1、 第 1 页 /共 8 页 高考数学必背公式与知识点过关检测 高考数学必背公式与知识点过关检测 数学基本公式、概念全掌握数学基本公式、概念全掌握 第一部分：集合与常用逻辑用语 第一部分：集合与常用逻辑用语 1子集个数：子集个数：含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集， 有 个非空真子集 2 常见数集： 常见数集： 自然数集： ； 正整数集： 或 ； 整数集： ； 有理数集： ； 实数集： 3空集：3空集：是任何集合的 ，是任何非空集合的 . 4元素特点4元素特点： 、 、 确定性 5集合的的运算5集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 6四种命题：6四种命题：原命题：若p
2、，则q；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否 命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命 题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 7充要条件的判断：7充要条件的判断：pq，p是q的 条件；pq，q是p的 条件； pq，, p q互为 条件； 若命题p对应集合A， 命题q对应集合B， 则pq等 价于 ，pq等价于 注意区分：注意区分： “甲是乙的充分条件（甲乙） ”与“甲的充分条件是乙（乙甲） ” ； 8逻辑联结词：8逻辑联结词：或命题：pq，, p q有一为真即为 ，, p q均为假时才为 ； 且命题：pq，, p
3、q均为真时才为 ，, p q有一为假即为 ； 非命题：p和p为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词： 9.全称量词与存在量词： 全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题 p：)(,xpMx；全称命题 p 的否定p： ； 存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题 p：)(,xpMx；特称命题 p 的否定p： ； 第二部分：函数与导数及其应用第二部分：函数与导数及其应用 1函数的定义域：函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数 0 ； 对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0 且 1 2分段函数：2分段函数：值域（最值） 、单调
4、性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3函数的单调性：函数的单调性：设 1 x， 2 , xa b，且 12 xx，那么： （1） 1212 () ( )()0xxf xf x 12 12 ( )() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是 函数； （2） 1212 () ( )()0xxf xf x 12 12 ( )() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是 函数； （3）如果0)( x f，则)(xf为 函数；0)( x f，则)(xf为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断
5、原函数在其定义域内的单调性. 4函数的奇偶性:4函数的奇偶性: 函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件前提条件 )(xf是 函数)()(xfxf；)(xf是 函数)()(xfxf . 奇函数)(xf在 0 处有定义，则 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性 偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 5函数的周期性： 5函数的周期性： 周期有关的结论：(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T= ； （2）)()(xfaxf，或)0)( )( 1 )(xf xf axf，或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f
6、x , 则)(xf的周期 T= （3）)()(axfaxf或)0)()2(axfaxf )(xf的周期为 （4）()()f xmf xn )(xf的周期为 6函数的对称性：函数的对称性： ( )yf x的图象关于直线 对称()()f axf ax(2)( )faxf x； ( )yf x的图象关于直线 对称()()f axf bx()( )f a bxf x ； ( )yf x的图象关于点 对称()()f axf bx * ( )yf x的图象关于点 (, ) 2 ab c 对称()2()f axcf bx 2 7.分数指数幂与根式的性质：7.分数指数幂与根式的性质： （1） m n a_(0
7、,am nN,且1n）. （2） 11 m n m nm n a a a （0,am nN,且1n）. （3）()n n aa. （4）当n为奇数时, nn aa；当n为偶数时, ,0 | ,0 nn a a aa a a . 8.指数性质8.指数性质： (1) p a _ ； (2) 0 a _（0a） ； (3) mn a _ (4) rs aa _ ； (5) m n a _ ； 9.指数函数9.指数函数(如右图)： （1）(1) x yaa在定义域内是单调_函数； （2）(_) x ya在定义域内是单调减函数. 注：指数函数图象都恒过定点_. 10对数运算规律：对数运算规律： （1）对
8、数式与指数式的互化：logaNb_(0,1,0)aaN. （2）对数恒等式：log 1 a ，logaa ，log b aa lg2+lg5 ，lne= （3）对数的运算性质： 加法：loglog aa MN 减法： loga M N 数乘： log() n aM nR 恒等式： logaN a log m n a b 换底公式： log log log m a m N N a 11.对数函数11.对数函数(如右图)： (1) log(1) a yx a 在定义域内是单调递增函数； （2）log(01) a yxa在定义域内是单调递减函数； 注： 对数函数图象都恒过点_. 12.反函数：12.
