1、一次函数易错清单1. 一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.【例1】(2014湖南娄底)一次函数y=kx-k(k0,然后再确定图象所在象限即可.【答案】k0.一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.故选A.【误区纠错】此题主要考查了一次函数图象,直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b0时,向上平移;b0和knx+4n0的整数解为().A. -1B. -5C. -4D. -3【解析】满足不等式-x+mnx+4n0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.【答案】直线y=-x+m与
2、y=nx+4n(n0)的交点的横坐标为-2,关于x的不等式-x+mnx+4n0的解集为-4xnx+4n0的整数解为-3.故选D.【误区纠错】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,错解误认为是关于x的不等式-x+mnx+4n0的解集为x-2.4. 一次函数的实际应用.【例4】(2014山东德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:进价(元/只)售价(元/只)甲型2530乙型4560(1)如何进货,进货款恰好为46000元?(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多
3、且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?【解析】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.【答案】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意,得25x+45(1200-x)=46000,解得x=400.购进乙型节能灯1200-400=800只.故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.(2)设商场购进甲型节能灯
4、a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意,得y=(30-25)a+(60-45)(1200-a),y=-10a+18000.商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,-10a+1800025a+45(1200-a)30%.a450.y=-10a+18000,k=-100.y随a的增大而减小.a=450时,y最大=13500元.商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.【误区纠错】本题考查了单价数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.名师点拨1. 掌握一
5、次函数的定义,能利用定义进行判断.2. 正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解.3. 会求一次函数解析式.4. 会用函数思想解决实际问题.提分策略1. 一次函数图象的平移.直线y=kx+b(k0)在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左(或向右)平移m个单位,则直线y=kx+b(k0)变为y=k(x+m)+b(或k(x-m)+b),其口诀是上加下减,左加右减.【例1】如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=.【解析】y=kx+b的图象与正比例函数y=2
6、x的图象平行,k=2.y=kx+b的图象经过点A(1,-2),2+b=-2,解得b=-4.kb=2(-4)=-8.【答案】-82. 一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)相结合问题.【例2】一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为.【解析】一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),一次函数的解析式为y=x+1.当y=0时,x+1=0,x=-1.一次函数y=x+1的图象与x轴交于点(-1,0).关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.【答案】x=-13. 一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题.这一类问题主要考
7、查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问题中,如果三角形的一边与一坐标轴重合,那么可直接应用三角形及坐标求面积,如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合,那么一般来说,我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形,从而求得三角形的面积.【例3】在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则OAB为此函数的坐标三角形.【答案】(1)直线与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴交点坐标为(0,3),4. 用一次函数解决相关问题.(1)利用一次函数进行方案选择
8、.一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.【例4】某医药公司把一批药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每公里再加收4元;方式二:使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每公里再加收2元;(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式;(2)你认为选用哪种运输方式较好,为什么?【答案】(1)由题意,得y1=4x+400, y2=2x+820.(2)令4x+400=2x+820,解得x=210,所以当运输路程小于210 k
9、m时,y1y2,选择火车运输较好.(2)利用一次函数解决资源收费问题.此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分段函数是解决问题的关键,一般应从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;(3)利用条件求未知问题.【例5】为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(千瓦时)间的函数关系式.(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:档次第一档第二档第三档每月用电量x(千瓦时) 0x140(2)小明家某月用电120千瓦时,需要交电费元;(3)求第二档每月电费y(元)与
10、用电量x(千瓦时)之间的函数关系式;(4)在每月用电量超过230千瓦时时,每多用1千瓦时电要比第二档多付电费m元,小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,求m的值.【答案】(1)第二档140230.(2)54(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为y=ax+c.将(140,63),(230,108)代入,得则第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为(4)根据图象,得用电230千瓦时,需要付费108元,用电140千瓦时,需要付费63元,故108-63=45(元),230-140=90(千瓦时),4590=0.5(元),则第二档电费为0.5元/千
11、瓦时.小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,290-230=60(千瓦时),153-108=45(元),4560=0.9(元),m=0.9-0.5=0.4,故m的值为0.4.(3)利用一次函数解决其他生活实际问题.结合函数图象及性质,弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题的突破口,这是解决一次函数应用题常见的思路.“图形信息”题是近几年的中考热点考题,解此类问题应做到三个方面:(1)看图找点,(2)见形想式,(3)建模求解.【例6】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线
