1、四川省成都七中2024届高第一学期第一次质量检测 数学理科满分: 150分 年级: 高二一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1.若直线 2 x+y-1=0是圆( x-a)2+ y2=1的一条对称轴, 则a=（ ）A.12B.-12C.1D.-12.已知命题 p: x R, sinxb0)的左、右焦点, 点A(0, b), 点B在椭圆C上, A F1=2 F1 B,D, E分别是 A F2, B F2的中点, 且D E F2的周长为 4 , 则椭圆C的方程为（ ）A. x24+ y23=1B. x24+ 3 y28=1C. x24+ 3 y24=1D. x2+ 3 y22=18.南
2、水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m时, 相应水面的面积为180.0 km2, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时, 增加的水量约为(7 2.65)（ ）A.1.0 1 09m3B.1.2 1 09m3C.1.4 1 09m3D.1.6 1 09m39.下列结论正确的是（ ）过点 A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5;圆 x2+ y2=4上有且仅有 3 个点到直线l:
3、 x-y+2=0的距离都等于 1已知 a b 0, O为坐标原点, 点P(a, b)是圆 E: x2+ y2= r2外一点, 且直线m的方程是 a x+b y=r2, 则直线m与圆E相交;已知直线 k x-y-k-1=0和以M(-3,1), N(3,2)为端点的线段相交, 则实数k的取值范围为-12 k 32;A.B.C.D.10.已知矩形 A B C D, A B=1, B C=3, 将A D C沿对角线A C进行翻折, 得到三棱锥D-A B C, 则在翻折的过程中，有下列结论:三棱锥 D-A B C的体积最大值为13;三棱锥 D-A B C的外接球体积不变;三棱锥 D-A B C的体积最大
4、值时, 二面角D-A C-B的大小是 60;异面直线 A B与C D所成角的最大值为 90.其中正确的是（ ）A.B.C.D.11.若直线 l: a x+b y+1=0始终平分圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的周长, 则( a-2)2+( b-7)2的最小值为（ ）A.5B.5C.2 5D.2012.在平面直角坐标系 x O y中, 已知圆C:( x-2)2+ y2=9, E, F是直线l: y=x+2上的两点, 若对线段E F上任意一点P, 圆C上均存在两点A, B, 使得cosA P B 0, 则线段E F长度的最大值为（ ）A.2B.14C.2 10D.4二填空题（共计4道
5、小题，每题5分，共计20分）13. 填空题（5分）已知命题 p: x R, cosx 1, 则p:_.14. 填空题（5分）命题 p:“x R, a x2+2 a x-4 0为假命题, 则a的取值范围是_.15. 填空题（5分）如图, F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, 点P是以 F1 F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点, 延长 P F2与椭圆交于点Q, 若P F1=4Q F2, 则直线 P F2的斜率为_.16. 填空题（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一, 指的是: 已知动点 M与两定点Q, P的距离之比|M Q|
6、M P|=(0, 1), 那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆, 其方程为 x2+ y2=1, 定点Q为x轴上一点,P-12, 0且=2,若点B(1,1), 则2|M P|+|M B|的最小值为_.三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. （本题满分10分）已知命题 p: x2-6 x+8 0, 命题q: 3-m x 3+m. 若p是q的充分不必要条件, 求m的取值范围.18. （本题满分12分）已知 A B C的顶点A(5,1), 边A B上的中线C M所在直线方程为2 x-y-5=0, 边A C上的高B H所在直线方程为x-2 y-5=0,
