1、 机电工程控制基础机电工程控制基础1河北工程大学Hebei University of Engineering 此课件除了此课件除了PPTPPT内容，课件下内容，课件下方附带的备注里讲解内容更细方附带的备注里讲解内容更细致：备注里有很多案例可以帮致：备注里有很多案例可以帮助理解；备注里有很多重点、助理解；备注里有很多重点、难点内容的详细讲解；备注里难点内容的详细讲解；备注里有很多易错、易误导内容的讲有很多易错、易误导内容的讲解。解。教学讲稿教学讲稿 2河北工程大学Hebei University of Engineering 机电工程控制基础机电工程控制基础河北工程大学河北工程大学机械与装备工
2、程学院机械与装备工程学院周雁冰周雁冰 机电工程控制基础机电工程控制基础3河北工程大学Hebei University of Engineering 第三章第三章 系统的时间响应与快速性分析系统的时间响应与快速性分析3.1 3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标3.2 3.2 时间响应和典型输入信号时间响应和典型输入信号3.3 3.3 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应3.4 3.4 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应3.5 3.5 高阶系统的时间响应高阶系统的时间响应 机电工程控制基础机电工程控制基础4河北工程大学Hebei University of Engineering 3.1
3、 3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标一、时间响应及其组成一、时间响应及其组成1、时间响应、时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。输入作用下的动态历程。2、时域分析的目的、时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的
4、情况，以分析和研究系统的控制性能。时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便优点：直观、简便 机电工程控制基础机电工程控制基础5河北工程大学Hebei University of Engineering 二、时域性能指标二、时域性能指标1、系统的性能：、系统的性能：系统的响应过程分为系统的响应过程分为动态过程动态过程和和稳态过程稳态过程，系统的性能，系统的性能就针对上述二过程，为系统的就针对上述二过程，为系统的动态性能指标动态性能指标和和稳态性能指标稳态性能指标。实际物理系统都存在惯性，输出量的改变与系统所存储实际物理系统都存在惯性，输出量的改变与系统所存储的能量有关，系统所
5、储有能量的改变需要有一个过程。的能量有关，系统所储有能量的改变需要有一个过程。2、动态性能指标：、动态性能指标：延迟时间、延迟时间、上升时间、峰值时间、上升时间、峰值时间、调节时间、调节时间、超调量超调量、振荡次数振荡次数。3、稳态性能指标、稳态性能指标 一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程（时间趋于无穷）进入静态后，静态下输出量的要求值和实（时间趋于无穷）进入静态后，静态下输出量的要求值和实际值之间的误差，称为际值之间的误差，称为稳态误差稳态误差，记为：，记为：，可量度系统的，可量度系统的控制精度或抗干扰能力。控制精度或抗干扰能力。
6、sse 机电工程控制基础机电工程控制基础6河北工程大学Hebei University of Engineering 三、动态性能指标三、动态性能指标 研究线性系统在研究线性系统在零初始条件零初始条件和和单位阶跃信号输入单位阶跃信号输入下的下的响应过程曲线（以二阶系统为例）。一般认为，阶跃输入响应过程曲线（以二阶系统为例）。一般认为，阶跃输入对系统而言是比较严峻的，若系统输出在此状态下都能令对系统而言是比较严峻的，若系统输出在此状态下都能令动态性能满足要求，那在其他输入时，系统的动态性能将动态性能满足要求，那在其他输入时，系统的动态性能将更为理想。更为理想。延迟时间延迟时间td：响应曲线首次达
7、到静态值的一半所需的时间；：响应曲线首次达到静态值的一半所需的时间；上升时间上升时间tr：有振荡时，响应曲线首次从静态值的：有振荡时，响应曲线首次从静态值的0过渡过渡到到100所需的时间；无振荡时，静态值的所需的时间；无振荡时，静态值的10过渡到过渡到90所需的时间；所需的时间；峰值时间峰值时间tp：响应曲线第一次达到峰值点的时间；：响应曲线第一次达到峰值点的时间；时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间tsdt 机电工程控制基础机电工程控制基础7河北工程大学Hebei University of Engineering 调节时间调节时间ts：