9、反函数：函数 x ya的反函数是_,函数logayx的反函数是_. 13二次函数： 13二次函数： 二次函数cbxaxy 2 （a0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 判别式acb4 2 ；0时，图像与x轴有 个交点； 0时，图像与x轴有 个交点；0时，图像与x轴没有交点； 14. 韦达定理： 14. 韦达定理： 若 12 ,x x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的两个根， 则： 12 xx= ， 12 x x= . 1515 零点存在定理： 若( )yf x在a,b上满足 , 则( )yf x在（a,b)内至少有一个零点 1616常见函数的导数公式： ( )C ； ( n x） ；
10、 (nx ） (sin x ） ； (cosx ） ； ( x e） ； (ln x ） ； ( x a） ； (logx） . 1717导数运算法则： f xg x （1） ； 2 f x g x （ ） 18曲线的切线方程：18曲线的切线方程：函数)(xfy 在点 0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,( 00 xfxP处的切线 的斜率为)( 0 x f ，相应的切线方程是 . 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 1角度制与弧度制互化：角度制与弧度制互化： 360= rad，180= rad，1= rad，1rad= 2若扇形扇形的圆心
11、角为() 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则 l ，C ，S= = 0a1 1 y=ax o y x 0a1 1 y=logax o y x 第 3 页 /共 8 页 3.三角函数定义式： 3.三角函数定义式：角终边上任一点（非原点）P),(yx,设rOP | 则 sin ，cos ，tan 4同角三角函数的基本关系：4同角三角函数的基本关系： （1）平方关系： （2）商数关系 （3）三角不等式： sincossincosxxxx与的关系是_. 若(0,) 2 x ,则sincos1xx. 若() 2 x ，,则sincos1xx |sin|cos| 1xx. 5.函数的诱导
12、公式：口诀： 奇变偶不变，符号看象限5.函数的诱导公式：口诀： 奇变偶不变，符号看象限. 1 sin 2sink ， ， （kZ） （2） ， ， tantan (3) ， ， tantan (4) ， , tantan 5 sincos 2 ， (6) ， cossin 2 6特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值： 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 角的 弧度数 Sin Cos tan 7三角函数的图像与性质：三角函数的图像与性质： 8几个常见三角函数的周期：几个常见三角函数的周期： xysin 与xycos的周期为 . )sin(xy或)cos(xy
13、（0）的周期为 . 2 tan x y 的周期为 . xycos 的周期为 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 4 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 1 cos（） ； 2 cos（ ） ； 3 sin（） ； 4 sin（ ） ； 5 tan（） ; 6 tan（ ） . 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2 cos2 = = tan2 2 cos降次公式： ， 2 sin , sincos 11引入辅助角公式： 11引入辅助角公式： sin
14、cosab . (其中,辅助角所在象限由点( , )a b所在的象限决定,tan b a ). 12. 正弦定理：12. 正弦定理： . （R是ABC外接圆直径） 注 ：注 ： CBAcbasin:sin:sin:； CRcBRbARasin2,sin2,sin2； CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin 13. 余弦定理：余弦定理： .（逆定理）（逆定理） （以（以 A 角和其对边来表示）角和其对边来表示） 14. 三角形面积公式：三角形面积公式： ABC S = = （用边与角的正弦值来表示）（用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式：三角形面积导
15、出公式： ABC S （r为ABC内切圆半径）= （R外接圆半径） 15. 三角形内切圆半径15. 三角形内切圆半径r= 外接圆直径外接圆直径 2R= = = 第四部分：平面向量、数列与不等式 第四部分：平面向量、数列与不等式 1 平面向量的基本运算：平面向量的基本运算： 设 A 11 ( ,)x y,B 22 (,)xy,则_.ABOB OA 设 11 ( ,)ax y， 22 (,)bxy； （0b ） 1/2 y x y=|cos2x+1/2|图象 = ；ab= ；a= . a b （定义公式）= (坐标公式) a在b方向上的投影为. = (坐标公式) ab （一般表示） （坐标表示）
16、ab （一般表示） （坐标表示） cos夹角公式： = (坐标公式). 2.2.若G为ABC的重心，则 =0； 且 G 点坐标为 ( ， ) 3.3.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线 (1)OPxOAx OB 4.三角形的四心 4.三角形的四心 重心：三角形三条 交点. 外心：三角形三边 相交于一点. 内心：三角形三 相交于一点. 垂心：三角形三边上 的相交于一点. 5.5. 数列数列 n a中中 n a与与 n S的关系的关系 n a （注：该公式对任意数列都适用） 6. 数列相关知识数列相关知识 1.等差数列： 等差数列： 通项公式： （1） n a _ ,其中 1 a为首项,d
17、为公差,n 为项数, n a为末项. （2）推广： n a _ 前 n 项和： n S _=_；其中 1 a为首项,n 为项数, n a为末项. 常用性质： （1）若 m+n=p+q ,则有 _ ； 注：若, mnp aa a是的等差中项,则有 2 mnp aaan,m,p 成等差数列. 第 5 页 /共 8 页 （2）若 n a、 n b为等差数列,则 nn ab为等差数列. （3） n a为等差数列, n S为其前 n 项和,则 232 , mmmmm SSSSS也成等差数列. （4）,0 pqp q aq apa 则 ； 2.等比数列：.等比数列： 通项公式： （1） _. n a ,其
