xx x = 要证 x1x2a2，即证 2 21 12 2 2 1 () (ln) xx x x x x ， 7 分 即证 2 2 22121 11212 () (ln)=2 xxxxx xx xxx + 由 12 xx，得 2 1 1 x t x = ， 只需证 2 1 ln2tt t +.9 分 设 2 1 ( )ln2g ttt t = +，则 2 2111 ( )ln1= (2ln)g tttt tttt = + + 令 1 ( )2lnh ttt t
11、= +， 2 2 211 ( )1(1)0h t ttt = = ， ( )h t在(1，+)上单调递减， ( )h th(1)=0， 理科数学答案第6页（共 7页） ( )0g t，11 分 即( )g t在(1，+)为减函数， ( )g t(1)g=0 即 2 1 ln2tt t +在(1，+)恒成立 原不等式成立12 分 22解：（1）由题意，得 2 (1 cos2 )2 cos8sin+=， 即 22 cos4 sin= 2 分 cosx=，siny= x2=4y 即曲线 C 的普通方程为 x2=4y 4 分 （2）由题可知，直线 l 与 y 轴交于点 F(0，1)即为抛物线C的焦点
12、令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|， 将直线 l 的参数方程 cos 1sin xt yt = = + ， 代入C的普通方程 x2=4y 中， 整理得 22 cos4 sin40tt= 由题意得cos0， 根据韦达定理得 12 2 4sin cos tt +=， 12 2 4 cos t t = 7 分 |FA|FB|=|t1t2|= 2 4 cos 4（当且仅当 2 cos1=时，等号成立） 当|FA|FB|取最小值时，直线 l 的直角坐标方程为1y = 10 分 23解：（1）当 x-1 时，( )3f xx= 3，解得 x-1； 1 分 当-1x 1 2 时，( )2f xx= +3，解得 x-1与-1x 1 2 矛盾，舍去3 分 当 x 1 2 时，( )3f xx=3，解得 x1； 4 分 综上，不等式( )f x3 的解集为(1，-1+ )， 5 分 （2）证明：2 ( )4222f xxxm=+ 212122xxxm=+ 2122xxm + 7 分 理科数学答案第7页（共 7页） (22 )(21)xmx+ =21m+ =(1)mm+ 9 分 1mm+ 不等式2 ( )f x1mm+成立 10 分