8、响应曲线最后进入偏离静态值的误差为：响应曲线最后进入偏离静态值的误差为 5(或或 2)的范围并且不再越出这个范围的时间；的范围并且不再越出这个范围的时间；超调量超调量%：响应曲线第一次越过静态值达到峰值点时，：响应曲线第一次越过静态值达到峰值点时，越过部分的幅度与静态值幅度之比；越过部分的幅度与静态值幅度之比；振荡次数振荡次数N：在过渡过程时间：在过渡过程时间0tts内，内，xo(t)穿越其稳态值穿越其稳态值xo()的次数的一半定义为振荡次数。的次数的一半定义为振荡次数。书上此处给出了前五点，第六点也记住。书上此处给出了前五点，第六点也记住。AB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts
9、动态过程、过渡过程、调节过程动态过程、过渡过程、调节过程稳态过程稳态过程 机电工程控制基础机电工程控制基础8河北工程大学Hebei University of Engineering 上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts 机电工程控制基础机电工程控制基础9河北工程大学Hebei University of Engineering trtpAB%=100%BAts 机电工程控制基础机电工程控制基础10河北工程大学Hebei University of Engineering 系统动态特性可归结为：系统动态特性可归结为：1、系统快速性能指标：、系统快速性能指标：延迟时间、延迟时间、上升时间、
10、峰值时间、上升时间、峰值时间、调节时间调节时间；2、系统平稳性能指标：、系统平稳性能指标：超调量超调量、振荡次数、振荡次数。由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处理。以二阶系统为例，在单位阶跃响应和时间的关系图。理。以二阶系统为例，在单位阶跃响应和时间的关系图。y(t)机电工程控制基础机电工程控制基础11河北工程大学Hebei University of Engineering 3.2 时间响应和典型输入信号时间响应和典型输入信号系统的系统的动态过程动态过程（瞬态响应瞬态响应）系统的系统的响应过程响应过程（时间响应时间响应）系统的系统的
11、稳态过程稳态过程（稳态响应稳态响应、静态过程静态过程）描述系统的描述系统的稳态性能稳态性能（静态性能）（静态性能）描述系统的描述系统的动态性能动态性能稳？稳？不稳？不稳？一般，系统可能受到的外加作用有一般，系统可能受到的外加作用有控制输入控制输入和和扰动扰动，扰，扰动通常是随机的，即使控制输入，有时其函数形式也不可能动通常是随机的，即使控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础，通常规
12、定控制系统的通常规定控制系统的初始状态为零状态初始状态为零状态（实际工程中零初始（实际工程中零初始状态普遍存在）。这些信号称为控制系统的状态普遍存在）。这些信号称为控制系统的典型输入信号典型输入信号。机电工程控制基础机电工程控制基础12河北工程大学Hebei University of Engineering 对同一系统，无论采用哪种输入对同一系统，无论采用哪种输入信号，系统本身的性能（如传递信号，系统本身的性能（如传递函数函数G(s)G(s)）不会改变。）不会改变。尽管在时间系统中，输入信号很少是典型信号，但由于尽管在时间系统中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型输入信号的时间响应和系
13、统对任意输入信号的时系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以只有知道系统对典型输入间响应之间存在一定的关系，所以只有知道系统对典型输入信号的响应，再利用下式，即可求得系统对任意输入的响应。信号的响应，再利用下式，即可求得系统对任意输入的响应。Xi2(s)XO2(s)=G(s)=Xi1(s)XO1(s)系统的输入信号可分为系统的输入信号可分为确定性信号确定性信号和和非确定性信号非确定性信号。确。确定性信号是能用明确的数学关系式表达的信号；非确定性信定性信号是能用明确的数学关系式表达的信号；非确定性信号又称随机信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。号又
14、称随机信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。若已知典型输入信号若已知典型输入信号Xi1(s)，其响应，其响应XO1(s)未未知（但可测知（但可测得或算得）得或算得）；任意输入；任意输入Xi2(s)未知，其响应未知，其响应XO2(s)未知，但已未知，但已知知XO2(s)与与XO1(s)的数学关系，为求得的数学关系，为求得XO2(s)，必须先求得，必须先求得XO1(s)，即需要先了解各，即需要先了解各典型输入典型输入Xi1(s)引起的引起的响应响应XO1(s)。机电工程控制基础机电工程控制基础13河北工程大学Hebei University of Engineering 对典型输入信号的要求：