12、前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.【答案】(1)小明骑车速度为,在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5(h).(2)妈妈驾车速度为203=60(km/h),设直线BC解析式为y=20x+b1.专项训练一、 选择题1. (2014安徽安庆外国语学校模拟)已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k的值为().A. 1或-2B. 2
13、或-1C. 3D. 42. (2014安徽淮北五校联考)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是().A. m1B. m-5C. -5m1D. m0)的图象不经过的象限是().A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2013重庆一中一模)如图反映的过程是:妈妈带小米从家去附近的动物园玩,他们先去鳄鱼馆看鳄鱼,又去熊猫馆看熊猫,然后回家.如果鳄鱼馆和熊猫馆的距离为m千米,小米在熊猫馆比在鳄鱼馆多用了n分钟,则m,n的值分别为().(第5题)A. 1,8B. 0.5,12C. 1,12D. 0.5,8二、 填空题6. (20
14、14江苏苏州高新区一模)已知函数y1=x,y2=2x+3,y3=-x+4,若无论x取何值,y总取y1,y2,y3中的最小值,则y的最大值为.7. (2014湖北宜昌一模)已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值,则m=.x102y3m58. (2014湖南吉首三模)如图,已知直线与x轴,y轴分别交于点A和点B,M是OB上的一点,若将ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B处,则直线AM的函数解析式是.(第8题)9. (2013上海静安二模)如果点A(-1,2)在一个正比例函数y=f(x)的图象上,那么y随着x的增大而(填“增大”或“减小”).10. (2013江西饶鹰中考模拟)一次函数y=
15、kx+b(kb2.45)(1)居民甲4月份用水25吨,交水费65.4元,求a的值;(2)若居民甲2014年4月以后,每月用水x(吨),应交水费y(元),求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(3)随着夏天的到来,各家的用水量在不但增加.为了节省开支,居民甲计划自家6月份的水费不能超过家庭月收入的2%(居民甲家的月收入为6540元),则居民甲家六月份最多能用水多少吨?13. (2014广西南宁五模)黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即
16、从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式;(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离;(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?(第13题)14. (2014广东模拟)甲和乙进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶,再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发xmin后距出发点的距离为ym.图中折线表示甲在整个训练中y
17、与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0). (2)求出AB所在直线的函数关系式;(3)如果乙上坡平均速度是甲上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇? (第14题)15. (2013河北三模)两辆校车分别从甲、乙两站出发,匀速相向而行,相遇后继续前行,已知两车相遇时中巴比大巴多行驶40千米,设行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至中巴到达乙站这一过程中y与x之间的函数关系. 根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)请你说明点B,C的实际意义;(2)求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两站的距离;(3)求两车速度及中巴从甲站到乙
18、站所需的时间t;(4)若中巴到达乙站后立刻返回甲站,大巴到达甲站后停止行驶,请你在图中补全这一过程中y关于x的函数的大致图象.参考答案与解析1. A解析先求出直线y=kx-3与y=-1以及y=3的交点坐标,要注意这两个交点可能在一、四象限(k0),也可能在二、三象限(k0). 再根据所围成的四边形是梯形,根据梯形的面积公式进行计算.根据第二象限内点具有x0,确定m的取值范围是-5m0,-k0.-k-10)的图象经过一、三、四象限.5. D解析根据图象,此函数大致可分以下几个阶段:012分钟,从家走到鳄鱼馆;1227分钟,在鳄鱼馆看鳄鱼;2733分钟,从鳄鱼馆走到熊猫馆;3356分钟,在熊猫馆看
19、熊猫;5674分钟,从熊猫馆回家;综合上面的分析,由的过程知,m=1.5-1=0.5(千米);由的过程知n=(56-33)-(27-12)=8(分钟).6. 2解析-x+4=x,解得x=2,y=x=2.7. 1解析设一次函数的解析式是y=kx+b,将(1,3),(2,5)代入求出解析式即可.8解析由题,知点A和点B的坐标分别是A(6,0),B(0,8),所以AB=10,由题意,得点B的坐标是(-4,0),再利用相似可求得OM=3,所以过A(6,0),M(0,3)的直线的解析式是.9. 减小解析设正比例函数解析式为y=kx(k0),过点(-1,2),2=k(-1),解得k=-2.故正比例函数解析
20、式为y=-2x.k=-20,y随着x的增大而减小.10. 一、四解析kb0时,b0,此时一次函数y=kx+b(kb0)图象经过第一、三、四象限;当k0时,此时一次函数y=kx+b(kb0)图象经过第一、二、四象限;综上所述,一次函数y=kx+b(kb0)图象一定经过第一、四象限.则甲每小时完成30件.设乙提高工作效率后再工作m小时与甲完成的工作量相等,由题意,得220+(20+40)m=230+30m,12. (1)由题意,得202.45+5a=65.4,解得a=3.28.(2)由题意,得当0x20时,y=2.45x;当2030时,y=202.45+103.28+(x-30)(3.28+1.6
21、2)=4.9x-65.2. (3)65402%=130.8.202.45=49,49+103.28=81.8,而4981.8130.8,居民甲家6月份用水超过30吨.设他家6月用水x吨,故4.9x-65.2130.8,解得x40.故居民甲家计划6月份最多用水40吨.13. (1)当0t5时,s=30t;当5t8时,s=150;当8t13时,s=-30t+390.(2)渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b,解得 k=45,b=-360.s=45t-360.解得 t=10,s=90.渔船离黄岩岛距离为 150-90=60 (海里).(3)s渔=-30t+390,s渔政
22、=45t-360. (2)甲上坡的平均速度为4802=240(m/min),则其下坡的平均速度为2401.5=360(m/min),所以y=-360x+1200.(3)乙上坡的平均速度为2400.5=120(m/min),甲的下坡平均速度为2401.5=360(m/min),由图象得甲到坡顶时间为2分钟,此时乙还有480-2120=240(m),没有跑完,两人第一次相遇时间为2+240(120+360)=2.5(min).15. (1)点B的实际意义是两车2小时相遇;点C的纵坐标的实际意义是中巴到达乙站时两车的距离.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意,知直线AB 过(1.5,70)和(2,0),直线AB的解析式为y=-140x+280.当x=0时,y=280.甲、乙两站的距离为280千米.(3)设中巴和大巴的速度分别为V1千米/小时,V2千米/小时,中巴和大巴速度分别为80千米/小时,60千米/小时.t=28080=3.5(小时).(4)当小时时,大巴到达甲站,当t=7小时时,大巴回到甲站,故图象如下:(第15题)第 - 18 - 页 共 18 页