7、(1) 求顶点 C的坐标;(2) 求 A B C的面积.19. （本题满分12分）已知线段 A B的端点B的坐标为(1,3), 端点A在圆C:( x+1)2+ y2=4上运动.(1)求线段 A B的中点M的轨迹;(2)过 B点的直线L与圆C有两个交点A, D. 当C A C D时, 求L的斜率.20. （本题满分12分）最近国际局势波云诡谲, 我国在某地区进行军事演练, 如图, O, A, B是三个军事基地,C为一个军事要塞, 在线段A B上. 已知tanA O B=-2, O A=100 km, C到O A, O B的距离分别为50 km,30 5km, 以点O为坐标原点, 直线O A为x轴
8、, 建立平面直角坐标系如图所示.(1)求两个军事基地 A B的长;(2)若要塞 C正北方向距离要塞100 km处有一E处正在进行爆破试验, 爆炸波生成t h时的半径为r=5 a t(参数a为大于零的常数), 爆炸波开始生成时, 一飞行器以300 2km / h的速度自基地A开往基地B, 问参数a控制在什么范围内时, 爆炸波不会波及到飞行器的飞行.21. （本题满分12分）如图所示正四棱锥 S-A B C D, S A=S B=S C=S D=2, A B=2, P为侧棱S D上的点.(1) 求证: A C S D;(2) 若 SS A P= 3 SA P D,( i ) 求三棱锥 S-A P
9、C的体积.(ii ) 侧棱 S C上是否存在一点E, 使得B E / /平面P A C. 若存在, 求S EE C的值；若不存在，试说明理由22. （本题满分12分）已知椭圆 C: x2 a2+ y2 b2=1(ab0), 长轴是短轴的 3 倍, 点1, 2 23在椭圆C上.(1)求椭圆 C的方程;(2) 若过点 Q(1,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M, N两点, 在x轴的正半轴上是否存在点T(t, 0), 使得直线T M, T N斜率之积为定值? 若存在, 求出t的值; 若不存在, 请说明理由.参考答案一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】A2. 【答案】
10、A3. 【答案】A4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】C11. 【答案】D 【解析】直线l: a x+b y+1=0始终平分圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的周长直线必过圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的圆心即圆心 (-2,-1)点在直线l: a x+b y+1=0上则 2 a+b-1=0则 ( a-2)2+( b-7)2表示点(2,7)至直线2 a+b-1=0点的距离的平方则其最小值 d2=|2 2+7 1-1| 22+ 122=20故选 D.12. 【答案】C 【解析】由题意, 圆心到直
11、线 l: y=x+2的距离为d=|2-0+2|2=2 2114. 【答案】-40), 则P F1=4 x, 因为P F1+P F2=2 a,Q F1+Q F2=2 a, 所以P F2=2 a-4 x,Q F1=2 a-x, 在P F1 Q中, F1 P Q=90, 所以P F12+ |P Q|2=Q F12, 即( 4 x)2+( 2 a-4 x+x)2=( 2 a-x)2, 整理得a=3 x, 所以tanP F2 F1=P F1P F2=4 x2 a-4 x=4 x6 x-4 x=2, 所以直线 P F2的斜率为k=tan1 80-P F2 F1=-216. 【答案】10 【解析】令2|M
12、P|=|M Q|，则|M Q|M P|=2, 由题意可得圆 x2+ y2=1是关于P, Q的阿波罗尼斯圆, 且=2,设点 Q的坐标为(m, n), 则( x-m)2+( y-n)2x+122+ y2=2整理得， x2+ y2+4+2 m3 x+2 n3 y+ 1-m2- n23=0由已知该圆的方程为 x2+ y2=1, 则4+2 m=0 2 n=0 1-m2- n23=-1, 解得m=-2 n=0,点Q的坐标为(-2,0),2|M P|+|M B|=|M Q|+|M B|,由图象可知，当点 M位于 M1或 M2时取得最小值, 且最小值为|Q B|=( -2-1)2+1=10三（共计6道小题，共
13、70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. 【答案】a的取值范围是(-, 1). 【解析】解: 设 A=x x2-6 x+8 0=x 2 x 4, B=x 3-m x 3+m.因为 p是q的充分不必要条件, 则q是p的充分不必要条件, 所以,B A.(i) 若 B=, 则B A成立, 此时有3+m3-m, 解得m0;(ii) 若 B , 则3-m 3+m 3-m 2 3+m 4, 解得0 m 1,当 m=0时,B=3 A, 合乎题意,当 m=1时,B=x 2 x 4=A, 不合乎题意.综上所述, 实数 a的取值范围是(-, 1).18. 【答案】(1)C(4,3).(2) SA B C=8.