15、对典型输入信号的要求：1 1、能够使系统工作在最不利的情形下；、能够使系统工作在最不利的情形下；2 2、形式简单，便、形式简单，便于解析分析；于解析分析；3 3、实际中可以实现或近似实现。、实际中可以实现或近似实现。典型输入信号的选择原则：典型输入信号的选择原则：能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。如：若实际能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号；若输入信号为冲击输入入随时间逐渐变化，则可选速度信号；若输入信号为冲击输入量，选用脉冲函数；若
16、输入信号为往复运动，则选用正弦函数。量，选用脉冲函数；若输入信号为往复运动，则选用正弦函数。输入信号常用两类：其一是系统正常工作时的输入信号，输入信号常用两类：其一是系统正常工作时的输入信号，然而使用这些信号未必能全面了解系统的动态性能；其二是外然而使用这些信号未必能全面了解系统的动态性能；其二是外加测试信号，经常采用的有脉冲函数、阶跃函数等。加测试信号，经常采用的有脉冲函数、阶跃函数等。机电工程控制基础机电工程控制基础14河北工程大学Hebei University of Engineering 1、单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)1(t)tf(t)f(t)0 0其拉氏变换为：其拉氏变换为：
17、s1dte1)s(F)t(fL0st=-=0t00t1)t(1)t(f其数学表达式为：其数学表达式为：机电工程控制基础机电工程控制基础15河北工程大学Hebei University of Engineering t 2、单位斜坡函数单位斜坡函数0t0t0t)t(1t)t(f =.=其拉氏变换为：其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)t(fL=-f(t)f(t)0 0 其数学表达式为：其数学表达式为：机电工程控制基础机电工程控制基础16河北工程大学Hebei University of Engineering 它的数学表达式为它的数学表达式为 =02100)(2tAtttr 曲线如图所示
18、。当曲线如图所示。当A=1时，时，称为单位抛物线函数。称为单位抛物线函数。3、抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）31()R ss=机电工程控制基础机电工程控制基础17河北工程大学Hebei University of Engineering 4、单位脉冲函数单位脉冲函数000)()(=ttttfd d 其数学表达式为：其数学表达式为：其拉氏变换为：其拉氏变换为：1)()(=sFtfL+-=1)(dttd d定义：定义：图中图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。存在的，它是某些物理现象经
19、数学抽象化的结果。机电工程控制基础机电工程控制基础18河北工程大学Hebei University of Engineering 5、正弦函数正弦函数其拉氏变换为：其拉氏变换为：220sin)()(sdte tsFtfLst+=-000sin)(=ttttf 其数学表达式为：其数学表达式为：f(t)机电工程控制基础机电工程控制基础19河北工程大学Hebei University of Engineering 常用的典型输入信号常用的典型输入信号Asin t 正弦信号正弦信号 1d d(t)，t=0 单位脉冲信号单位脉冲信号 单位加速度信号单位加速度信号 t，t 0 单位速度单位速度(斜坡斜坡)
20、信号信号 1(t)，t 0 单位阶跃信号单位阶跃信号 复数域表达式复数域表达式 时域表达式时域表达式 名名 称称 s121s31s22+sA0,212tt 机电工程控制基础机电工程控制基础20河北工程大学Hebei University of Engineering 一、数学模型一、数学模型 可用一阶微分方程描述的系统就是一阶系统（如积分环可用一阶微分方程描述的系统就是一阶系统（如积分环节或惯性环节的单位负反馈闭环系统），惯性环节是其典型。节或惯性环节的单位负反馈闭环系统），惯性环节是其典型。11)(+=TssG()()()ooidx tTx tx tdt+=3.3 一阶系统的时间响应一阶系统
21、的时间响应微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：式中，式中，T称为称为一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统，它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性，亦称为一阶系统的特征本身的与外界作用无关的固有特性，亦称为一阶系统的特征参数。参数。1/(Ts+1)Xi(s)Xo(s)-框中框中T T是惯性环节的时间常数。是惯性环节的时间常数。机电工程控制基础机电工程控制基础21河北工程大学Hebei University of Engineering 二、在不同输入函数下的时间响应函数二、在不同输入函数下的时间响应函数1 1、一阶系统的单位阶跃响应、一阶系统的单位阶跃响应ssXi1