18、中 1 a为首项,n 为项数,q 为公比. （2）推广：_. n a 前 n 项和：_. n S 常用性质： （1）若 m+n=p+q,则有 _ ； 注：若, mnp aa a是的等比中项,则有 2 mnp aaan、m、p 成等比. （2）若 n a、 n b为等比数列,则 nn ab为等比数列. 7.常见数列的和： 7.常见数列的和： 1+2+3+n= 1 2+22+32+n2= 1 3+23+33+n3= 8.一元二次不等式解的讨论.8.一元二次不等式解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 的解集)0( 0 2 a
19、 cbxax 的解集)0( 0 2 a cbxax 9. 重要不等式： 9. 重要不等式： 基本不等式： 基本不等式： 若0,0ab则 ； 11极值定理：11极值定理：已知yx,都是正数，则有： (1)如果积xy是定值p，那么当yx 时和yx有最小值 ； (2)如果和yx是定值s，那么当yx 时积xy有最大值 . 12.均值不等式链：12.均值不等式链： 如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号） 即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数） 特别地， 22 2 () 22 abab ab （当 a = b 时， 22 2 () 22 abab ab ） ),( 33
20、 2 222 时取等cbaRcba cbacba 幂平均不等式： 2 21 22 2 2 1 ).( 1 . nn aaa n aaa 13.均值定理13.均值定理:已知yx,都是正数,则有 （1）已知, , ,a b x yR,若1axby则有 2 1111 ()()2() byax axbyabababab xyxyxy . （2）已知, , ,a b x yR,若1 ab xy 则有 2 ()()2() abaybx xyxyabababab xyxy 6 第五部分：立体几何与解析几何 第五部分：立体几何与解析几何 1. 三视图与直观图：三视图与直观图： 原图形与直观图面积之比为 2.
21、常见几何体表面积公式：常见几何体表面积公式： 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S= 圆台的表面积 S= 球的表面积 S= 3常见几何体体积公式：常见几何体体积公式： 柱体的体积 V= 锥体的体积 V= 台体的体积 V= 球体的体积 V= 4. 常见空间几何体的有关结论： 4. 常见空间几何体的有关结论： 棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ， 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ； 相应小棱锥与小棱锥的侧 面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为 ，全面 积为 ，体积 V= 正
22、方体的棱长为a，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积 V= 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径长方体的 长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. 正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的： 高： ；对棱间距离： ；内切球半径： ；外接球半径： 5.立体几何常用的六个定理(三种语言)5.立体几何常用的六个定理(三种语言) (1)直线和平面平行的判定定理 (2)直线和平面平行的性质定理 (3)平面和平面平行的判定定理 (4)直线和平面垂直的判定定理 (5)平面和平面垂直的判断定理 (6)平面和平
23、面垂直的性质定理 6直线的斜率：直线的斜率：k = = （为直线的倾斜角， 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy为直线上的两点） 7. 直线方程的五种形式： 7. 直线方程的五种形式： 直线的点斜式方程： (直线l过点 111 ( ,)P x y，且斜率为k) 直线的斜截式方程： (b为直线l在y轴上的截距). 直线的两点式方程： ( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy 12 xx， 12 yy). 直线的截距式方程： (a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且0, 0ba). 直线的一般式方程：0AxByC (其中 A、B 不同时为 0). 直线0AxByC的法
24、向量：( , )lA B ,方向向量：( ,)lBA 8两条直线的位置关系： 8两条直线的位置关系： （1）若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb,则： 1 l 2 l 且 ； . （2）若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,则： 1 l 2 l 且 ；. 12 ll . 9距离公式：距离公式： （1）点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy之间的距离： 第 7 页 /共 8 页 （2）点 00 (,)P xy到直线0AxByC的距离： （3）平行线间的距离： 1 0AxByC与 2 0AxByC的距离： 10.圆的方程： （1）圆的
25、标准方程： 10.圆的方程： （1）圆的标准方程： （2）圆的一般方程： （2）圆的一般方程： （)04 22 FED （3）圆的参数方程： （3）圆的参数方程： 11直线与圆的位置关系：11直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d与半径R的大小关系 （1）当 时，直线和圆 （有两个交点） ； （2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点） ； （3）当 时，直线和圆 （无交点） ； 12.12. 圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系：判断圆心距d与两圆半径和 12 RR，半径差 12 RR（ 12 RR）的大小 关系： （1）当 时，两圆 ，有 4 条公切线； （2）当 时，两圆 ，有 3 条