14、 【解析】(1) 设 C(m, n), 因为直线A C与直线B H垂直, 且C点在直线2 x-y-5=0上,所以 n-1m-5=-2 2 m-n-5=0,解得m=4 n=3, 故C(4,3).(2) 设 B(a, b)由题知:Ma+52, b+12,所以 a+5-b+12-5=0 a-2 b-5=0, 解得a=-1 b=-3, 即B(-1,-3). kB C=3+34+1=65, 直线B C: y-3=65(x-4), 即:6 x-5 y-9=0.|B C|=( 4+1)2+( 3+3)2=61点 A 到直线 B C的距离d=|6 5-5-9| 62+( -5)2=1661,所以 SA B C
15、=12 61 1661=8.19. 【答案】(1)点 M的轨迹是以0, 32为圆心, 1 为半径的圆;(2)k=3 222. 【解析】(1) 设 A x1, y1, M(x, y),由中点公式得 x1+12=x y1+32=y x1=2 x-1 y1=2 y-3,因为 A在圆C上, 所以( 2 x)2+( 2 y-3)2=4, 即 x2+y-322=1,点 M的轨迹是以0, 32为圆心, 1 为半径的圆;(2) 设 L的斜率为k, 则L的方程为y-3=k(x-1), 即k x-y-k+3=0,因为 C A C D, C A D为等腰直角三角形,有题意知, 圆心 C(-1,0)到L的距离为12
16、C D=22=2.由点到直线的距离公式得 |-k-k+3| k2+1=2,4 k2- 12 k+9=2 k2+2.2 k2-12 k+7=0, 解得k=3 222.20. 【答案】(1)基地 A B的长为200 2km.(2)当 0a0,由 2 x0+50 22+ 12=30 5, 及 x00解得 x0=50, 所以C(50,50).所以直线 A C的方程为y=-(x-100), 即x+y-100=0,由 y=-2 x x+y-100=0得x=-100, y=200, 即B(-100,200),所以 A B=( -100-100)2+ 2002=200 2,即基地 A B的长为200 2km.
17、(2) 设爆炸产生的爆炸波圆 E,由题意可得 E(50,150), 生成t小时时, 飞行在线段A B上的点F处,则 A F=300 2 t, 0 t 23, 所以F(100-300 t, 300 t).爆炸波不会波及卡车的通行, 即 E F2 r2对t 0, 33恒成立.所以 E F2=( 300 t-50)2+( 300 t-150)2 r2=25 a t,即 ( 300 t-50)2+( 300 t-150)225 a t.当 t=0时, 上式恒成立,当 t 0即t 0, 23时,a7200 t+1000t-4800,因为7200 t+1000t-4800 2 7200 t 1000t-4
18、800=2400 5-4800当且仅当 7200 t=1000t, 即t=56时等号成立,所以, 在 0a2400 5-4800时,rE F恒最立, 亦即爆炸波不会波及飞行的通行.答: 当 0a0得m R,设 M x1, y1, N x2, y2, 则 y1+ y2=-2 m m2+9 , y1 y2=-8 m2+9(*), kT M kT N= y1 x1-t y2 x2-t= y1 m y1+1-t y2 m y2+1-t= y1 y2 m2 y1 y2+m(1-t) y1+ y2+( 1-t)2,将 (*) 代入上式, 可得:-8 m2+9 m2 -8 m2+9+m(1-t)-2 m m2+9+( 1-t)2=8 9-t2 m2-9( 1-t)2,要使 kT M kT N为定值, 则有 9-t2=0, 又t0, t=3,此时 kT M kT N=8-9 4=-29,存在点T(3,0), 使得直线T M与T N斜率之积为定值-29, 此时t=3.