22、)(=TsssTssXsGsXio111111)()()(+-=+=0,1)(-=-tetxTto10.6321TA0B斜率斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)(-=63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T看书上不看书上不同时刻系同时刻系统的阶跃统的阶跃响应响应 机电工程控制基础机电工程控制基础22河北工程大学Hebei University of Engineering 一阶系统单位阶跃响应的特点：一阶系统单位阶跃响应的特点：响应分为两部分：响应分为两部分：瞬态响应瞬态响应：Tte-表示系统输出量从初态到终态的变表示系统输出量从初态到终态的变化过程（
23、动态过程、过渡过程）化过程（动态过程、过渡过程）。稳态响应稳态响应：1表示表示t时，系统的输出状态。时，系统的输出状态。xo(0)=0，随时间的推移，随时间的推移，xo(t)增大，且无振荡。当增大，且无振荡。当xo()=1时，时，ess=0，即无稳态误差；，即无稳态误差；xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间，即经过时间T，系统响应达到其，系统响应达到其稳态输出值的稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数时间常数T。Tdttdxto1)(0=机电工程控制基础机电工程控制基础23河北工程大学Hebei University of En
24、gineering 时间常数时间常数T T 反映了系统响应的快慢，它由一阶系统的固反映了系统响应的快慢，它由一阶系统的固有特性决定，与输入输出无关。通常工程中当响应曲线达有特性决定，与输入输出无关。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的到并保持在稳态值的95%95%98%98%时，可认为系统响应过程基时，可认为系统响应过程基本结束，从而惯性环节的过渡过程时间为本结束，从而惯性环节的过渡过程时间为3 3T T4 4T T。T值越小，值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快，越容易改变系统系统的惯性就越小，系统的响应就越快，越容易改变系统的状态。的状态。1.平稳性平稳性：2.快速性快速性ts：
25、3.准确性准确性 ess：非周期、无振荡，非周期、无振荡，0%595.0)(3误差带误差带对应对应时，时，=tcTt%298.0)(4误差带误差带对应对应时，时，=tcTt0)(1=-=cess 控制系统在稳定前提下，要求：稳、快、准。控制系统在稳定前提下，要求：稳、快、准。问：已知系统是一个一阶系统，怎么用实验法求系统的问：已知系统是一个一阶系统，怎么用实验法求系统的G(s)？机电工程控制基础机电工程控制基础24河北工程大学Hebei University of Engineering 2 2、一阶系统的单位脉冲响应、一阶系统的单位脉冲响应1)(=sXi1()()()1oiXsG s X s
26、Ts=+0,1)(=-teTtxTtoxo(t)1/T0t0.368 1T斜率斜率xo(t)T 2T 3T 4T21T-一阶系统单位脉冲响应的特点：一阶系统单位脉冲响应的特点：瞬态响应瞬态响应：(1/(1/T T)e)e t t/T T；稳态响应稳态响应：0 0；xo(0)=1/T，随时间的推移，随时间的推移，xo(t)指数衰减；指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于于0.10.1T T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。201)(Tdttdxto-=看书上不看书上不同时刻系同时刻系统
27、的脉冲统的脉冲响应响应 机电工程控制基础机电工程控制基础25河北工程大学Hebei University of Engineering 3 3、一阶系统的单位斜坡响应、一阶系统的单位斜坡响应21)(ssXi=TsTsTssTssXsGsXio11111)()()(22+-=+=(),0tTox ttTTet-=-+0txi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=T一阶系统单位速度响应的特点一阶系统单位速度响应的特点:瞬态响应瞬态响应：T e t/T；稳态响应稳态响应：t T。经过足够长的时间（稳态时，如经过足够长的时间（稳态时，如t 4T），输出增长速率），输出增长速率近似与输入相同
28、，此时输出为：近似与输入相同，此时输出为：t T，即输出相对于输入，即输出相对于输入滞后时间滞后时间T。系统响应误差为：系统响应误差为：TeeTtxtxteTtoi=-=-=-)()1()()()(机电工程控制基础机电工程控制基础26河北工程大学Hebei University of Engineering 1(),()1()dttdtdttdtd=TtotTtoTtoTeTttxetxeTtx-+-=-=)(1)(1)(1d注意到，对一阶系统：注意到，对一阶系统：即：即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数响应的导数。（注意：是对