26、公切线； （3）当 时，两圆 ，有 2 条公切线； （4）当 时，两圆 ，有 1 条公切线； （5）当 时，两圆 ，没有公切线； 13. 直线与圆相交所得弦长|AB|=13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离 r 为半径） ） 若 112212 ( ,), (,)()A x yB xyyy，则线段 AB 的垂直平分线为：_. 已知两圆 2222 111222 00xyDxE yFxyD xE yF与， 则这两个圆公共弦所在直线方程为_. 14椭圆的定义： 椭圆的定义： （1）平面内与两个定点 21 FF、的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个 定点叫椭圆的焦点，两焦点间的
27、距离叫焦距.（ 222 cba） （2）标准方程：焦点在x轴上： ；焦点在y轴上： . （3）椭圆问题隐含条件： （1）_,(2)_. 15双曲线的定义：15双曲线的定义： （1）平面内与两个定点 21 FF、的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫 双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 abc） （2）标准方程：焦点在x轴上： ；焦点在y轴上： . （3）双曲线问题隐含条件： （1）_,(2)_. 16抛物线的定义： 16抛物线的定义： （1）平面内与一个定点F和一条定直线l（点F不在l上）的距离的 的点的轨迹叫做双 曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物
28、线的准线. （2）标准方程：焦点在x轴上： ；焦点在y轴上： . （3）抛物线问题隐含条件： （1）_,(2)_. 17离心率：离心率：e= （椭圆的离心率(0,1)，双曲线的离心率 ，抛物线的离心 率 ） 18 双曲线的渐近线： 双曲线的渐近线： 22 22 1 xy ab （0a ，0b） 的渐近线方程为 ， 且与 22 22 1 xy ab 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 22 22 xy ab . 19过抛物线焦点的直线：过抛物线焦点的直线： 倾斜角为的直线过抛物线 2 2ypx的焦点F且与抛物线交于 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy两点 （ 1 0y ） ： |AF|
29、= |BF|= |AB|= = x1x2= y1y2= 1 |AF| + 1 |BF| = 20焦点三角形的面积：焦点三角形的面积： （1）椭圆：S= ； （2）双曲线：S= （ 12 FPF） 21几何距离：几何距离： （1） 椭圆双曲线特有距离： 长轴 （实轴） ： ； 短轴 （虚轴） ： ； 焦距： . （2）通径长：椭圆、双曲线： ； 抛物线： . 22直线被曲线所截得的弦长公式：直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为A),(),( 2211 yxByx,则 |AB|= = = 23. 中点弦问题：中点弦问题： 椭圆：kABkOP= 双曲线：kABkOP= 第六部分：统计与概率 第六部
30、分：统计与概率 1. 总体特征数的估计：总体特征数的估计： 样本平均数x= ； 样本方差；S2= ； 样本标准差 S= . 8 2概率公式： 2概率公式： 互斥事件：_;对立事件：_: 互斥事件的概率公式：P(A+B)= 古典概型：基本事件的总数数为N，随机事件 A 包含的基本事件个数为M，则事件 A 发生的概率为：P(A)= 几何概型： 等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的 积等）的区域长度（面积或体构成事件A AP)( 3.回归分析 回归分析 (1)判断两个变量是正相关还是负相关可以用散点图; (2)线性回归方程系数公式:其中 b 为斜率,a 纵截距 11 2 22 11 ()()
31、 , () nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy baybx xnxxx (3)相关系数的理解； 4.独立性检验独立性检验:判断两个变量的依赖关系 P(K 2k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd 第七部分：复数 第七部分：复数 1. 复数的基本概念：复数的基本概念：zabi（a，bR） （1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i2= （2）模：|
32、z|= = （3）共轭复数：-z = （4）在复平面内对应的点为 （5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，dR） 2. 复数的基本运算：复数的基本运算： （1）加减法： （a+bi）（c+di）= （a+bi）（c+di）= （2）乘法： （a+bi）（c+di）= （3）除法： （a+bi）（c+di）= 注：注：对虚数单位i,有1 , , 1, 4342414 nnnn iiiiii. 第八部分：选修部分（极参与不等式） 第八部分：选修部分（极参与不等式） 1. 极坐标直角坐标极坐标直角坐标 cos sin x y 直角坐标极坐标直角坐标极坐标 22 tan(0) xy y x x
33、 2. 常见曲线的参数方程：常见曲线的参数方程： 常见曲线 的普通方 程与参数 方程 普通方程 参数方程 直线 过点 00 (,)xy倾斜角为 00 tan()yyxx 或者 0 xx （t为参数） 圆 222 00 ()()xxyyr （为参数） 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0） （为参数） 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0） （为参数） 抛物线 2 2ypx （p0） （t为参数） 3.不等式|(0,0)axbc ac的可转化为 不等式|(0,0)axbc ac的可转化为 4.绝对值三角不等式 柯西不等式： .（当且仅当 ad=bc 时取等号） 5.解|xaxbc型不等式的常用方法是_. 求|xaxb最值得常用方法是_. 求|axbcxd最值得常用方法是_.