29、输入输出的时域信号进行微分）。（注意：是对输入输出的时域信号进行微分）同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。均成立。微分微分 机电工程控制基础机电工程控制基础27河北工程大学Hebei University of Engineering 例：某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间变例：某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间变化的规律为化
30、的规律为 ，实验测得当，实验测得当t=60s时温度计读数时温度计读数达到实际水温的达到实际水温的95%,试确定该温度计的传递函数。试确定该温度计的传递函数。t11)(Teth-=解：解：温度计插入温度恒定的热水后，温度计显示温度为阶温度计插入温度恒定的热水后，温度计显示温度为阶跃响应过程。跃响应过程。依题意将依题意将 t=60s代入到代入到h(t)式式中，求得：中，求得：是典型的一阶系统。是典型的一阶系统。由线性系统性质由线性系统性质：由传递函数性质由传递函数性质 ：20T 1120()11ttTh tee-=-=-故有：tethtk201201)()(-=1201)()(+=stkLs 机电
31、工程控制基础机电工程控制基础28河北工程大学Hebei University of Engineering 现采用如题所示的负反馈方式，欲将反馈系统的调节时现采用如题所示的负反馈方式，欲将反馈系统的调节时间减小为原来的间减小为原来的0.1倍，并且保证原放大倍数不变，试确倍，并且保证原放大倍数不变，试确定参数定参数K0，K1的值。的值。001011110K1010K1 10K0.2s1sK10K0.20.2s1 10Ks111 10K0.2s1+=+（）解：由原系统传递函数得原系统是一阶系统，其解：由原系统传递函数得原系统是一阶系统，其时间常时间常数数 ，放大倍数，放大倍数 。则。则新系统的传递
32、函数为：新系统的传递函数为：1s2.010）s（G+=例：原系统传递函数为：例：原系统传递函数为：2.0=T10=K 机电工程控制基础机电工程控制基础29河北工程大学Hebei University of Engineering 根据题意，根据题意，列方程组：列方程组：01100.9KK=01110K101 10K0.20.2 0.11 10K=+=+解得：解得：原系统的调节时间对应了原系统的调节时间对应了3T或或4T，将反馈系统的调节时，将反馈系统的调节时间减小为原来的间减小为原来的0.1倍，就是将倍，就是将T变为原来的变为原来的0.1倍，倍，机电工程控制基础机电工程控制基础30河北工程大学
33、Hebei University of Engineering 6 6、不同时间常数下的响应情况、不同时间常数下的响应情况 由上图可知，由上图可知，T T越大，惯性越大。一阶系统的性能指标：越大，惯性越大。一阶系统的性能指标：ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-(1-)所所需的时间需的时间(为容许误差为容许误差)。=2%,t=2%,ts s=4T=4T；=5%,t=5%,ts s=3T=3T。调。调节时间节时间ts反映系统响应的快速性，反映系统响应的快速性，T T越大，系统的惯性越大，越大，系统的惯性越大，调节时间越长，响应越慢。调节
34、时间越长，响应越慢。机电工程控制基础机电工程控制基础31河北工程大学Hebei University of Engineering 3.4 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应 一般控制系统均系高阶系统，但在一定准确条件下，可忽一般控制系统均系高阶系统，但在一定准确条件下，可忽略某些次要因素，近似地用一个二阶系统来表示。略某些次要因素，近似地用一个二阶系统来表示。一、二阶系统函数一、二阶系统函数 222222121)(nnnssTssTsG+=+=式中，式中，T为系统的为系统的时间常数时间常数，也称为，也称为无阻尼自由振荡周无阻尼自由振荡周期期；为为阻尼比阻尼比；n1/T为系统的为系统的无阻尼
35、固有频率无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：0222=+nnss极点（特征根）：极点（特征根）：122,1-=nnp特征根完全取决于特征根完全取决于 ，n这两个参数。这两个参数。机电工程控制基础机电工程控制基础32河北工程大学Hebei University of Engineering 欠阻尼欠阻尼二阶系统：二阶系统：00 1 1具有两个不相等的负实数极点：具有两个不相等的负实数极点：122,1-=nnp 无阻尼无阻尼二阶系统：二阶系统：0具有一对共轭虚极点：具有一对共轭虚极点：njp=2,1 负阻尼负阻尼二阶系统：二阶系统：0极点实部大于零，响应极点实部大于零，响应将发
36、散，系统不稳定。将发散，系统不稳定。机电工程控制基础机电工程控制基础34河北工程大学Hebei University of Engineering 二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应ssXi1)(=2222222nndnd1()(2)()(1)21)(snnonnnnXss sssssssjj=+-+=-+-（）欠阻尼（欠阻尼（0 11）状态）状态 特点：单调上升，无振荡，特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长；过渡过程时间长；xo()=1，无稳态误差。无稳态误差。1 1 c(t)t022223121212()(2)1nonnnXss ssAAAsspspsspsp=+=-易
37、知具有两个不相等的负实数极点：易知具有两个不相等的负实数极点：21,21nnp=-12123()p tp tox tAA eA e=+机电工程控制基础机电工程控制基础39河北工程大学Hebei University of Engineering 负阻尼（负阻尼（0）状态）状态 0txo(t)-1 0t0 xo(t)-1q-1 0：输出表达式与欠阻尼状态相同。：输出表达式与欠阻尼状态相同。q -1：输出表达式与过阻尼状态相同。：输出表达式与过阻尼状态相同。特点：振荡发散特点：振荡发散 特点：单调发散特点：单调发散 机电工程控制基础机电工程控制基础40河北工程大学Hebei University
38、of Engineering 几点结论：几点结论：q 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；时，阶跃响应发散，系统不稳定；1 时，无振荡、时，无振荡、无超调，过渡过程长无超调，过渡过程长（稳，准，但慢）（稳，准，但慢）；0 1 =1 1 y(t)为什么希望二阶系统工作在为什么希望二阶系统工作在0.4 0.8的欠阻尼状态？的欠阻尼状态？机电工程控制基础机电工程控制基础41河北工程大学Hebei University of Engineering q 一定时，一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。够更快达到稳态值，响应
39、的快速性越好。q 若给定系统设计性能，比较一阶系统、二阶系统，通常选若给定系统设计性能，比较一阶系统、二阶系统，通常选二阶系统，因其更易得到较短的过渡时间，且二阶系统的振二阶系统，因其更易得到较短的过渡时间，且二阶系统的振荡性能也通常能满足要求。荡性能也通常能满足要求。如欠阻尼的指数衰减如欠阻尼的指数衰减21nte-机电工程控制基础机电工程控制基础42河北工程大学Hebei University of Engineering 例：已知二阶系统的闭环传递函数例：已知二阶系统的闭环传递函数求系统的单位阶跃响应。求系统的单位阶跃响应。解：解：得：得：将参数代入公式将参数代入公式:24()4G sss
40、=+2214nn=2,0.25n=21arctan75-=211.9dn=-=0.521sin1 1.03sin 1.9751nttodexttet-=-+=-+-机电工程控制基础机电工程控制基础43河北工程大学Hebei University of Engineering 三、二阶系统的单位脉冲响应三、二阶系统的单位脉冲响应 欠阻尼欠阻尼00 1 1：22112(),210nnttnox teet-+-=-机电工程控制基础机电工程控制基础45河北工程大学Hebei University of Engineering 四、二阶系统的单位斜坡响应四、二阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号
41、时，当输入信号为单位斜坡信号时，2222222222222222222221212221112111nonnnnnnnnnnnnnnnnXssssssssssssss=+-+-=-+=-+=-+=-+-+-+-+-机电工程控制基础机电工程控制基础46河北工程大学Hebei University of Engineering 221sin201ntodnnxttett-=-+=-+-临界阻尼临界阻尼221()1(0)2ntonnnx ttt et-=-+欠阻尼欠阻尼 过阻尼过阻尼2222(1)222(1)221212()212121,(0)21nntonntnxtteet-+-+-=-+-机电工
42、程控制基础机电工程控制基础47河北工程大学Hebei University of Engineering 五、二阶系统的性能指标五、二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应单位阶跃响应进行进行定义。常见的性能指标有：定义。常见的性能指标有：上升时间上升时间tr、峰值时间峰值时间tp、调整调整时间时间ts、最大超调量最大超调量Mp、振荡次数振荡次数N。用单位阶跃响应
43、求用单位阶跃响应求二阶系统的性能指标的原因：二阶系统的性能指标的原因：1 1、阶、阶跃输入较容易产生，从跃输入较容易产生，从单位阶跃响应求其它种类的响应比单位阶跃响应求其它种类的响应比较容易较容易；2 2、单位阶跃输入使系统工作在最不利状态下；、单位阶跃输入使系统工作在最不利状态下；3 3、在实际中，许多输入类似于阶跃输入。、在实际中，许多输入类似于阶跃输入。机电工程控制基础机电工程控制基础48河北工程大学Hebei University of Engineering q 评价系统评价系统快速性快速性的性能指标的性能指标 上升时间上升时间tr响应曲线从响应曲线从零时刻零时刻出发出发首次到达稳态
44、值首次到达稳态值所需时间。对无超所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的从稳态值的10%上上升到升到90%所需的时间所需的时间。峰值时间峰值时间tp响应曲线从零上升到响应曲线从零上升到第一个峰值第一个峰值所需时间。所需时间。调整（节）时间调整（节）时间ts响应曲线由响应曲线由零时刻零时刻到达并保持在到达并保持在允许误差范围允许误差范围（稳态值的（稳态值的 2%或或 5%）内所需的时间。）内所需的时间。机电工程控制基础机电工程控制基础49河北工程大学Hebei University of Engineering 最大超调量最大超调量Mp响应响
45、应曲线的最大峰值与稳态值之差再除以稳态值曲线的最大峰值与稳态值之差再除以稳态值。通常。通常用百分数表示：用百分数表示：%100)()()(-oopopxxtxM若若xo(tp)xo()，则响应无超调。，则响应无超调。振荡次数振荡次数N在调整时间在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数曲线穿越稳态值次数的一半计数。q 评价系统评价系统相对稳定性（平稳性）相对稳定性（平稳性）的性能指标的性能指标 机电工程控制基础机电工程控制基础50河北工程大学Hebei University of Engineering 欠阻尼
46、欠阻尼二阶系统的时域性能指标二阶系统的时域性能指标 上升时间上升时间tr1sin11)(2=+-=-rdtrotetxrn根据上升时根据上升时间的定义有：间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)(2+-=-ttetxdton2221arccos11-=-=-=nndrarctgt从而：从而：即：即：0sin=+rdt,0,1,2,d rtkk+=显然，显然，一定时，一定时，n越大越大tr越小；越小；n一定时，一定时，越大越大tr 越大。越大。即：即：y(t)机电工程控制基础机电工程控制基础51河北工程大学Hebei University of E
47、ngineering 峰值时间峰值时间tp，并将，并将t=tp代入可得：代入可得：0)(=dttdxo令令0)cos(1)sin(122=+-+-pdtdpdtntetepnpn即：即：tgttgpd=-=+21)(,0,1,2,d ptkk+=+=根据根据tp的定义解上方程可得：的定义解上方程可得：21-=ndpt 可见，峰值时间等于阻尼振荡周期可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。的一半。且且 一定，一定，n越大，越大，tp越小；越小；n一定，一定，越大，越大，tp 越大。越大。y(t)机电工程控制基础机电工程控制基础52河北工程大学Hebei University of Eng
48、ineering 最大超调量最大超调量 Mp221()()100%()cossin1100%ndopopox txMxee -=-+-=显然，显然，Mp仅与仅与阻尼比阻尼比 有关。最大有关。最大超调量直接说明了超调量直接说明了系统的阻尼特性。系统的阻尼特性。越大，越大，Mp 越小，系越小，系统的平稳性越好，统的平稳性越好，当当 =0.40.8时，可时，可以求得相应的以求得相应的Mp=25.4%1.5%。00.1 0.2 0.3 0.40.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10102030405060708090100Mp 二阶系统二阶系统Mp 图图 机电工程控制基础机电工程控制基础53河北工
49、程大学Hebei University of Engineering t t0 01 1xo(t)211-+-tne211-tne2111-+2111-T T2 2T T3 3T T4 4T TT2 调整时间调整时间t ts s 对于欠阻尼二阶对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对应的包络线为一对对称于响应稳态分量称于响应稳态分量 1 的指数曲线。的指数曲线。2()1sin,01ntodex ttt-=-+-其中，其中，21-=ndarccos12=-=arctg oooxtxx-ts要满足：要满足：0.02 0.05=机电工程控制基础机电工程控制基础54河北工程
50、大学Hebei University of Engineering 当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：然也处于允许误差范围内。因此利用：2111n ste-=-nst21lnln-=可以求得：可以求得：由此式求得的由此式求得的ts通常偏保守。通常偏保守。当当 一定时，一定时，n越大，越大，ts越小，系统响应越快。越小，系统响应越快。在具体设计时，通常根据在具体设计时，通常根据最大超调量最大超调量 Mp确定确定阻尼比阻尼比，根据根据调节时间调节时间t ts s确定确定系统的系统的 n；反过来也可根据；反过
